張廣成, 胡 德, 左 強, 沈 偉, 陳浩毅

(1.上海理工大學機械工程學院, 上海 200093; 2.浙大城市學院工程學院, 浙江杭州 310015)

引言

如今,在我國工業(yè)發(fā)展中,液壓技術有著不可替代的作用。液壓傳動是一種以油液或其他液體為工作介質(zhì),利用動力元件、執(zhí)行元件、調(diào)節(jié)控制元件及輔助元件將液體壓力能轉化為機械能的控制技術[1]。液壓系統(tǒng)憑借其功率密度大、質(zhì)量小、體積小和響應速度快等優(yōu)點在眾多工業(yè)領域得到了廣泛的應用[2]。液壓泵作為液壓系統(tǒng)的動力元件,在液壓系統(tǒng)中充當著“心臟”作用,其性能很大程度上決定了整個液壓系統(tǒng)的性能[3]。液壓泵有著定量泵與變量泵之分。定量泵由于其排量無法調(diào)節(jié),可作為固定油源,不能實現(xiàn)液壓系統(tǒng)對流量變化的需求,其能耗大、效率低。變量泵其排量可根據(jù)液壓系統(tǒng)的需求便捷的調(diào)節(jié)排量[4],起到了節(jié)約能源、減少能耗的作用,因此,對變量泵的研究有著一定的必要性。

在變量泵中,軸向柱塞變量泵以其耐壓高、效率高、傳輸功率大和壽命長等優(yōu)點被廣泛應用于工程機械、船舶和航天航空等重要領域[5]。楊迦迪等[6]針對變排量三配流窗口軸向柱塞泵存在斜盤傾角振蕩頻率高等問題,提出在變排量機構中加入阻尼孔的方案,結果表明,加入直徑2 mm的阻尼孔可以降低振蕩頻率;徐尚武等[7]設計了一種新型恒功率柱塞泵斜盤角度調(diào)節(jié)機構,并闡述了斜盤角度實時自調(diào)節(jié)機理,為該機構的廣泛應用奠定了理論基礎;張婉茹等[8]對于非對稱軸向柱塞泵提出了基于斜盤擺角位移反饋的排量控制方案,結果表明,增大負載剛度可以加快響應速度,增大負載壓力可以提高響應穩(wěn)定性。斜盤作為軸向柱塞變量泵中的關鍵元件,有著調(diào)節(jié)軸向柱塞變量泵排量的作用,當軸向柱塞變量泵其斜盤擺角較小時,斜盤會產(chǎn)生振動,出現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象,從而導致軸向柱塞變量泵輸出流量不穩(wěn)定,影響泵的使用壽命,從而對整個液壓系統(tǒng)產(chǎn)生不利影響[9]。此外,這種現(xiàn)象的出現(xiàn)會導致系統(tǒng)能量損失以及效率降低,嚴重時甚至會影響系統(tǒng)安全性。針對這類現(xiàn)象分析并加以改進,不僅可以節(jié)約液壓系統(tǒng)的能量,提高系統(tǒng)工作時的工作效率,而且可以改善系統(tǒng)的性能,提高系統(tǒng)在工作過程中的安全性以及使用壽命。因此,對軸向柱塞變量泵斜盤小擺角穩(wěn)定性的研究有著一定意義。

根據(jù)軸向柱塞變量泵變量原理,本研究將對泵斜盤的穩(wěn)定性研究轉化為對軸向柱塞變量泵變量缸的穩(wěn)定性進行研究。變量缸的本質(zhì)是閥控液壓缸,在液壓系統(tǒng)中,閥控液壓缸是常見并且應用廣泛的動力元件。對變量缸穩(wěn)定性的研究不僅需要探究其工作原理,還需要分析在不同負載情況下的特性。為了研究軸向柱塞變量泵在小擺角情況下的穩(wěn)定性問題,本研究以變量缸為研究對象,首先通過研究變量缸的流量與動力學方程,推出傳遞函數(shù),其次運用了靈敏度分析方法,主要研究了變量缸活塞面積A、活塞及負載折算到活塞的總質(zhì)量Mt、油液彈性模量βe、柱塞缸旋轉軸到缸活塞的距離L、柱塞所在位置的分度圓半徑r以及額定轉速ω對變量泵穩(wěn)定性的影響。

1 斜盤的力矩數(shù)學模型

斜盤作為變量泵的關鍵元件,通過改變其傾角控制變量泵流量大小。在軸向柱塞變量泵工作過程中,斜盤受到各個元件對其的作用力,例如柱塞滑靴組件、柱塞腔內(nèi)油液以及油液壓力對斜盤產(chǎn)生的作用力等。將從運動學分析著手,計算出斜盤所受到力矩的數(shù)學模型[10]。

1.1 坐標系的確立

如圖1所示,將原點置于配流盤與泵的旋轉主軸交點處,首先確定Z軸正方向為原點指向斜盤方向,再運用空間直角坐標系右手定則確定X與Y軸的坐標方向如圖1所示。

圖1 斜盤式軸向柱塞泵柱塞運動簡圖Fig.1 Piston movement diagram of swash plate axial piston pump

1.2 柱塞滑靴組件對斜盤力矩

在斜盤式軸向柱塞變量泵的各個元件中,柱塞滑靴組件是使柱塞容積腔發(fā)生變化的關鍵元件,同時也是產(chǎn)生慣性力的主要部分。當泵在旋轉工作時,慣性力會嚴重影響泵中元件的力平衡與力矩平衡,因此研究柱塞滑靴組件的慣性力很有意義。

假設柱塞滑靴組件其加工規(guī)格大小相同,且其質(zhì)量相同。當斜盤式軸柱塞變量泵繞主軸轉動時,柱塞滑靴組件會隨缸體一起轉動,同時會產(chǎn)生往復運動。如圖1所示,可以得出柱塞滑靴組件在X方向上的慣性總力矩為:

(1)

式中,m—— 單柱塞滑靴組件總質(zhì)量

β—— 斜盤傾角

r—— 柱塞所在位置的分度圓半徑

z—— 柱塞數(shù)目,a1=ω2rcosαntanβ

αn—— 第n個柱塞對應的轉角,αn=ωt+(n-1)θ

θ—— 相鄰兩柱塞滑靴組件之間的夾角

ω—— 泵體額定轉速

1.3 柱塞腔內(nèi)油液對斜盤力矩

缸體轉動時,柱塞腔內(nèi)的油液會隨缸體的旋轉而一同旋轉,會產(chǎn)生離心慣性力。與此同時,柱塞滑靴組件在斜盤的作用下產(chǎn)生往復運動,柱塞腔中的容積產(chǎn)生變化,油液體積發(fā)生變化,其質(zhì)量與質(zhì)心隨之發(fā)生變化,從而會產(chǎn)生往復慣性力作用于斜盤。

如圖1所示,可以得出柱塞腔內(nèi)油液在X軸上對斜盤的總慣性力矩為:

(2)

式中,mn為第n個柱塞腔內(nèi)的油液質(zhì)量;mn=ρAl=ρπ(d/2)2[l0+(l1+rtanβcosαn)]a2=ω2rcosαntanβ/2;ρ為液壓油的密度;A為柱塞底部面積;l為液壓油腔總長度;d為柱塞直徑;l0為泵體與配流盤相貼合處的厚度;l1為柱塞腔內(nèi)液壓油腔的長度。

1.4 液壓力對斜盤力矩

由于斜盤如圖1方式放置,令柱塞底部的壓力為pn,則αn處于在0～π時,pn為吸油腔壓力,當αn處于在π～2π時,pn為排油腔壓力,由圖1可得,柱塞底部油液壓力在X軸對斜盤的總力矩為:

(3)

除此之外,斜盤還會受到摩擦力矩、斜盤偏心力矩等其他力矩,但因為這些力矩較小,因此忽略不計。

1.5 變量機構對斜盤的驅(qū)動力矩

由斜盤式軸向柱塞變量泵的變量原理可知,變量缸活塞同樣會對斜盤產(chǎn)生力矩,其力矩為:

(4)

式中,p—— 輔助泵給予變量缸活塞的液壓壓力

d1—— 變量缸活塞直徑

L—— 驅(qū)動力作用點到斜盤旋轉軸線的距離

Fd—— 變量缸活塞對斜盤的力

由上述可得[11]:

(5)

式中,a1—— 柱塞滑靴組件質(zhì)心在Z軸方向的往復加速度

a2—— 柱塞腔內(nèi)油液質(zhì)心Z軸方向的往復加速度

2 變量缸的穩(wěn)定性分析

2.1 變量缸控制的基本原理

如圖2所示為變量缸工作時的工作原理圖,系統(tǒng)由比例放大器、電液比例閥、液壓缸以及位移傳感器組成。對電液比例閥輸入一初始信號,電液比例閥閥口打開,供油源通過比例閥將油液送入液壓缸,令油液進入腔壓力為p1,回油腔壓力為p2,其壓差為pL,在壓差的作用下,變量缸內(nèi)的活塞產(chǎn)生位移,位移傳感器檢測活塞位移并轉化為電信號與輸入信號進行比較,產(chǎn)生偏差信號,從而實現(xiàn)閉環(huán)控制[12]。

圖2 變量缸位移控制系統(tǒng)工作原理示意圖Fig.2 Schematic diagram of working principle of variable cylinder displacement control system

將圖2轉化為傳遞函數(shù)框圖如圖3所示。

圖3 變量缸位移控制系統(tǒng)簡化方框圖Fig.3 Simplified block diagram of variable cylinder displacement control system

2.2 變量缸傳遞函數(shù)的建立

四通閥的線性化流量方程為[13]:

QL=Kqxv-KcepL

(6)

式中,Kq—— 流量增益

Kce—— 壓力流量系數(shù)

xv—— 閥口開度

pL—— 壓差

液壓缸的流量連續(xù)性方程為:

(7)

式中,Ap—— 液壓缸活塞面積

xp—— 活塞位移

Vt—— 液壓缸等效總容積

βe—— 油液彈性模量

Ct—— 總泄漏系數(shù)

液壓缸的力平衡方程為:

(8)

式中,Mt—— 活塞及由負載折算至活塞上的總重量

Bp—— 活塞及負載等運動件的黏性摩擦系數(shù)

(9)

由于研究的是軸向柱塞變量泵在斜盤小擺角情況下的穩(wěn)定性,因此β趨近于0,可將上式用泰勒展開式得:

(10)

將式(10)進行線性化,對于xp∈(x0,x0+Δx):

(11)

(12)

由式(6)～式(8)經(jīng)拉氏變換后所得公式可得傳遞函數(shù)為:

(13)

2.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析仿真

通過觀察閉環(huán)系統(tǒng)的極點位置以及各點對應的相位裕量和幅值裕量的變化來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當閉環(huán)系統(tǒng)的極點在S平面的右半平面上時,系統(tǒng)不穩(wěn)定。對于最小相位系統(tǒng),只有當相位裕量和幅值裕量都為正時,系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。

為分析不同參數(shù)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性的影響,進行以下MATLAB仿真實驗,為便于分析,參數(shù)基準值如表1所示。

表1 系統(tǒng)主要參數(shù)表Tab.1 Main parameters of system

為了研究柱塞缸旋轉軸到缸活塞的距離L的變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,本研究通過設計不同的距離L得到的變化參數(shù)與穩(wěn)定性影響如圖4所示,從圖中可以看出,所得極點在所取不同L值情況下全部處于S平面的負半軸,由此可判斷系統(tǒng)穩(wěn)定,并且隨著距離L取值的增大,極點逐漸向左移動,可得出距離L越大,系統(tǒng)穩(wěn)定性越好。

圖4 柱塞缸旋轉軸到缸活塞的距離L變化對系統(tǒng)影響Fig.4 Influence of change of distance L from rotating shaft of plunger cylinder to cylinder piston on system

柱塞所在位置的分度圓半徑r對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響同樣值得研究,本研究同樣通過設計不同的分度圓半徑r所得到的變化參數(shù)與穩(wěn)定性影響如圖5所示。由圖中可以看出,所得極點在不同的分度圓半徑r取值的情況下全部處于S平面的負半軸部分,可以看出系統(tǒng)較為穩(wěn)定,并且伴隨著分度圓半徑r的增大,極點逐漸向右移動,可得柱塞所在位置分度圓半徑r越小,系統(tǒng)穩(wěn)定性越好。

圖5 柱塞所在位置分度圓半徑r變化對系統(tǒng)影響Fig.5 Influence of change of indexing circle radius r at location of plunger on system

在系統(tǒng)工作時,轉速ω必不可少,本研究通過設計不同的額定轉速ω所得到的變化參數(shù)與穩(wěn)定性影響如圖6所示,從圖中可以看出,所得極點在不同的額定轉速ω取值的情況下全部處于S平面的負半軸部分,可以看出系統(tǒng)較穩(wěn)定,并且伴隨著額定轉速ω的增大,極點逐漸向右移動,可得額定轉速ω越小,系統(tǒng)穩(wěn)定性越好。

圖6 額定轉速ω變化對系統(tǒng)影響Fig.6 Influence of rated speed ω change on system

活塞及負載折算到活塞的總質(zhì)量Mt同樣對系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有一定影響,本研究通過設計不同的總質(zhì)量Mt得到的變化參數(shù)與穩(wěn)定性影響如圖7所示,從圖中可以看出,在所取不同的Mt的值情況下所得極點全部處于S平面的負半軸,由此可判斷系統(tǒng)穩(wěn)定,并且隨著總重量Mt取值的增大,極點逐漸向左移動,可得出總重量Mt越大,系統(tǒng)穩(wěn)定性越好。

圖7 活塞及負載折算到活塞的總質(zhì)量Mt變化對系統(tǒng)影響Fig.7 Influence of change of total mass Mt of piston and load converted to piston on system

液壓缸活塞面積Ap也是影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要因素,本研究通過設計不同的活塞面積Ap得到的變化參數(shù)與穩(wěn)定性影響如圖8所示,從圖中可以看出,在所取不同的Ap值情況下所得極點全部處于S平面的負半軸,由此可判斷系統(tǒng)穩(wěn)定, 并且隨著活塞面積Ap取值的增大,極點逐漸向左移動,可得出活塞面積Ap值越大,系統(tǒng)穩(wěn)定性越好。

圖8 液壓缸活塞面積Ap變化對系統(tǒng)影響Fig.8 Influence of hydraulic cylinder piston area Ap change onsystem

油液彈性模量βe對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響同樣不容忽視,本研究通過設計不同的油液彈性模量βe得到的變化參數(shù)與穩(wěn)定性影響如圖9所示,從圖中可以看出,在所取不同的βe值情況下所得極點全部處于S平面的負半軸,由此可判斷系統(tǒng)較為穩(wěn)定,并且隨著油液彈性模量βe取值的增大,極點逐漸向左移動,可得出油液彈性模量βe值越大,系統(tǒng)穩(wěn)定性越好。

圖9 油液彈性模量βe變化對系統(tǒng)影響Fig.9 Influence of oil elastic modulus βe on system

3 靈敏度分析

本研究采用一階軌跡靈敏度模型,因其結構簡單,靈敏度方程易推導,相較于其他靈敏度方法具有計算簡便、精度高等優(yōu)點。上述方法中僅可以判斷改變參數(shù)對變量泵穩(wěn)定性的影響趨勢,而利用靈敏度分析的方法可以判斷出各個參數(shù)對變量泵穩(wěn)定性的影響程度,因此本研究運用了靈敏度分析方法判斷出影響變量泵穩(wěn)定性的主要因素與次要因素。

3.1 軌跡靈敏度理論模型

液壓系統(tǒng)的一般狀態(tài)方程的通用表達式[14]為:

(14)

式中,x——m維狀態(tài)變量

a—— 與u無關的系統(tǒng)參數(shù)

u—— 輸入矢量

t—— 時間

其中,x=[x1,x2,x3]表示系統(tǒng)的3個狀態(tài)變量,a=[a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,],其中a1=Mt,a2=A,a3=βe,a4=ω,a5=L,a6=r,a7=ps

式(14)的解可以表示為:

φn(t)=x(t,a)n

(15)

參數(shù)矢量a對狀態(tài)變量x產(chǎn)生影響的一階軌跡靈敏度函數(shù)可便表示為:

(16)

ai—— 第i個系統(tǒng)參數(shù)

狀態(tài)方程G與狀態(tài)變量x都是關于系統(tǒng)參數(shù)a的函數(shù),因此狀態(tài)方程G對系統(tǒng)參數(shù)a求導并且因為輸入矢量u與系統(tǒng)參數(shù)ai相互獨立,則可得:

(17)

由式(16)與式(17)可得:

(18)

Δai+o(ai)

(19)

(20)

3.2 軌跡靈敏的計算

由力平衡方程式(12)得到液壓缸系統(tǒng)的壓力動態(tài)方程:

(21)

式中,qVL—— 伺服閥負載體積流量

伺服閥的負載體積流量方程為:

(22)

式中,Kt—— 伺服閥控制流量增益

u—— 系統(tǒng)控制輸入,u=K(x-xp)

K—— 控制器參數(shù)

x—— 系統(tǒng)輸入的目標信號

ps—— 系統(tǒng)供油壓力

(23)

輸出方程為:

y=(1 0 0)x

(24)

式中,x表示狀態(tài)方程中的變量,y表示狀態(tài)方程的輸出量。

(25)

其中列向量分別為:

(26)

令:

(27)

其列向量為:

(28)

3.3 系統(tǒng)參數(shù)靈敏度分析

因為變量缸活塞位移會對變量泵的斜盤擺動產(chǎn)生影響,因此對本節(jié)只討論各個系統(tǒng)參數(shù)ai與液壓缸活塞位移x1之間的靈敏度關系。以正弦信號作為目標的跟蹤信號,應用PID控制器加以控制。根據(jù)3.1節(jié)與3.2節(jié)的推導,可以得出變量缸系統(tǒng)中的系統(tǒng)參數(shù)ai變化10%時引起活塞位移x1的變化曲線,得到位移曲線以后可以引入靈敏度的測量指標定量S分析各個參數(shù)對活塞位移的影響,現(xiàn)將測量指標S定義為:

(29)

其中:

(30)

根據(jù)式(29)、式(30)可得,當系統(tǒng)各個參數(shù)的值增加10%時,可得軌跡靈敏度的測量指標S,如圖10所示。

圖10 系統(tǒng)各參數(shù)變化10%時靈敏度測量指標S值Fig.10 Sensitivity measurement index S value when system parameters change by 10%

由圖10可知,變量缸活塞面積A變化10%時,其靈敏度測量指標S值最大,其對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響較大;活塞及負載折算到活塞的總質(zhì)量Mt與油液彈性模量βe變化10%時靈敏度測量指標S值相差無幾,并且約為變量缸活塞面積A變化10%時其靈敏度測量指標S值的1/2,對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響處于中間;其余各個參數(shù)柱塞缸旋轉軸到缸活塞的距離L、柱塞所在位置的分度圓半徑r、變量缸的油源壓力ps以及額定轉速ω變化10%時靈敏度測量指標S值都較小,且相差無幾,對系統(tǒng)的影響不明顯。

在實際情況中,隨著驅(qū)動力作用點到斜盤旋轉軸線的距離L越大,系統(tǒng)的穩(wěn)定性越好;柱塞所在位置分度圓半徑r越小,系統(tǒng)的穩(wěn)定性越好;泵體額定轉速ω越小,系統(tǒng)穩(wěn)定性越好;活塞及負載折算到活塞的總質(zhì)量Mt越大,系統(tǒng)穩(wěn)定性越好;液壓缸活塞面積A越大,系統(tǒng)穩(wěn)定性越好;油液彈性模量βe越大,系統(tǒng)穩(wěn)定性越好。

4 結論

本研究主要運用了線性化、狀態(tài)方程以及靈敏度分析等方法對軸向柱塞變量泵在斜盤小擺角情況下的穩(wěn)定性進行了研究,得出以下結論:改變變量缸活塞面積A對系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響較大,而通過改變活塞及負載折算到活塞的總質(zhì)量Mt與油液彈性模量βe兩個參數(shù)對系統(tǒng)的影響處于中間,改變柱塞缸旋轉軸到缸活塞的距離L、柱塞所在位置的分度圓半徑r、變量缸的油源壓力ps以及額定轉速ω對系統(tǒng)的影響不明顯。在實際中,需要優(yōu)先調(diào)節(jié)參數(shù)變量缸活塞面積A,并且增大變量缸活塞面積A會使系統(tǒng)穩(wěn)定性提升較多,其次增大參數(shù)活塞及負載折算到活塞的總質(zhì)量Mt與油液彈性模量βe,適當提高系統(tǒng)穩(wěn)定性,最后調(diào)節(jié)其余各個參數(shù)。