山東聊城大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院（252000） 王馨悅 李玉峰

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022 年版）》（以下簡稱《課程標準》）中明確提出“感悟數(shù)的運算及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識”。這一要求旨在讓教師將教材中碎片化知識整合起來，建立整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)在加、減、乘、除運算中的聯(lián)系，從而增進學(xué)生對數(shù)的運算本質(zhì)的理解，并體會數(shù)的運算一致性。因此，教師在教學(xué)“數(shù)的運算”內(nèi)容時，應(yīng)當(dāng)追本溯源，講明算理，體現(xiàn)運算本質(zhì)的一致性。本文以“小數(shù)加減法”一課為例，嘗試分析在教學(xué)中如何聚焦計數(shù)單位，建構(gòu)運算一致性。

一、數(shù)的運算一致性的內(nèi)涵

史寧中教授提出：“計數(shù)單位是一種特殊的計量單位，是個數(shù)和順序的計量單位，把它作為數(shù)學(xué)化（一致性）的抓手?！币虼?，數(shù)的認識都是基于“多少個計數(shù)單位”的表達，數(shù)的運算也都是基于計數(shù)單位展開的，也就是說整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)的四則運算都是基于計數(shù)單位的運算。以加減運算為例，雖然整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)的加減法算法看起來有所不同，但實際上它們的運算原理是相同的，如圖1所示。

圖1 加減運算的算法和算理

鞏子坤等人通過分析構(gòu)建了一個關(guān)于數(shù)的概念和運算一致性的框架，包括一個核心概念——計數(shù)單位，一些基本規(guī)律——運算律和等式的基本性質(zhì)，以及一些基本運算——計數(shù)單位的運算。因此，在教學(xué)“數(shù)的運算”時，教師應(yīng)著重關(guān)注“計數(shù)單位”這個核心概念，使學(xué)生能夠通過總結(jié)歸納算法的過程來理解運算原理，并建立起整體運算體系的結(jié)構(gòu)，從而體會到數(shù)的運算一致性。

二、基于數(shù)的運算一致性的課例分析

在具體的教學(xué)中，教師該如何利用計數(shù)單位幫助學(xué)生建立起整數(shù)運算、分數(shù)運算和小數(shù)運算三者之間的聯(lián)系，從而體會數(shù)的運算一致性呢？下面以“小數(shù)加減法”教學(xué)實踐為例進行分析。

（一）深挖起點，感受運算一致性

師：L 市新開了一家書店，讓我們一起去參觀一下。根據(jù)圖中提供的價格（如圖2），你能提出哪些數(shù)學(xué)問題？

圖2

生1：買一本兒童繪本和一本成語故事，一共多少錢？

生2：買一本兒童繪本和一幅L市地圖，一共多少錢？

生3：一本名人傳記比一本兒童繪本貴多少錢？

師：同學(xué)們提出了這么多有價值的問題。請根據(jù)提出的問題列出算式。

生4：2.14+7.36。

生5：2.14+1.3。

生6：14.2-2.14。

師：在前測中，我發(fā)現(xiàn)算對第一個算式“2.14+7.36”的同學(xué)最多。現(xiàn)在請一名做對的同學(xué)把豎式（如圖3）寫到黑板上，并講一講自己的想法。

圖3

生7：計算整數(shù)加減法的時候相同的數(shù)位要對齊，所以我把相同數(shù)位對齊后，按照整數(shù)加減法的方法進行計算，最后點上小數(shù)點。

師：看來相同位數(shù)的小數(shù)加減法難不倒大家。對于第二個算式，同學(xué)們出錯率較高，我們來看一看他們是怎么做的。（出示圖4）

圖4

生8：①是把2.14的“1”和1.3的“3”對齊了。

生9：②是把“3”和“4”對齊了。

生10：③是把“3”寫在了十分位和百分位之間。

師：看來很多同學(xué)都在糾結(jié)“3”到底是在十分位上還是百分位上，那“3”到底該和誰對齊呢？我們一起來探究一下。

奧蘇伯爾認為，有意義的學(xué)習(xí)都是建立在原有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上的。因此，在教學(xué)前，教師應(yīng)確定好教學(xué)起點，并積極探尋學(xué)生原有知識結(jié)構(gòu)中能同化新知識的固著點。在教學(xué)中，教師應(yīng)以相同位數(shù)的加法作為起點，引導(dǎo)學(xué)生回顧整數(shù)加減法的計算方法，明確算理，以便厘清新舊知識之間的聯(lián)系。通過對學(xué)生進行小數(shù)加減法運算的分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在計算過程中存在兩個問題：一是有的學(xué)生在計算時數(shù)位對齊方法有誤；二是有的學(xué)生只知道小數(shù)點對齊的算法，而不知道背后的算理。可見學(xué)生在一定程度上受到了整數(shù)加減法的影響。

（二）理解算理，感知運算一致性

出示學(xué)習(xí)任務(wù)（如圖5）：

圖5

方法一：先轉(zhuǎn)化為元、角、分，再相加（如圖6）。

圖6

生1：我采取了給小數(shù)加“元、角、分”的方法，2.14 表示2 元1 角4 分，1.3表示1 元3 角，合起來就是3 元4 角4 分，用小數(shù)表示就是3.44元。我認為“3”應(yīng)該和2.14中的“1”對齊。

師：為什么要這么列豎式？

生1：計數(shù)單位相同的數(shù)才能相加。

方法二：用計數(shù)器（如圖7）。

圖7

生2：我先用計數(shù)器表示2.14，再表示1.3，得到了3.44，所以“3”應(yīng)該和2.14中的“1”對齊。

師：為什么要把十分位上的“3”和“1”相加？

生2：因為它們的計數(shù)單位相同，都表示幾個0.1。

方法三：利用小數(shù)的意義。

生3：我用方格圖來表示數(shù)字，每個完整的正方形代表數(shù)字“1”。我將正方形平均分為10 份，其中的1 份表示0.1；將正方形平均分為100 份，其中的1 份表示0.01。我涂色表示2.14 和1.3（如圖8）。從圖中可以看出，在2.14中，“1”表示1個0.1；在1.3中，“3”表示3 個0.1。由于它們都表示幾個0.1，所以我認為“3”應(yīng)該與2.14中的“1”對齊。

按表1皮膚反應(yīng)分級標準記錄反應(yīng)結(jié)果，32例受試者中出現(xiàn)1級皮膚不良反應(yīng)的人數(shù)多于5例，或2級皮膚不良反應(yīng)的人數(shù)多于2例，或出現(xiàn)任何1例3級或3級以上皮膚不良反應(yīng)時，判定受試物對人體有皮膚不良反應(yīng)。

圖8

師：在計算小數(shù)加減法時，先把小數(shù)點對齊，為的是相同數(shù)位對齊，再按照整數(shù)加減法的法則進行計算，最后給得數(shù)加上小數(shù)點。

《課程標準》提出：要通過豐富的教學(xué)方式，讓學(xué)生在實踐、探究、體驗、反思、合作、交流過程中感悟基本思想，積累基本活動經(jīng)驗。教師應(yīng)該將課堂交給學(xué)生，讓他們親身體驗和探究算理，并引導(dǎo)他們使用多種方法來理解算理。上述三種探究方法基于計數(shù)單位的視角幫助學(xué)生有條理地體現(xiàn)出小數(shù)加減法運算的算理。這種一致性的教學(xué)有助于學(xué)生理解運算的本質(zhì)特征，即相同的計數(shù)單位相加減，使算理和算法得到有效內(nèi)化，同時培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達能力和合作探究能力。

（三）梳理回顧，感悟運算一致性

師：請用豎式計算“34.9+19.59”。

生1（出示圖9）：先把34.9 和19.59 的小數(shù)點對齊，然后按照整數(shù)的加法法則進行計算，最后加上小數(shù)點，得到54.49。

圖9

師：如果去掉小數(shù)點，變成整數(shù)了，又該怎么對齊呢？

生2（出示圖10）：末位對齊。

圖10

師：末位對齊和小數(shù)點對齊看似不同，實際上都是——

生3：相同數(shù)位對齊。

師：相同數(shù)位對齊，也就是為了——

生4：相同計數(shù)單位相加減。

圖11

師：為什么可以直接相加呀？

生6：因為它們計數(shù)單位是相同的。

師：請觀察整數(shù)加減法、分數(shù)加減法和小數(shù)加減法，它們的算理有什么相同之處？

生7：都是相同計數(shù)單位相加減。

《課程標準》在第二學(xué)段的“教學(xué)提示”中指出，通過小數(shù)加減法運算、同分母分數(shù)加減運算，與整數(shù)運算進行比較，引導(dǎo)學(xué)生初步了解運算的一致性，培養(yǎng)運算能力。教師可以通過比較整數(shù)加減法、分數(shù)加減法和小數(shù)加減法的算法和算理，幫助學(xué)生遷移所學(xué)知識，并構(gòu)建數(shù)的運算體系的認知結(jié)構(gòu)。通過核心概念“計數(shù)單位”，學(xué)生可以深刻體驗數(shù)的運算一致性，這為以后學(xué)習(xí)異分母分數(shù)的加減法打下了堅實的基礎(chǔ)，有助于發(fā)展學(xué)生的運算能力和推理意識。

三、基于數(shù)的運算一致性的教學(xué)策略

（一）梳理教材，挖掘運算一致性

目前的小學(xué)數(shù)學(xué)教材將加減運算分為整數(shù)加減法、分數(shù)加減法和小數(shù)加減法三個部分，這種螺旋上升的結(jié)構(gòu)由淺入深，層層遞進，在一定程度上符合學(xué)生的認知特點。然而，這種結(jié)構(gòu)容易使學(xué)生誤以為整數(shù)加減法、分數(shù)加減法和小數(shù)加減法有各自獨立的算理和算法，導(dǎo)致數(shù)的運算一致性被割裂。因此，根據(jù)《課程標準》的要求，有必要對教材進行縱向梳理，聚焦計數(shù)單位，深度挖掘教材知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。

教師應(yīng)了解小數(shù)加減法在教材中的位置，將與之相關(guān)的知識整合在一起，例如整數(shù)加減法和分數(shù)加減法，并探索三者在算法和算理上的關(guān)聯(lián)，形成結(jié)構(gòu)性的知識體系。

（二）遷移構(gòu)建，通過整數(shù)類比小數(shù)

趙莉、吳正憲和史寧中提出了一個很好的觀點，即可以用“整數(shù)的認識與運算”統(tǒng)領(lǐng)整個“數(shù)與運算”主題。學(xué)生對整數(shù)運算熟悉，在教學(xué)相同位數(shù)的加減法時，可以引入整數(shù)加減法運算，通過在前測中加入整數(shù)加減法和一位小數(shù)加減法的題目，喚起學(xué)生對整數(shù)加減法的已有知識經(jīng)驗——將末位對齊即將相同數(shù)位對齊，從而引發(fā)學(xué)生的認知沖突：小數(shù)加減法應(yīng)該如何對齊？通過探究算理，學(xué)生得出小數(shù)加減法的算法——先讓小數(shù)點對齊，再按照整數(shù)加減法的運算法則進行計算。這樣可以建立新舊知識之間的聯(lián)系，實現(xiàn)有效的知識遷移，有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和理解能力。

（三）基于計數(shù)單位表達數(shù)的運算一致性

《課程標準》首次引入了“計數(shù)單位”的概念，它是關(guān)于個數(shù)和順序的計量單位，也是數(shù)與運算領(lǐng)域的核心概念。不論是整數(shù)加減法中的“末位對齊”、小數(shù)加減法中的“小數(shù)點對齊”，還是分數(shù)加減法中的“先通分再加減”，本質(zhì)上都是“相同計數(shù)單位相加減”。同樣，乘除運算也可以歸納為“計數(shù)單位”的概念。只有將“計數(shù)單位”作為抓手，才能揭示運算的本質(zhì)。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)該聚焦于“計數(shù)單位”這一核心概念，并以此為基礎(chǔ)引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)的運算一致性。

（四）重視過程，推進算理理解

在計算教學(xué)中，理解算理和掌握算法是兩個重要的任務(wù)。算法是指探究“怎么算”，而算理是指探究“為什么要這樣算”，這兩者同等重要。在實際教學(xué)中，教師應(yīng)注重推進學(xué)生對算理的理解，基于計數(shù)單位的視角，突破位數(shù)不同的小數(shù)加減法運算的難點。只有理解了算理，學(xué)生才能真正感受到數(shù)學(xué)的邏輯，感受到數(shù)的運算一致性。

《課程標準》提出要注重整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)運算的一致性，促進學(xué)生運算能力和推理意識的發(fā)展。為了落實這一要求，教師應(yīng)該對教材內(nèi)容和學(xué)情進行整體分析，并在教學(xué)中以“計數(shù)單位”這個核心概念為抓手，把握數(shù)的運算的本質(zhì)，建立知識間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生充分感悟數(shù)的運算一致性，并從點狀認知發(fā)展成結(jié)構(gòu)認知，從而落實核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。