劉大鵬

(遼寧省黑山縣第一高級(jí)中學(xué),遼寧 錦州 121400)

2022年全國(guó)新高考Ⅱ卷第22題作為全卷的壓軸題,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;含參不等式恒成立時(shí),求參數(shù)的取值范圍;與數(shù)列求和有關(guān)的不等式證明.這道題綜合性強(qiáng),難度大,有很高的研究?jī)r(jià)值,也很有區(qū)分度,是難得的一道好題.文章對(duì)第(3)問(wèn)給出了5種證明方法和4個(gè)推廣命題,這是本文的亮點(diǎn).

1 高考題再現(xiàn)

題目(2022年全國(guó)新高考Ⅱ卷第22題)已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)<-1,求a的取值范圍;

2 解法展示

解析(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=(x-1)ex,

f′(x)=ex+(x-1)ex=xex,所以x∈(-∞,0),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;x∈(0,+∞),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

(2)構(gòu)造函數(shù)

g(x)=f(x)+1=xeax-ex+1,(x≥0),

g(0)=0,

g′(x)=eax+axeax-ex,

g′(0)=0,g″(x)=aeax+aeax+a2xeax-ex=a(2+ax)eax-ex,

g″(0)=2a-1,

所以?x0>0,使x∈(0,x0),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,g(x0)>g(0)=0,不符合題意.

g′(x)=eax+ln(1+ax)-ex

所以g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,g(x)

(3)證法1 構(gòu)造函數(shù)

所以t(x)在[1,+∞)單調(diào)遞減.

所以t(x)≤t(1)=0.

證法2 構(gòu)造函數(shù)

所以p(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.

所以p(x)>p(0)=0.

證法3 構(gòu)造函數(shù)

>0,

所以w′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

所以w′(x)<0.

所以w(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減[1].

=0,

(*)

所以q′(x)>0,q(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,

=1.

所以q(x)<1.

將x分別代入1,2,3,…,n,相加,得

證法4 構(gòu)造數(shù)列

證法5 (數(shù)學(xué)歸納法)

所以,當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.

3 命題的推廣與推論

證明在證法3中已證w(x)>0,即

將x分別代入1,2,3,…,n,相加即可.

u(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,

所以u(píng)(x)>u(0)=0.

為證明推廣4,先給出下面的引理

由(*)式,得h′(x)>0,h(x)在[1,+∞)單調(diào)遞增,

所以h(x)<1.

所以d′(x)<0,d(x)在[1,+∞)單調(diào)遞減.

所以k′(x)<0.

所以k(x)在[1,+∞)單調(diào)遞減.

所以x

所以k(x)>1.

下面證明推廣4.

證明(ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),由引理得

當(dāng)n=k+1時(shí),由歸納假設(shè)和引理,得

=ln[(k+1)+1].

所以當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.

4 結(jié)束語(yǔ)

這道高考題的第(3)問(wèn)與前面兩問(wèn)是并列關(guān)系,它們之間沒(méi)有必然的聯(lián)系,也就是說(shuō)前面兩問(wèn)不會(huì)做,一點(diǎn)也不影響對(duì)第(3)問(wèn)的證明.有些師生在復(fù)習(xí)備考中,盲目認(rèn)為高考很少考查或不會(huì)考證明題,進(jìn)而忽視對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的復(fù)習(xí),這道高考題對(duì)有這樣想法的師生敲響了警鐘.文章中第(3)問(wèn)的證明方法3和推廣命題4及證明是由我校二年一班學(xué)生王鵬博想到的,王鵬博的思路和證明方法使本文更具有趣味性,在此對(duì)王鵬博表示衷心的感謝,并祝王鵬博同學(xué)在數(shù)學(xué)方面取得更大的成績(jī).