張貽哲, 李躍松,2, 李閣強(qiáng),2, 李貴飛, 王 棒

(1.河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院, 河南洛陽 471003;2.河南省液壓基礎(chǔ)件與智能流控工程技術(shù)研究中心, 河南洛陽 471003)

引言

電液位置伺服系統(tǒng)應(yīng)用非常廣泛,如船舶、飛機(jī)和大型的機(jī)械設(shè)備以及多自由度的模擬器等領(lǐng)域的控制系統(tǒng)上[1]。但其系統(tǒng)具有較強(qiáng)非線性和時(shí)變性,如伺服閥壓力流量非線性、微分方程結(jié)構(gòu)非線性、執(zhí)行器摩擦非線性、負(fù)載的時(shí)變性等[2],容易受到負(fù)載干擾,難以提升控制性能。而且還具有輸入非線性特性, 系統(tǒng)的控制輸入與系統(tǒng)狀態(tài)的非線性函數(shù)高度耦合[3-4]。當(dāng)電液位置伺服系統(tǒng)向高精度、高頻響、強(qiáng)抗擾能力等方向發(fā)展時(shí),系統(tǒng)固有的非線性特性、環(huán)境影響等以往常被忽略的因素,對性能的影響越來越大[5-6],使得傳統(tǒng)的控制方法不能滿足現(xiàn)有系統(tǒng)的高性能需求。

模型預(yù)測控制(Model Predictive Control,MPC)具有魯棒性強(qiáng)、抗擾動能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)[7],也存在很多的控制領(lǐng)域,如環(huán)境污水控制、飛行控制、軍事領(lǐng)域跟蹤控制等。文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]分別在六足仿生機(jī)器人的軌跡跟蹤控制和車隊(duì)縱向跟隨控制上采用了MPC控制,該控制策略在仿真實(shí)驗(yàn)中具有良好的穩(wěn)定性和控制精度。模型預(yù)測控制可以有效地解決過程中被控變量或者操縱變量中的所有擾動和約束,并且可以克服過程中的未知性,非線性以及并聯(lián)性[10]。

針對以上問題,在建立的電液位置伺服系統(tǒng)物理模型上分別采用線性MPC、自適應(yīng)MPC、非線性MPC控制策略,輸入階躍和正弦信號,比較不同控制下系統(tǒng)的響應(yīng)結(jié)果,并在系統(tǒng)負(fù)載上加入擾動,來分析控制精度,跟蹤性能以及抗干擾能力等。

1 電液位置伺服系統(tǒng)物理模型

本研究所建立的電液位置伺服系統(tǒng)是由液壓缸、電液伺服閥、位移傳感器、液壓源以及負(fù)載等組成。電液位置伺服系統(tǒng)原理圖如圖1所示。

圖1 電液位置伺服系統(tǒng)原理圖Fig.1 Electro-hydraulic position servo system Principle diagram

物理建模能夠更為形象且具體地反映出電液伺服系統(tǒng)中各個(gè)部件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和相互之間的關(guān)系,可以包含一些數(shù)學(xué)模型未能包含的非線性因素,如電磁轉(zhuǎn)換、飽和摩擦、閥的工作死區(qū)等非線性因素,還可以包括缸的非線性動力學(xué)以及模擬系統(tǒng)外部負(fù)載和環(huán)境變化等因素,建立系統(tǒng)的更精確模型。根據(jù)圖1利用Simulink建立的物理模型如圖2所示。電液伺服閥物理模型如圖3所示。

圖2 系統(tǒng)的物理模型Fig.2 Physical model of system

圖3 電液伺服閥物理模型Fig.3 Physical model of an electro-hydraulic servo valve

2 MPC控制器設(shè)計(jì)

2.1 線性MPC

模型預(yù)測控制(Model Predictive Control,MPC)是一種根據(jù)模型來預(yù)測系統(tǒng)在某一未來時(shí)間段內(nèi)的表現(xiàn)來進(jìn)行優(yōu)化控制[11-12],預(yù)測出的模型可以代表被控對象的主要控制性能的參數(shù),也能夠通過被控對象的過程信息來決定被控對象的未來的輸入輸出值[13-14]。MPC控制器工作分為3個(gè)步驟,即模型預(yù)測、滾動優(yōu)化、反饋校正[15]。

離散線性化模型如式(1)所示:

(1)

式中,Nx—— 狀態(tài)變量維度

Nu—— 控制變量維度

Ny—— 輸出變量維度

設(shè):

(2)

可以計(jì)算出狀態(tài)空間表達(dá)式,如式(3)所示:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

模型預(yù)測控制中的預(yù)測功能可以實(shí)現(xiàn)在預(yù)測時(shí)域內(nèi)的狀態(tài)量和輸出量都可以通過系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)量ξ(t|t)和控制時(shí)域內(nèi)的控制增量Δu(t)計(jì)算得到的功能。

為了跟蹤所期望的軌跡,設(shè)計(jì)了一個(gè)目標(biāo)函數(shù)來反映被控系統(tǒng)的跟蹤性能,如式(8)所示:

(8)

滿足動力學(xué)約束和時(shí)域約束,如式(9)和式(10)所示:

(9)

(10)

式(8)中,yref(k+i|t),i=1,…,Np是期望輸出量。其中第一項(xiàng)用于懲罰系統(tǒng)在預(yù)測時(shí)域Np內(nèi),預(yù)測輸出量與期望輸出量之間的偏差,即反應(yīng)了系統(tǒng)對期望軌跡的快速跟蹤能力;第二項(xiàng)用于懲罰系統(tǒng)在控制時(shí)域Nc內(nèi)的控制增量大小,即反應(yīng)了系統(tǒng)對控制量平穩(wěn)變化的要求;第三項(xiàng)用于懲罰系統(tǒng)在控制時(shí)域Nc內(nèi)的控制量大小,即反應(yīng)了系統(tǒng)對控制量極值的要求。

若已知k時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)x(k)和前一時(shí)刻控制量u(k-1),在控制周期內(nèi)通過優(yōu)化求解,可得到在控制時(shí)域Nc內(nèi)的最優(yōu)控制增量序列ΔU*(t),然后將該序列的第一個(gè)量作為實(shí)際的控制增量作用于系統(tǒng),即:

u(k)=u(k-1)+[1,0…]1×Nc·ΔU*(t)

(11)

系統(tǒng)執(zhí)行這一控制量直到下一時(shí)刻,在新的時(shí)刻,系統(tǒng)根據(jù)狀態(tài)信息重新預(yù)測下一段時(shí)域的輸出,通過優(yōu)化過程得到一個(gè)新的控制增量序列。如此循環(huán)往復(fù),直至系統(tǒng)完成控制過程。MPC原理框圖如圖4所示。

圖4 模型預(yù)測控制原理框圖Fig.4 Block diagram of MPC

2.2 自適應(yīng)MPC

自適應(yīng)MPC控制思想是先對模型不確定性參數(shù)進(jìn)行估計(jì),建立實(shí)際系統(tǒng)的近似模型,接著根據(jù)估計(jì)模型設(shè)計(jì)基于李雅普諾夫函數(shù)法的控制律,設(shè)置控制器的參數(shù),對實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行控制。

設(shè)誤差變量e1,e2和e3,如式(12)～式(14)所示:

e1=x1-x1d

(12)

(13)

e3=x3d-x3

(14)

式中,x2d和x3d是設(shè)定的虛擬控制量,使實(shí)際的油缸位移x1跟蹤上期望位移x1d。為了使誤差e1,e2和e3趨近于0,分別定義了一個(gè)半正定的李雅普諾夫函數(shù),如式(15)～式(17)所示:

(15)

(16)

(17)

可得控制率u如式(18)所示:

(18)

然后設(shè)計(jì)李雅普諾夫函數(shù),如式(19)所示:

(19)

(20)

2.3 非線性MPC

非線性模型預(yù)測控制器過程是依據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)方程先計(jì)算出預(yù)測狀態(tài)和期望狀態(tài),再計(jì)算出優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),最后根據(jù)實(shí)際狀態(tài)的趨勢來預(yù)測未來的期望狀態(tài),對其優(yōu)化求解。

將系統(tǒng)狀態(tài)方程離散化,得到的離散形式如式(21)所示:

x(t+1)=f(x(t),u(t))

(21)

式中,x(t)∈χ;u(t)∈Γ;f(x(t),u(t))為系統(tǒng)狀態(tài)變量轉(zhuǎn)移函數(shù);x為4維的狀態(tài)變量;u為1維的控制變量;χ為狀態(tài)變量約束;Γ為控制變量約束。

在任意時(shí)域N中,其優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)JN如式(22)所示:

(y(k)-yd(k))+u(k)T·R·u(k)]

(22)

式中,U(t)=[u(t),…,u(t+Nu-1)]T是在時(shí)域N內(nèi)的控制量輸入序列;x(t)是將輸入的向量序列U(t)作用在系統(tǒng)后的狀態(tài)變量軌跡;y(k)和yd(k)代表液壓缸的x1(k)和x1d(k);優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)中的第一項(xiàng)(y(k)-yd(k))T·Q·(y(k)-yd(k))是指對期望輸出軌跡的跟蹤能力,即誤差;第二項(xiàng)u(k)T·R·u(k)是指控制量的約束程度。

非線性模型預(yù)測控制器的目的是求解每一個(gè)步長內(nèi)帶約束的有限時(shí)域優(yōu)化問題,如式(23)～式(27)所示:

(23)

s.t.x(k+1,t)=f(x(k,t),u(k)),k=t,…,t+N-1

(24)

x(k)∈χ,k=t,…,t+N-1

(25)

u(k)∈Γ,k=t,…,t+N-1

(26)

xt(k)∈xt

(27)

式(23)是期望優(yōu)化目標(biāo)最小函數(shù)值;式(24)是系統(tǒng)所決定的狀態(tài)約束;式(25)是狀態(tài)向量;式(26)是控制輸入向量的約束;式(27)是指初始狀態(tài)。

(28)

非線性模型預(yù)測控制器只是將改控制序列中的第一個(gè)元素作為電液伺服系統(tǒng)的實(shí)際控制輸入u,即如式(29)所示:

(29)

在下一個(gè)采樣時(shí)刻,系統(tǒng)又重新以新的采樣時(shí)刻作為初始狀態(tài)來求解最優(yōu)問題,同樣將控制序列的第一個(gè)元素作用在電液伺服控制系統(tǒng),如此反復(fù)循環(huán),直到完成整個(gè)控制過程。

3 仿真分析

為了研究分析線性MPC、自適應(yīng)MPC、非線性MPC控制性能,利用Simulink建立電液伺服控制系統(tǒng)的物理模型后,分別加入不同的控制器進(jìn)行仿真分析。物理模型中各模塊參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)Tab.1 System parameters

3.1 空載

首先在不加負(fù)載力的情況下,對電液伺服系統(tǒng)輸入一個(gè)頻率為0.12 Hz,幅值為±4 V的正弦信號。系統(tǒng)響應(yīng)特性曲線對比圖如圖5所示。系統(tǒng)響應(yīng)誤差曲線圖如圖6所示。

圖5 空載情況下的正弦響應(yīng)特性曲線圖Fig.5 Sine response characteristics at no load

圖6 空載情況下的正弦響應(yīng)誤差曲線圖Fig.6 Sine response error graph for no load condition

從圖5～圖6中可以得到不同控制器作用下的系統(tǒng)響應(yīng)誤差,如表2所示。

表2 空載情況下的正弦響應(yīng)誤差表Tab.2 Sine response error table for no-load conditions mm

根據(jù)表2的數(shù)據(jù)可以看出,在不加負(fù)載力的情況下,對電液伺服系統(tǒng)輸入正弦指令時(shí),非線性MPC控制精度相比于PID控制精度提高了52.4%,相比于線性MPC控制精度提高了43.6%,相比于自適應(yīng)MPC控制精度提高了23.3%。由此可得,非線性MPC控制效果最好、精度最高、誤差最小、跟蹤性能強(qiáng),PID控制電液伺服系統(tǒng)的效果最差,誤差最大。MPC控制精度高,在允許的誤差范圍內(nèi)可以忽略不計(jì)。

3.2 正弦負(fù)載

對電液位置伺服系統(tǒng)模型施加一個(gè)最大值為700 N,最小值為300 N的正弦負(fù)載力,如圖7所示。加正弦負(fù)載力后,正弦響應(yīng)特性曲線圖如圖8所示,響應(yīng)誤差曲線如圖9所示。

圖7 正弦負(fù)載力Fig.7 Sine load force

圖8 正弦載荷時(shí)正弦響應(yīng)特性曲線圖Fig.8 Graph of sinusoidal response characteristics under load

圖9 正弦載荷時(shí)正弦響應(yīng)誤差曲線圖Fig.9 Plot of sinusoidal response error under load

從圖7～圖9中可以得到加正弦負(fù)載力后的響應(yīng)誤差,如表3所示。

表3 載荷時(shí)的響應(yīng)誤差表Tab.3 Response error table when loaded mm

根據(jù)表3可以計(jì)算出,在電液伺服系統(tǒng)中施加正弦負(fù)載力后,非線性MPC控制精度相比于PID控制提高了64.4%,相比于線性MPC控制精度提高了44.9%,相比于自適應(yīng)MPC控制精度提高了24%。由此可以看出,在施加干擾力的情況下,四種控制策略的系統(tǒng)控制精度都有所下降,PID控制精度最差、誤差最大,非線性MPC控制精度最高、誤差最小。

由表2和表3中數(shù)據(jù)對比可以計(jì)算出,加負(fù)載力后,PID控制精度降低了35.9%,線性MPC控制精度降低了4.0%,自適應(yīng)MPC控制精度降低了2.1%,非線性MPC控制精度降低了1.6%。由此可得,非線性MPC的抗干擾能力最強(qiáng),PID控制的抗干擾能力最弱。

3.3 突變負(fù)載

對電液伺服系統(tǒng)輸入一個(gè)期望值為10 mm的階躍信號指令,負(fù)載力為500 N時(shí),響應(yīng)特性曲線圖如圖10所示。

圖10 500 N突變負(fù)載階躍響應(yīng)特性曲線圖Fig.10 Step response characteristics for a load force equal to 500 N

根據(jù)圖10可以得出階躍信號響應(yīng)性能指數(shù),如表4所示。上升時(shí)間是指響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%～90%所需要的時(shí)間,調(diào)整時(shí)間是指響應(yīng)曲線與穩(wěn)態(tài)值的差達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的2%所需的時(shí)間。

表4 500 N突變負(fù)載階躍特性曲線的性能指數(shù)表Tab.4 Table of performance indices for step characteristic curves for 500 N load forces

給定系統(tǒng)一個(gè)負(fù)載擾動力,其負(fù)載擾動力是在運(yùn)行第2 s時(shí),設(shè)置負(fù)載力從500 N突變?yōu)? N,第4 s時(shí)恢復(fù)到500 N,如圖11所示。施加變負(fù)載力后,階躍響應(yīng)特性曲線圖如圖12所示。圖12中虛線框內(nèi)是受到負(fù)載突變力后產(chǎn)生的擾動。

圖11 階躍變負(fù)載力Fig.11 Step-variable load force

圖12 變負(fù)載力時(shí)階躍響應(yīng)特性曲線圖Fig.12 Step response characteristics at variable load forces

將圖12中虛線框內(nèi)產(chǎn)生擾動的部分進(jìn)行局部放大,如圖13所示。

圖13 產(chǎn)生擾動部分的局部放大圖Fig.13 Local enlargement of part that generates perturbation

從圖13可以看出,施加變負(fù)載力后階躍響應(yīng)曲線的性能指數(shù),如表5所示。本電液伺服系統(tǒng)液壓缸額定行程±40 mm,對應(yīng)輸入指令±4 V。調(diào)節(jié)時(shí)間是指受到負(fù)載力突變后恢復(fù)到穩(wěn)定期望值所需要的時(shí)間。

表5 變負(fù)載力時(shí)階躍特性曲線的性能指數(shù)表Tab.5 Table of performance indices for step characteristic curves at variable load forces

根據(jù)表4和表5數(shù)據(jù)可以得出,PID控制的上升時(shí)間和調(diào)整時(shí)間最長,受到擾動力后,擾動誤差最大且調(diào)節(jié)時(shí)間最長, 非線性MPC上升和調(diào)整時(shí)間最短, 受到擾動力后,誤差最小且調(diào)節(jié)時(shí)間最短。因此,非線性MPC控制電液伺服系統(tǒng)的響應(yīng)速度最快,魯棒性最強(qiáng),其次是自適應(yīng)MPC,PID控制效果最差。

4 結(jié)論

利用Simulink仿真軟件建立了電液伺服系統(tǒng)物理模型,分別對比了PID控制、線性MPC、自適應(yīng)MPC和非線性MPC控制策略的控制效果,結(jié)果表明:

(1) 非線性MPC控制效果較好,響應(yīng)時(shí)間較快,控制精度較高,誤差小,其次是自適應(yīng)MPC,PID控制效果最差。

(2) 對系統(tǒng)施加變負(fù)載力擾動后,非線性MPC控制的系統(tǒng)受到的影響較小,且恢復(fù)到期望值所需的時(shí)間較短,魯棒性強(qiáng),其次是自適應(yīng)MPC控制的系統(tǒng),PID控制系統(tǒng)的抗干擾能力最差。