張志剛

(山東省寧陽(yáng)縣復(fù)圣中學(xué),山東 泰安 271400)

圓錐曲線中弦張直角問(wèn)題歷來(lái)是高考、競(jìng)賽、高校強(qiáng)基計(jì)劃測(cè)試的熱點(diǎn),主要考查曲線方程、定點(diǎn)、面積、最值等相關(guān)問(wèn)題.本文以一道2023年北京大學(xué)優(yōu)秀中學(xué)生寒假學(xué)堂測(cè)試題為例,通過(guò)類比和推廣,得到圓錐曲線中弦張直角的一般性結(jié)論,并通過(guò)實(shí)例介紹結(jié)論的應(yīng)用.

1 試題呈現(xiàn)

本題是直線與雙曲線的位置關(guān)系問(wèn)題,考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng),試題設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔清新,思維跨度較大,頗具綜合性、挑戰(zhàn)性和選拔性.

2 試題解答

在Rt△OPQ中,設(shè)O到直線l的距離為d,則

故選C.

在Rt△OPQ中,設(shè)O到直線l的距離為d,則

故選C.

3 試題拓廣

3.1 張直角弦上高的垂足的軌跡

結(jié)論3 若直線l與拋物線y2=2px(p>0)交于P,Q兩點(diǎn),且OP⊥OQ,OM⊥PQ,則垂足M的軌跡是圓(x-p)2+y2=p2(x≠0).

下面從原點(diǎn)和定點(diǎn)等特殊點(diǎn)出發(fā),再推廣至一般的定點(diǎn),探討圓錐曲線的弦張直角的充要條件.

3.2 弦對(duì)原點(diǎn)張直角的充要條件

得b2t2(m2-a2)x2+a2(t2m2-b2)y2+2ta2b2xy=0.

設(shè)直線OP,OQ的斜率分別是k1,k2,則k1,k2是方程a2(t2m2-b2)k2+2ta2b2k+b2t2(m2-a2)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,由根與系數(shù)的關(guān)系得

整理,得(a2+b2)t2m2=a2b2(1+t2).

結(jié)論5的證明可仿照結(jié)論4完成,不再贅述.

將以上結(jié)論一般化,即得結(jié)論6.

結(jié)論6 若直線l:mx+ny=1與有心二次曲線Ax2+By2=1(AB≠0)交于P,Q兩點(diǎn),O為原點(diǎn),則OP⊥OQ的充要條件是A+B=m2+n2.

Ax2+By2=(mx+ny)2.

即(B-n2)y2-2mnxy+(A-m2)x2=0.

設(shè)直線OP,OQ的斜率分別是k1,k2,則k1,k2是方程(B-n2)k2-2mnk+A-m2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,由根與系數(shù)的關(guān)系得

即A+B=m2+n2.

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系,得

所以x1x2+y1y2=0.

整理,得A+B=m2+n2.

綜上,OP⊥OQ的充要條件是A+B=m2+n2.

3.3 弦對(duì)頂點(diǎn)張直角的充要條件

結(jié)論9 若直線l與拋物線y2=2px(p>0)交于P,Q兩點(diǎn),A為拋物線的頂點(diǎn),則AP⊥AQ的充要條件是直線l過(guò)點(diǎn)(2p,0).

結(jié)論7、8的證明可參考文獻(xiàn)[1],下面給出結(jié)論9的證明.

證明設(shè)直線l:mx+ny=1,代入y2=2px,得

y2=2px(mx+ny),

設(shè)直線OP,OQ的斜率分別是k1,k2,則k1,k2是方程k2-2pnk-2pm=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,由根與系數(shù)的關(guān)系得k1k2=-2pm.

又OP⊥OQ,所以-2pm=-1,即2pm=1.

-2pny=x-2p.

故直線l過(guò)點(diǎn)(2p,0).

把結(jié)論7、8中的右頂點(diǎn)改為其他頂點(diǎn),把結(jié)論9中開(kāi)口向右改為其他開(kāi)口方向,也有類似結(jié)論,請(qǐng)讀者自證.

3.4 弦對(duì)定點(diǎn)張直角的充要條件

圖1 結(jié)論10示意圖

證明設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),

(a2+b2k2)y2+2b2mky+b2m2-a2b2=0.

由根與系數(shù)的關(guān)系,得

代入上式并整理,得

解得m=x0-ky0(舍去)或

故直線l的方程為

則直線l的方程為y=nx-t(nx0+y0).

由根與系數(shù)的關(guān)系,得

又y1=nx1-t(nx0+y0),

y2=nx2-t(nx0+y0),

所以y1+y2=n(x1+x2)-2t(nx0+y0),

y1y2=[nx1-t(nx0+y0)][nx2-t(nx0+y0)]

=n2x1x2-nt(nx0+y0)(x1+x2)+t2(nx0+y0)2

故MP⊥MQ.

圖2 結(jié)論11示意圖

結(jié)論12 如圖3,若直線l與拋物線y2=2px(p>0)交于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)M(x0,y0)為拋物線上異于P,Q兩點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn),則MP⊥MQ的充要條件是l過(guò)定點(diǎn)N(2p+x0,-y0).

圖3 結(jié)論12示意圖

4 結(jié)論的應(yīng)用

解析由結(jié)論1知,垂足M的軌跡是圓

(1)求橢圓的方程及離心率;

(2)由(1)得A(3,0).

設(shè)直線PQ的傾斜角為θ,由結(jié)論4得

例3 (2007年高考山東卷理科第21題)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上,橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn).證明:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

圖4

(x-2)2+y2=4(x≠0).

解析由結(jié)論1知,

由基本不等式,得

5 結(jié)束語(yǔ)

高考題實(shí)際上是將必然有的一些結(jié)論特殊化,化一般為特殊,讓學(xué)生用所學(xué)知識(shí)來(lái)解決必然成立的問(wèn)題,只有學(xué)生把方法、知識(shí)、技巧融為一體,做題時(shí)旁征博引,融會(huì)貫通,以不變應(yīng)萬(wàn)變,解一題而曉一類題,這樣勢(shì)必會(huì)得出一系列理想的結(jié)論.