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        一道2023年北京大學(xué)寒假學(xué)堂試題的求解與拓廣

        2024-03-06 03:16:50張志剛
        數(shù)理化解題研究 2024年4期
        關(guān)鍵詞:直角拋物線頂點

        張志剛

        (山東省寧陽縣復(fù)圣中學(xué),山東 泰安 271400)

        圓錐曲線中弦張直角問題歷來是高考、競賽、高校強(qiáng)基計劃測試的熱點,主要考查曲線方程、定點、面積、最值等相關(guān)問題.本文以一道2023年北京大學(xué)優(yōu)秀中學(xué)生寒假學(xué)堂測試題為例,通過類比和推廣,得到圓錐曲線中弦張直角的一般性結(jié)論,并通過實例介紹結(jié)論的應(yīng)用.

        1 試題呈現(xiàn)

        本題是直線與雙曲線的位置關(guān)系問題,考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng),試題設(shè)計簡潔清新,思維跨度較大,頗具綜合性、挑戰(zhàn)性和選拔性.

        2 試題解答

        在Rt△OPQ中,設(shè)O到直線l的距離為d,則

        故選C.

        在Rt△OPQ中,設(shè)O到直線l的距離為d,則

        故選C.

        3 試題拓廣

        3.1 張直角弦上高的垂足的軌跡

        結(jié)論3 若直線l與拋物線y2=2px(p>0)交于P,Q兩點,且OP⊥OQ,OM⊥PQ,則垂足M的軌跡是圓(x-p)2+y2=p2(x≠0).

        下面從原點和定點等特殊點出發(fā),再推廣至一般的定點,探討圓錐曲線的弦張直角的充要條件.

        3.2 弦對原點張直角的充要條件

        得b2t2(m2-a2)x2+a2(t2m2-b2)y2+2ta2b2xy=0.

        設(shè)直線OP,OQ的斜率分別是k1,k2,則k1,k2是方程a2(t2m2-b2)k2+2ta2b2k+b2t2(m2-a2)=0的兩個實數(shù)根,由根與系數(shù)的關(guān)系得

        整理,得(a2+b2)t2m2=a2b2(1+t2).

        結(jié)論5的證明可仿照結(jié)論4完成,不再贅述.

        將以上結(jié)論一般化,即得結(jié)論6.

        結(jié)論6 若直線l:mx+ny=1與有心二次曲線Ax2+By2=1(AB≠0)交于P,Q兩點,O為原點,則OP⊥OQ的充要條件是A+B=m2+n2.

        Ax2+By2=(mx+ny)2.

        即(B-n2)y2-2mnxy+(A-m2)x2=0.

        設(shè)直線OP,OQ的斜率分別是k1,k2,則k1,k2是方程(B-n2)k2-2mnk+A-m2=0的兩個實數(shù)根,由根與系數(shù)的關(guān)系得

        即A+B=m2+n2.

        設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系,得

        所以x1x2+y1y2=0.

        整理,得A+B=m2+n2.

        綜上,OP⊥OQ的充要條件是A+B=m2+n2.

        3.3 弦對頂點張直角的充要條件

        結(jié)論9 若直線l與拋物線y2=2px(p>0)交于P,Q兩點,A為拋物線的頂點,則AP⊥AQ的充要條件是直線l過點(2p,0).

        結(jié)論7、8的證明可參考文獻(xiàn)[1],下面給出結(jié)論9的證明.

        證明設(shè)直線l:mx+ny=1,代入y2=2px,得

        y2=2px(mx+ny),

        設(shè)直線OP,OQ的斜率分別是k1,k2,則k1,k2是方程k2-2pnk-2pm=0的兩個實數(shù)根,由根與系數(shù)的關(guān)系得k1k2=-2pm.

        又OP⊥OQ,所以-2pm=-1,即2pm=1.

        -2pny=x-2p.

        故直線l過點(2p,0).

        把結(jié)論7、8中的右頂點改為其他頂點,把結(jié)論9中開口向右改為其他開口方向,也有類似結(jié)論,請讀者自證.

        3.4 弦對定點張直角的充要條件

        圖1 結(jié)論10示意圖

        證明設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),

        (a2+b2k2)y2+2b2mky+b2m2-a2b2=0.

        由根與系數(shù)的關(guān)系,得

        代入上式并整理,得

        解得m=x0-ky0(舍去)或

        故直線l的方程為

        則直線l的方程為y=nx-t(nx0+y0).

        由根與系數(shù)的關(guān)系,得

        又y1=nx1-t(nx0+y0),

        y2=nx2-t(nx0+y0),

        所以y1+y2=n(x1+x2)-2t(nx0+y0),

        y1y2=[nx1-t(nx0+y0)][nx2-t(nx0+y0)]

        =n2x1x2-nt(nx0+y0)(x1+x2)+t2(nx0+y0)2

        故MP⊥MQ.

        圖2 結(jié)論11示意圖

        結(jié)論12 如圖3,若直線l與拋物線y2=2px(p>0)交于P,Q兩點,點M(x0,y0)為拋物線上異于P,Q兩點的一個定點,則MP⊥MQ的充要條件是l過定點N(2p+x0,-y0).

        圖3 結(jié)論12示意圖

        4 結(jié)論的應(yīng)用

        解析由結(jié)論1知,垂足M的軌跡是圓

        (1)求橢圓的方程及離心率;

        (2)由(1)得A(3,0).

        設(shè)直線PQ的傾斜角為θ,由結(jié)論4得

        例3 (2007年高考山東卷理科第21題)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點、焦點在x軸上,橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.

        (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

        (2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(A,B不是左右頂點),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點.證明:直線l過定點,并求出該定點的坐標(biāo).

        圖4

        (x-2)2+y2=4(x≠0).

        解析由結(jié)論1知,

        由基本不等式,得

        5 結(jié)束語

        高考題實際上是將必然有的一些結(jié)論特殊化,化一般為特殊,讓學(xué)生用所學(xué)知識來解決必然成立的問題,只有學(xué)生把方法、知識、技巧融為一體,做題時旁征博引,融會貫通,以不變應(yīng)萬變,解一題而曉一類題,這樣勢必會得出一系列理想的結(jié)論.

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