李玉立, 郭良斌

(1.武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點實驗室, 湖北武漢 430081;2.武漢科技大學(xué)機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室, 湖北武漢 430081)

引言

關(guān)于研究熱量輸入對流體流動特性的影響,龔紅蘭等[1]通過Navier-Stokes方程、重整化群RNGk-ε湍流模型為基礎(chǔ),借助計算流體力學(xué)軟件Fluent對噴管內(nèi)流場及溫度場進行了瞬態(tài)數(shù)值模擬,準(zhǔn)確預(yù)測了發(fā)動機噴管內(nèi)部的流動及傳熱特性;陳超群等[2]針對加熱器噴管中多相流動傳熱問題建立了三維熱流耦合換熱計算模型,分別對燃氣、冷卻劑和噴管室壁建立不同的控制方程,將輻射熱量作為源項加入到方程中,進行流動和傳熱的耦合計算;王子豪等[3]采用分離變量法導(dǎo)出并簡化了均勻熱流邊界條件下變物性氣體的二維層流流動與換熱過程的控制方程,進而計算得到了氣體速度、壓力、溫度在微通道內(nèi)的分布規(guī)律;HINOJOSA J F等[4]給出了通風(fēng)腔內(nèi)湍流混合對流換熱和流動的實驗和數(shù)值結(jié)果,數(shù)值分析了改變?nèi)鹄麛?shù)和雷諾數(shù)對流型和溫度場的影響。

同時為了研究高壓圓盤氣體軸承氣膜間隙中一維可壓縮理想流動各參數(shù)的變化規(guī)律,彭寶林[5]根據(jù)平行圓盤的對稱性和其內(nèi)部的流動特點,建立了圓盤間隙中一維可壓縮理想流動模型,但未考慮摩擦和熱量輸入對流動的影響。吳永良等[6]對整個高壓圓盤氣體軸承進行了仿真分析,得到了整個氣膜對稱線上各流動參數(shù)的分布規(guī)律。流場軟件模擬可以更加準(zhǔn)確的把握流動細節(jié)特點,但建模過程復(fù)雜,耗時久工作量大。一些學(xué)者研究了面積變化、摩擦、熱流密度等因素對一維可壓縮管流的影響[7-9]。左克羅[10]進一步對廣義定常一維流動進行了深入研究,提出用龍格庫塔積分求解管道模型流動參數(shù)的方法,并且對摩擦和面積變化聯(lián)合作用以及摩擦和熱交換聯(lián)合作用下管道流動的求解進行了詳細說明。

綜上所述,目前缺乏從理論上探究高壓圓盤氣體軸承平行氣膜區(qū)考慮面積變化、摩擦和熱量輸入三者同時作用時流動規(guī)律的研究。本研究首先從三大守恒定律和氣動函數(shù)[11]出發(fā),導(dǎo)出平行圓盤氣膜間隙內(nèi)一維可壓縮流動的基本方程。然后采用數(shù)值計算方法進行求解,得到熱量輸入對平行氣膜區(qū)內(nèi)馬赫數(shù)、溫度和壓力的影響規(guī)律。

1 流道間隙的簡化模型及控制方程

在考慮面積變化、摩擦及熱流密度的一維定常流動時,中心供氣靜壓平行圓盤止推氣體軸承的簡化模型如圖1所示。

圖1 簡化軸承模型Fig.1 Simplified model of bearing

取氣膜中的六面體流體微元[12],如圖2所示。

圖2 微元體上的作用力Fig.2 Forces on control volume

圖2中,h為氣膜間隙高度;r為圓盤矢徑;θ為微元體在切向方向上包含的角度;dA為微元體沿半徑方向的面積;dAw為微元體與圓盤壁面接觸的上下表面的面積,忽略高階微量后,dA=rhdθ,dAw=rdθdr。

基本方程[13]如下,其中狀態(tài)方程:

p=ρRT

(1)

式中,p—— 壓力

ρ—— 密度

R —— 氣體常數(shù),空氣一般取287.06 J/(kg·K)

T—— 溫度

對式(1)取對數(shù)微分,得:

(2)

根據(jù)馬赫數(shù)的定義及聲速方程,有:

(3)

式中,Ma—— 馬赫數(shù)

Vr—— 沿軸承圓盤半徑方向的速度

c—— 當(dāng)?shù)芈曀?/p>

k—— 比熱比,對于空氣k=1.4

同理對式(3)取對數(shù)微分,得:

(4)

聯(lián)立式(1)和式(2),有:

(5)

連續(xù)方程:

(6)

對式(6)取對數(shù)微分,得:

(7)

動量方程:

(8)

(9)

能量方程:

dQ-dWs=cpdT+VrdVr

(10)

將式(10)的兩邊同除以cpT,再將式(5)代入,可得:

(11)

式中, dQ—— 單位質(zhì)量氣體吸收的凈熱量

dWs—— 控制體內(nèi)的單位質(zhì)量氣體對外界所作的凈外功

cp—— 比定壓熱容

可是,在cp不變的假設(shè)下,滯止溫度表達為:

(12)

寫成微分形式:

(13)

聯(lián)立式(11)、式(12)有:

(14)

(15)

通過平行氣膜區(qū)入口處微元體的質(zhì)量流量為:

(16)

在無對外做功的流動中,由于傳遞給微元體單位質(zhì)量的凈熱量全部轉(zhuǎn)化為微元體總焓的增量[14],則有:

(17)

式中,q—— 熱流密度

當(dāng)入口總壓、入口總溫和入口馬赫數(shù)確定的情況下, 對式(17)沿圓盤半徑方向進行積分,可得此時沿平行氣膜間隙半徑方向的總溫分布:

(18)

在氣膜入口處,對于完全氣體有[11]:

(19)

(20)

則由式(19)、式(20)可求得氣膜間隙平行段入口處的靜溫和靜壓。

根據(jù)兩截面間的常用積分關(guān)系式有:

(21)

(22)

式中,p—— 靜壓

A—— 各環(huán)形截面面積

對式(15)采用數(shù)值計算方法進行求解。

2 數(shù)值計算方法和程序框圖

本次數(shù)值計算采用MATLAB編制計算程序,得到了在給定初始值的情況下各參數(shù)的分布規(guī)律,并分析對比了不同情況下各參數(shù)的變化規(guī)律及參數(shù)之間的影響規(guī)律。具體求解步驟如下:

(1) 對整個平行氣膜區(qū)進行分段處理,總段數(shù)為n-1段,通過選取合適的步長l0,計算出每個節(jié)點i上對應(yīng)半徑ri的值;

(3) 采用四階龍格—庫塔法進行計算,選取積分步長為l0,則ri=ri-1+l0,由式(15)計算出對應(yīng)截面處的馬赫數(shù)Ma(ri),即可求得整個平行氣膜區(qū)的馬赫數(shù)分布Ma(r);

(4) 在得到馬赫數(shù)分布后,根據(jù)式(19)～式(22)可求得平行氣模區(qū)內(nèi)的靜溫分布T(r)和靜壓分布p(r)。

采用MATLAB進行編程計算的程序框圖如圖3所示。

圖3 程序流程圖Fig.3 Program flow chart

3 計算結(jié)果分析

3.1 熱流密度對馬赫數(shù)分布的影響

圖4 熱流密度對間隙內(nèi)馬赫數(shù)分布的影響Fig.4 Influence of heat flux on Mach number distribution in clearance

圖4中,無論考不考慮熱量輸入,整個平行氣膜區(qū)內(nèi)的馬赫數(shù)都呈現(xiàn)下降趨勢。可以看出,熱量輸入減緩了馬赫數(shù)的下降,即熱量輸入對馬赫數(shù)分布有一定影響。但是不同的工況下,熱流密度會發(fā)生變化,當(dāng)熱流密度不大時,馬赫數(shù)受其影響較低,熱流密度越大,馬赫數(shù)受熱流密度的影響越明顯。

3.2 熱流密度對靜溫分布的影響

為了研究熱量輸入對靜溫的影響,在相同初始條件下分別在不同熱流密度時進行數(shù)值計算,得到平行氣膜區(qū)靜溫的分布,如圖5所示。

圖5 熱流密度對間隙內(nèi)靜溫分布的影響Fig.5 Influence of heat flux on static temperature distribution in clearance

從圖5可知,平行氣膜區(qū)內(nèi)溫度的分布受熱量輸入的影響明顯,且熱流密度越大,溫度上升越快,差距越大。已知在靜壓氣體軸承承載力分析中[15],溫度的變化使軸承發(fā)生形變,從而影響軸承的力學(xué)性能,因此在研究軸承的溫度場和熱變形時,尤應(yīng)考慮熱流密度對氣膜內(nèi)溫度場的影響。

3.3 熱流密度對靜壓分布的影響

為了研究熱量輸入對靜壓的影響,在相同初始條件下分別在不同熱流密度時進行數(shù)值計算,得到平行氣膜區(qū)靜壓的分布,如圖6所示。

圖6 熱流密度對間隙內(nèi)靜壓分布的影響Fig.6 Influence of heat flux on static pressure distribution in clearance

從圖6可知,不同熱流密度下的靜壓分布都呈現(xiàn)先上升再緩慢下降的趨勢。可以看出,當(dāng)q為0, 30000 W/m2時,兩者的靜壓分布差距很小。但當(dāng)熱流密度很大時,平行氣膜區(qū)內(nèi)壓力的分布受熱量輸入的影響較大,且熱流密度越大,壓力下降越快。

3.4 熱流密度隨半徑變化時各參數(shù)的分布規(guī)律

文獻[15]對高壓圓盤氣體軸承進行了熱流密度分析,通過數(shù)值模擬得到了共軛傳熱時耦合壁面上熱流密度的分布規(guī)律。對其進行擬合,可得到擬合曲線方程為:

當(dāng)29.798≤r<39.998時,有:

q=274.3×r2-23790×r+539700;

當(dāng)39.998≤r<58.898時,有:

q=57.04×r2-5993×r+175100;

當(dāng)58.989≤r<60時,有:

q=61230×r2-7161000×r+209400000。

擬合曲線將其與文獻[11]的結(jié)果進行對比,如圖7所示。

圖7 熱流密度的對比分布Fig.7 Comparative distribution of heat flux

對熱流密度從氣膜間隙入口(r=29.798 mm)到出口處(r=60 mm)求其平均值,為30000 W/m2左右。

采用圖7中變化的熱流密度進行數(shù)值計算,將其與已有的計算結(jié)果進行對比分析,得如圖8～圖10所示的對比結(jié)果。

圖8 變熱流密度時間隙內(nèi)馬赫數(shù)的分布Fig.8 Distribution of mach number in the clearance for varying heat flux

從圖8可以看出,取q(r)為變化值和固定值時,二者間馬赫數(shù)的差距很小,即當(dāng)熱流密度變化時,可取平均熱流密度進行馬赫數(shù)的計算。

從圖9可知,當(dāng)q(r)分別為變化值和定熱流密度時,盡管氣膜間隙與壁面間總熱交換量一致,但二者關(guān)于靜溫的計算結(jié)果差距較大,且變熱流密度時的溫度分布與無熱交換時的溫度差異顯著,故此時不可用平均熱流密度取替代變熱流密度進行計算。

圖9 變熱流密度時間隙內(nèi)靜溫的分布Fig.9 Distribution of static temperature in clearance for varying heat flux

從圖10可知,取q(r)為變化值和固定值時,二者關(guān)于壓力的計算結(jié)果基本一致,即當(dāng)熱流密度變化時,可取平均熱流密度進行壓力的初步計算。

圖10 熱流密度變化時間隙內(nèi)靜壓的分布Fig.10 Static pressure distribution in clearance as heat flux changes

4 結(jié)論

本研究采用考慮面積變化、摩擦及熱流密度的一維定常流動理論分析了高壓圓盤氣體軸承中平行氣膜區(qū)的流動參數(shù)分布。通過程序編程和數(shù)值積分計算有效地獲得了熱量輸入對平行氣膜區(qū)中主要參數(shù)的影響規(guī)律,主要結(jié)論如下:

(1) 在平行氣膜間隙中,熱量輸入會減緩馬赫數(shù)的下降。在熱流密度小于30000 W/m2時對馬赫數(shù)的影響很小,但大熱流密度時對馬赫數(shù)有一定影響,不可忽略,且對于馬赫數(shù)而言,變熱流密度和平均熱流密度的計算結(jié)果很接近;

(2) 在平行氣膜間隙中,熱量輸入對溫度的影響很大。熱量輸入會使得氣膜間隙內(nèi)的溫度發(fā)生明顯上升,熱流密度越大,氣膜間隙內(nèi)的溫度受其影響程度越大。在輸入的總熱量相同時變熱流密度對間隙內(nèi)靜溫的影響更大,即在考慮熱流密度對溫度的影響時不宜用平均熱流度代替變熱流密度;

(3) 在平行氣膜間隙中,熱量輸入對靜壓的影響很小,且對于靜壓而言,變熱流密度和平均熱流密度的計算結(jié)果很接近。

相對利用Workbench等仿真軟件對流道進行計算而言,通過理論推導(dǎo)、程序編程和數(shù)值積分計算可以更加高效的得到考慮面積變化、摩擦及熱流密度時平行氣膜區(qū)內(nèi)各參數(shù)的變化規(guī)律。但一維計算結(jié)果的精確度是否達到要求、各參數(shù)的變化規(guī)律是否準(zhǔn)確仍待考慮,故后續(xù)將對一維的計算結(jié)果與二維、三維的計算結(jié)果進行比較,確保一維計算結(jié)果的準(zhǔn)確性。同時本研究只針對整個高壓圓盤氣體軸承中的平行圓盤間隙區(qū),后續(xù)可考慮加入收縮段,對整個流道進行分析,使得對高壓圓盤氣體軸承的研究更為完善。