夏楊修, 呂立彤, 陳 正,3, 赫連勃勃

(1.浙江大學海洋學院, 浙江舟山 316021; 2.石家莊鐵道大學機械工程學院, 河北石家莊 050043;3.浙江大學流體傳動與機電系統(tǒng)國家重點實驗室, 浙江杭州 310027;4.卡爾斯魯厄理工學院移動機械研究所, 德國卡爾斯魯厄 376131)

引言

液壓機械臂憑借其高功率密度的特性而被廣泛用于工件搬運、夾持、裝配等重載作業(yè)任務中。然而,隨著作業(yè)任務復雜性的不斷增長,面對諸如水下無損取樣、精細化救援破拆、重型裝備精細維護等作業(yè)任務時,現階段液壓機械臂作業(yè)的精細化程度仍難以得到有效保障。在配備足夠精度傳感器的情況下,如何合理利用這些信息并設計相應性能優(yōu)良的控制器,將是提高機械臂作業(yè)精度的關鍵。

然而,液壓機械臂的運動控制器設計并非一件易事,從系統(tǒng)動力學的角度看,其表現為典型的高階非線性多輸入多輸出系統(tǒng)。機械臂的每個關節(jié)均由直動液壓缸推動,在機構構型上呈現出關節(jié)角度與液壓缸伸縮量、關節(jié)力矩與液壓缸作業(yè)力之間的非線性映射關系;此外,在液壓系統(tǒng)中還面臨諸如摩擦特性、閥芯死區(qū)與信號飽和等非線性因素。另一方面,系統(tǒng)的不確定性也是控制器設計的難點之一,其中包含了轉動慣量、摩擦系數、油液彈性模量等的參數不確定性,以及外干擾、流量泄漏、密封摩擦等的不確定非線性[1]。更進一步地,系統(tǒng)中機械臂機構的動力學與容腔壓力動力學、閥芯動力學環(huán)環(huán)相扣,導致在運動控制中需要考慮至少3階動力學,否則會嚴重制約系統(tǒng)的閉環(huán)頻寬,進而導致控制精度的顯著不足。上述復雜的動力學特性使得實現液壓機械臂的精密運動控制十分困難。

面對如上模型特性,PID及其衍生出的相關控制器所能達到的控制精度是極其有限的[2-4]。而現階段基于模型的控制設計中,往往較少考慮由摩擦引起的動力學誤差[5-7],即便在考慮摩擦的研究中,也多僅考慮機械臂關節(jié)轉動時的摩擦特性[8-10]。然而在液壓缸推動關節(jié)轉動的驅動形式中,摩擦力主要來源于液壓缸活塞直動摩擦和關節(jié)轉動摩擦,產生這兩種摩擦的機理是不同的,并且由于密封需求而產生的活塞摩擦可能會對系統(tǒng)的運動控制帶來更大的影響[11-12]。在作用形式上,關節(jié)轉動摩擦僅描述了機械臂關節(jié)轉速與旋向對于運動控制的影響,而實際中關節(jié)角度的差異也將導致系統(tǒng)摩擦產生轉矩大小的變化。如何全面考慮來自液壓缸和轉動軸的摩擦力特性,使得控制器設計時基于的名義模型更貼近于實際系統(tǒng),有待開展進一步的研究。

在不確定參數與非線性的情況下,保證系統(tǒng)良好的瞬態(tài)性能與精確的軌跡跟蹤效果通常是運動控制器設計的核心要義[13]。然而面對液壓機械臂這類復雜的系統(tǒng),由于其健康檢測、故障檢測的必要性[14-15],以及因不便安裝力傳感器而帶來的“力估計”需求[16-17],使得對其動力學參數的準確估計同樣必不可少。故而,如何設計合適的運動控制器并兼顧到參數的收斂性,將是本研究的主要研究目標。

針對以上問題,本研究同時考慮了液壓缸直動摩擦與關節(jié)轉動摩擦的動力學影響,進而提出摩擦力補償控制方法。為保證參數的收斂性能,控制算法中結合了基于最小二乘的在線參數自適應律,并基于此設計了直接/間接自適應控制器,以同時實現高精度的運動控制效果和動力學參數的精準在線估計。最后開展多組仿真對比,驗證所提控制方法對液壓機械臂驅動關節(jié)控制精度的提升效果。

1 液壓機械臂單關節(jié)動力學建模

1.1 系統(tǒng)建模

為了明晰表示本研究的研究對象,本節(jié)將選取液壓機械臂的基座橫擺關節(jié)作為被控對象,并構建相應的動力學方程,其結構原理圖如圖1所示,基座關節(jié)已在左上角放大顯示,其中X0與X1的夾角q便是后續(xù)將要控制的關節(jié)角。

圖1 液壓機械臂的結構原理圖Fig.1 Hydraulic manipulator structure schematic

根據圖1的定義,考慮液壓缸推動關節(jié)轉動以及關節(jié)摩擦力的影響,基座橫擺關節(jié)的動力學模型可以描述為以下形式:

(1)

FL=p1A1-p2A2

(2)

式中,A1,A2—— 液壓缸進油腔與出油腔正對活塞部分的油液接觸面積

p1,p2—— 兩腔的油液壓力

其動力學特性可以近似為:

(3)

式中,V1,V2—— 兩腔的可壓縮體積

βe—— 液壓油的彈性體積模量

Q1,Q2—— 流進/流出液壓缸兩腔的流量

D21,D22—— 集中建模誤差

(4)

式中,QL=(A1/V1)Q1+(A2/V2)Q2定義為閥口控制流量。

比例閥驅動液壓缸時,閥芯電壓和閥芯位移之間的動力學響應通常比驅動系統(tǒng)動力學快得多[9,18],故而在此處的動力學建模中將其忽略。因此,可以用下面的靜態(tài)映射來描述閥芯電壓Uv與閥控流量QL之間的關系:

(5)

式中,ki1,ki2—— 比例閥的流量增益系數

ps—— 油箱供應壓力

Kv—— 線性化的閥口流量增益

在式(1)和式(4)中,盡管集中建模誤差是未知且時變的,但可以分為緩變的名義值和時變的有界偏離值。也就是說,式(1)中的D1與式(4)中的D21和D22可以被進一步表述為以下形式:

(6)

式中,D1n,D21n,D22n—— 對應集中建模誤差的緩變名義值

ΔD1,ΔD21,ΔD22—— 對應的偏離值

1.2 模型參數化

考慮到后續(xù)控制器設計的簡潔性與統(tǒng)一性,在此處對于所建立的動力學模型進行參數化處理。定義一組參數集:

?=[?1,?2,?3,?4,?5,?6,?7,?8,?9]T=[J,B1,B2,f,f2,D1n,1/βe,D21n,D22n]T

(7)

進而,1.1節(jié)中的動力學方程可以書寫為以下狀態(tài)空間方程形式:

(8)

其中,ΔDF=ΔD1,ΔDQ=BFΔD21+CFΔD22。

誠然,在式(8)所示的狀態(tài)空間方程中有眾多的不確定性,如?中存在的參數不確定性和ΔDF,ΔDQ的不確定非線性,但這些不確定性在實踐中均是有一定邊界限制的,因而可以做出以下契合實際的假設:

(9)

其中,δF和δQ為已知的函數。

1.3 控制目標

本研究總的控制目標可以表述為:

(1) 目標1,給定三階可導的參考運動軌跡qd(t),控制器根據傳回的測量信號設計閥芯電壓,使得在模型存在多種不確定性的情況下,橫擺關節(jié)角度q能夠盡可能準確地跟蹤qd(t),即z1=q-qd→0;

2 直接/間接自適應魯棒控制器設計

針對液壓機械臂精密運動控制的需求,以1.2節(jié)參數化的摩擦力改進動力學模型為設計對象,通過直接/間接自適應魯棒控制(DIARC)的思路與反步(Backstepping)策略,在為運動控制提供準確模型補償以提高運動控制精度的同時,分離自適應律與控制律,根據系統(tǒng)的輸入輸出設計遞歸最小二乘的自適應律,以實現更好的參數估計與模型補償,所設計的控制器結構如圖2所示。

圖2 基于DIARC方法與反步策略的控制器結構原理圖Fig.2 Controller structure schematic diagram based on DIARC and backstepping

2.1 投影型自適應律

為保證動力學參數的有界性,使用以下投影型自適應律在線地更新參數值:

(10)

其中,Γ為正定增益矩陣;ζ=(1+v1ΦTΓΦ)-1;Φ是線性回歸矩陣;是模型的預估輸出誤差,這些量將在后續(xù)的控制律設計時具體給出。是一個映射函數,其標準定義為:

(11)

(12)

2.2 DIARC控制律

考慮到反步策略下的控制器設計在兩次虛擬控制律中存在諸多的相似之處,故而將先設計液壓機械臂高階非線性動力學的模型補償與線性反饋項,進而再重構兩次誤差動力學結果的不確定性形式,并以此設計快速動力學補償與非線性反饋項,最終結合在線最小二乘估計器的設計,導出DIARC控制器。

1) 模型補償與線性反饋項設計

Step 1:針對1.3節(jié)提出的控制目標1,定義其輸出跟蹤誤差為z1=q-qd,然后定義一個類滑模量為:

(13)

其中,k1>0為自定義常數,qd(t)為已知的參考運動軌跡。z1和z2之間的傳遞函數G(s)=z1(s)/z2(s)=1/(s+k1)是穩(wěn)定的,這意味著z1收斂于一個小值的等價條件是令z2收斂于一個小值。因此,后續(xù)目標是使z2收斂到一個盡可能小的值,同時保證足夠的暫態(tài)性能。

μ?4s1-?5s2+?6+ΔDF

(14)

(15)

(16)

然而,由于液壓缸輸出推力FL在實際中并非可以直接控制的物理量,故定義其與實際值的差為z3=FL-FLd。將式(16)代入到式(15)的FL中,可以得到誤差動力學方程:

(17)

Step 2:此步的目的在于設計一個合適的控制律,使式(17)中的z3=FL-FLd很小或收斂于0,并在最終合成需要給到比例閥的閥芯控制電壓信號Uv。

(18)

(19)

(20)

與Step 1中相似,先設計前饋模型補償項與線性反饋項:

(21)

其中,ΥQ=-μ(w2/w3)z2是Backstepping引起的補償項,用于消除式(17)中生成的附加項,其余兩項將在后續(xù)設計中給出。將式(21)代入到式(20)中,可以得到如下的誤差動力學方程:

(22)

2) 快速動力學補償與非線性反饋項設計

基于Backstepping策略,完成了對于液壓機械臂高階非線性動力學的模型補償與線性反饋項設計,結合目前設計的控制律,綜合的誤差動力學表述為:

(23)

(24)

針對式(24)中的低頻部分di,快速動力學補償項FLda2與QLds2設計如下

(25)

(26)

(27)

FLds2與QLds2是2個待選取的函數,需要滿足以下魯棒性條件:

(28)

其中,ηi是設計參數,可以是任意小的常數。滿足式(28)的FLds2與QLds2很多,例如此處可以選取:

(29)

(30)

3) 在線最小二乘估計器設計

考慮式(8)中的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程,忽略系統(tǒng)不確定非線性,可以得到如下關系:

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

2.3 閉環(huán)控制性能

通過自適應魯棒控制律式(16)與式(21),以及式(35)、式(36)的最小二乘估計與投影類型適應律式(11),可以得出以下定理。

(37)

定理2:當系統(tǒng)僅存在參數不確定性時,如果持續(xù)激勵的條件滿足,即:

for somet0,T>0 andβi>0

(38)

3 DIARC控制器仿真設計與數據分析

為了說明第2節(jié)中設計的DIARC控制器的有效性,借助MATLAB/Simulink進行了一系列的仿真對比。

3.1 對比設置與參數整定

在本節(jié)的仿真環(huán)節(jié),主要將僅考慮關節(jié)摩擦的經典模型與摩擦力改進模型以及直接自適應魯棒控制(DARC)與DIARC控制律進行比較,用以說明名義模型對于控制效果的影響以及DIARC對于控制誤差以及參數收斂性的能力。此外,除去自適應魯棒控制(ARC)系列的控制器,還與前饋PID(FFPID)進行了對比,用以說明ARC系列控制器的性能優(yōu)勢,具體設置如表1所示。

表1 仿真對比設置Tab.1 Simulation comparison settings

在表1中列舉了本次仿真的所有組別,被控對象均為同一參數下的摩擦力改進模型,而名義模型為控制器設計時基于的動力學模型,Set 1為本研究中所設計的控制器,其余4組為對比組:Set 2是在第2節(jié)基礎上修改了名義模型,刪除了活塞直動摩擦項;Set 3是第2節(jié)基礎上將DIARC算法更換為DARC算法[5];Set 4是之前的研究工作[20]在Simulink中的實現;Set 5的計算方式為:

(39)

其計算結果將替代DIARC控制器中計算出的QLd,進而由式(30)得到最終傳輸給被控對象的電壓值。

值得注意的是,在仿真中,被控對象的參數值選用的是前期實驗中的離線辨識結果。而在名義模型的參數上,為了驗證參數能否收斂到真值,此處將其刻意與被控對象的參數做了增/減的調整,從而盡可能模擬實物實驗的狀況。

3.2 干擾項設置

為了盡可能還原實物實驗中的干擾,仿真中共設計了三類干擾項:關節(jié)角度的測量噪聲、液壓缸油液泄漏、外干擾項。

1) 關節(jié)角度的測量噪聲

2) 液壓缸油液泄漏

液壓缸的油液泄漏在實際中是很難完全免除的,故而在仿真程序中特意增添了這一項的設置?？紤]油液泄漏的液壓系統(tǒng)動力學方程可以改寫為:

(40)

式中,pr為回油腔油箱參考油壓;Ct為液壓缸腔內油液泄漏系數;Ce1與Ce2分別為無桿腔/有桿腔的腔外油液泄漏系數,在仿真中均設置為0.1%～1%量級。

3) 外干擾項

為了模擬液壓機械臂實際運行過程中可能存在的外力阻尼、強烈碰撞等現象,在被控對象的剛體動力學微分方程中線性的外阻尼與某一時刻的大外力矩。考慮外干擾的剛體動力學方程可以改寫為:

(41)

3.3 DIARC仿真結果分析

對DIARC控制器性能及其仿真結果進行論證分析,并就五種控制器的仿真對比說明所設計的控制器的有效性。

圖3中展示的是在僅考慮參數不確定性情況下(即控制器動力學參數集初始值不等于被控對象參數設定值),本研究所設計的控制器(對應仿真組別的Set 1)對于點到點參考軌跡(P2P參考軌跡)的跟蹤效果?？梢钥吹皆诘?個周期時,由于動力學參數集與被控對象參數存在較大差異,導致控制誤差處于[-4×10-4rad,3×10-4rad]的量級,而隨著估計器對于動力學參數的更新效應,參數集會逐漸向真實值靠攏,如圖4所示。進而會使得控制器中的前饋補償項產生更精準的補償效果,展現出關節(jié)角度對于參考軌跡的高跟蹤性能。此外值得注意的是,在液壓缸伸長/收縮的過程中,系統(tǒng)的動力學特性并不是對稱的,這在圖3第1周期的誤差曲線中尤為明顯。無論是實驗還是仿真,采取的液壓缸均為單出桿缸,其在進油腔與出油腔的油液作用面積是不同的,這意味著液壓缸伸長/收縮時,相同的腔內壓差并不會產生相同的對外作用力,也就導致了跟蹤效果的不對稱性。

圖3 僅參數不確定下Set 1的跟蹤誤差圖Fig.3 Tracking error of Set 1 under parametric uncertainties

圖4 僅參數不確定下Set 1的參數估計曲線圖Fig.4 Parameter estimation of Set 1 under parametric uncertainties

圖4中展示的是在僅考慮參數不確定性情況下,所設計控制器對于9個動力學參數的估計曲線圖,其中藍線表示控制器參數從初始設定的偏離值逐步向真實值靠攏的情況,紅實線為被控模型中設定的參數真值,紅虛線為參數初始值距離參數真值±10%的值?？梢钥吹?絕大多數參數值在控制器開始工作后較短時間內,均可以快速收斂到距真實值僅10%偏差的程度,而在一定時間后所有參數均可以收斂到既定值。需要額外說明的是,D1n,D21n與D22n的物理意義為集中建模誤差的名義值,在準確建模的情況下其值為0,而在圖4中,這3個值雖然有波動,但是均維持在0附近,且D21n與D22n的量級僅為10-11,可以認為是等價于0的。

此外,為了進一步地模擬真實工況,將3.2節(jié)中設計的干擾項加入到仿真模型中,在“參數不確定性”與“不確定非線性”共存(“雙重不確定性”)的情況下,系統(tǒng)的參數收斂效果如圖5所示。在圖5中,由于線性外阻尼的存在且其在模型中的形式與關節(jié)黏性摩擦相似,故真實的關節(jié)庫倫摩擦可以近似認為是B2的變化,也即圖5中所刻畫的新真實值。此外,50～70 s期間,被控對象因受到大外力矩干擾,使得系統(tǒng)狀態(tài)產生了一定的晃動,在參數收斂性上表征為參數估計曲線對于受干擾狀態(tài)的快速擬合,這意味著參數將朝著“受擾動系統(tǒng)”的系統(tǒng)動力學參數收斂,而不是被控對象中預設的參數值,這是合理的,并且這也將在Set 1誤差跟蹤曲線上得到印證。而由于液壓缸油液泄漏,這體現在動力學參數集的后3個參數的收斂性上,由于控制器的名義模型未對此泄漏進行建模,故而被控對象因油液泄漏而帶來的動力學特征變化,將由控制器參數中的βe,D21n與D22n進行補償與貼近,也正是因為這個緣故,這3個參數值不會朝著原設定的值收斂。

圖5 雙重不確定性下Set 1的參數估計曲線圖Fig.5 Parameter estimation of Set 1 under dual uncertainties

圖6 雙重不確定性下Set 1的跟蹤誤差與快速動力學補償曲線圖Fig.6 Tracking error and fast dynamic compensation of Set 1 under dual uncertainties

在“參數不確定性”與“不確定非線性”共存的情況下,依據表1的對比設置,5組仿真對比得到的跟蹤誤差曲線圖如圖7所示,其中Set 1,Set 2,Set 3選用的縱軸為同一區(qū)間,Set 4與Set 5由于誤差稍大,其縱軸區(qū)間同樣有所擴張。從圖中可以發(fā)現,由DIARC作為控制器的兩組仿真隨著參考軌跡周期的重復作用,跟蹤誤差有一個逐漸變小的趨勢,而DARC或FFPID作為控制器的仿真組別的跟蹤誤差則不會產生這類“訓練”的效益。對于外加的持續(xù)性大力矩(圖中紅色部分),Set 1會在大力矩“施加”與“撤銷”的一瞬間產生一個相對較大的脈沖,這與所加擾動為階躍形式有關,而在橫向比較下,這個脈沖又與其他組別相同時刻下的誤差相近;并且,除去這個尖峰脈沖外,Set 1能夠快速地擬合向受擾動系統(tǒng)的狀態(tài),使得系統(tǒng)能在極短時間內再次回到噪聲級的跟蹤誤差,這也是其他組別不可比擬的。

圖7 雙重不確定性下五組跟蹤誤差對比圖Fig.7 Comparison of five groups of tracking errors under dual uncertainties

為了進一步說明DIARC對于參數的收斂性,圖8展示的是Set 3的DARC在運行過程中對于動力學參數集的更新效果。正如文獻[21]中所提到的,DARC的參數收斂是誤差驅動的,9個動力學參數的更新方向均是使得誤差更小的方向,而不是被控對象的系統(tǒng)參數真實值。也正是這個緣故,當大外力矩發(fā)生時,9個參數會共同起作用以抵抗系統(tǒng)的突然變化,也就致使圖7中Set 3與Set 4并無大的峰值誤差。但DARC的劣勢同樣是明顯的,其無法將參數收斂到真實值,即參數不確定性帶來的誤差并不能在周期運動中被逐漸抹去。

圖8 雙重不確定性下Set 3的參數估計曲線圖Fig.8 Parameter estimation of Set 3 under dual uncertainties

4 結論

(1) 基于液壓缸直動摩擦與關節(jié)轉動摩擦的不同產生機理與作用形式,分析并構建了更貼近真實系統(tǒng)的摩擦力改進的動力學模型,并在仿真中驗證了此建模方式相對僅考慮關節(jié)摩擦模型的優(yōu)勢;

(2) 以關節(jié)角度精確跟蹤參考軌跡為目標,提出了適合摩擦力改進模型的直接/間接自適應魯棒控制律,有效解決了系統(tǒng)存在的高階非線性和不確定性等問題,在理論上確保了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和跟蹤性能,并進一步通過仿真驗證了對于系統(tǒng)動力學參數的準確估計。