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        拋物線中的定值、最值問題探究
        ——以2017年遵義市中考數(shù)學(xué)第27題為例

        2024-03-07 04:06:06包勝利
        數(shù)理化解題研究 2024年5期
        關(guān)鍵詞:拋物線探究

        包勝利

        (通渭縣隴川學(xué)校,甘肅 定西 743319)

        初中最值問題大致分為幾何最值和代數(shù)最值兩類.幾何最值是指在一定條件下,求幾何圖形中某個確定的幾何量(如長度、角度、面積等)的最大值或最小值,而代數(shù)最值是指求一些簡單的代數(shù)式或與實際問題相關(guān)(如用料最省、成本最低、能耗最少、產(chǎn)值最高、利潤最高等)的問題.

        1 幾何最值問題的求解思路

        在初中階段,解決幾何最值問題的依據(jù)有兩個,一是兩點之間,線段最短;二是垂線段最短.由這兩個依據(jù)延伸出以下常用的結(jié)論:三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊;過圓內(nèi)一點的所有弦中,垂直于過這點的直徑的弦最短;直徑是圓中最長的弦.

        因此,幾何方法求最值的思路是:將幾何圖形中的最值轉(zhuǎn)化成基本的幾何模型——“兩點之間,線段最短”和“垂線段最短”.其關(guān)鍵是抓住運動變化中不變的相關(guān)量(長度、角度、面積)與變化的相關(guān)量比較大小.即通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱將多條線段首尾相連轉(zhuǎn)化到兩定點之間的線段上,實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”,利用“兩點之間,線段最短”說明最小.或者將問題轉(zhuǎn)化為一定點到一條定直線的距離, 利用“垂線段最短”即可得出最小值.

        2 幾何最值案例分析

        2.1 試題呈現(xiàn)

        圖1 中考題圖

        (1)求該拋物線的解析式與C點坐標(biāo).

        (2)已知點M(m,0)是線段OA上的一個動點,過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D,E兩點,當(dāng)m為何值時,ΔBDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形[1]?

        (3)在(2)問條件下,當(dāng)ΔBDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時,動點M相應(yīng)位置記為點M′,將OM′繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到ON(旋轉(zhuǎn)角在0°到90°之間).

        2.2 探究實驗

        第(2)問:如圖2,拖動點M,觀察BE和BD測量值的變化,是否存在相等的情形,有幾種情況?

        圖2 探究等腰三角形

        圖3 探究最小值問題

        2.3 思路分析

        (1)根據(jù)已知條件求出A,B坐標(biāo), 用待定系數(shù)法可求出拋物線解析式.

        圖4 探究定值問題

        2.4 解法探究

        (2)解法1 如圖5所示,EM⊥x軸,M(m,0),則

        圖5 解法1圖

        當(dāng)DE為底時, 作BG⊥DE于G,則

        解得m1=-4,m2=0(不合題意,舍去).

        圖7 第(3)問圖

        3 結(jié)束語

        探求定值一般是先分清問題的不變量與變量,而定值往往與這些不變量中的某些量(或它們的代數(shù)式)有關(guān),常將一般問題特殊化,運用特殊情形(即用特殊值、特殊位置、特殊圖形等)探求定值.

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