李 強

(蘇州大學實驗學校高中部,江蘇 蘇州 215131)

不等式問題是高中數(shù)學的必考知識點,同時也是重難點.高中數(shù)學不等式的壓軸難題主要出現(xiàn)在解答題最后一題的第二小問中,與函數(shù)、數(shù)列等知識點聯(lián)系較為緊密,考查形式多為不等式的證明或恒成立問題,難度較大.在求解時,我們可以根據(jù)已知條件,結合函數(shù)與方程思想,巧借導函數(shù)解決高中數(shù)學不等式壓軸難題.

1 利用導函數(shù)解決不等式證明問題

在利用導函數(shù)解決不等式證明問題時,需要結合構造法.根據(jù)所要證明的不等式,構造與之相關的函數(shù),再利用函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值加以證明[1].高中階段,常見的構造方法包括:

(1)直接構造法.將需要證明的不等式f(x)>g(x)轉(zhuǎn)化為證明f(x)-g(x)>0或f(x)-g(x)<0,進而通過構造輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)并證明函數(shù)F(x)與0的關系進而證明原不等式;

(2)適當放縮構造函數(shù).根據(jù)已知條件適當放縮,或利用常見的放縮結論,如

lnx≤x-1,

ex≥x+1,

lnx0),

(3)構造形似函數(shù).即將原不等式進行適當變形,如移項、通分、取對數(shù),從而將不等式轉(zhuǎn)化為左、右兩邊為相同結構的式子的形式,再根據(jù)“相同形式”構造輔助函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)求解[2];

(4)構造雙函數(shù).若直接構造函數(shù)求導難以判斷函數(shù)的單調(diào)性和零點,那么我們可以分開構造雙函數(shù)f(x)和g(x),通過比較證明.

例1 (成都高三9月月考)已知函數(shù)f(x)=xlnx-2ax2+x,a∈R.

(1)若f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,求a的取值范圍;

解析(1)由題可得

f′(x)=lnx+2-4ax,x>0,

因為f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,

所以f′(x)=lnx+2-4ax在(0,+∞)內(nèi)恒成立.

(2)若函數(shù)f(x)有兩個極值點為x1和x2,則f′(x)=lnx+2-4ax在(0,+∞)內(nèi)有兩根x1和x2.

兩式相減,得

lnx1-lnx2=4a(x1-x2).

設0

所以h(t)在t∈(0,1)上單調(diào)遞減.

所以h(t)>h(1)=0.

題后反思本題主要考查函數(shù)與不等式的綜合問題.在求解時需要利用構造法將不等式問題與函數(shù)結合起來,再結合導函數(shù)的性質(zhì),判斷函數(shù)與零點的關系進而證明.構造函數(shù)展開討論是解決本題的關鍵和突破點,思路要重點把握.

2 利用導函數(shù)解決不等式恒成立問題

在利用導函數(shù)解決不等式的恒成立問題時,有兩種常見思路:一種是先利用綜合法,結合導函數(shù)的零點之間的大小關系的決定條件,確定分類討論的標準.分類后,判斷不同區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性得到最值,進而證明不等式[3].另一種,則是直接通過導函數(shù),確定其與零點之間的關系,并以此劃分分類標準證明不等式恒成立.通常,若a>f(x)對x∈D恒成立,則只需要a>[f(x)]max;若af(x0)成立,則只需要a>[f(x)]min;若存在x0∈D,使a

例2(杭州高三一模)已知函數(shù)f(x)=(x-a)ex(a∈R).

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

解析(1)因為f′(x)=(x-a+1)ex,

當x∈(-∞,a-1)時,f′(x)<0;

當x∈(a-1,+∞)時,f′(x)>0;

故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,a-1),單調(diào)遞增區(qū)間為(a-1,+∞).

(2)由g(x)=f(x)+lnx-x-b,b∈Z,

以此構造函數(shù)令h(x)=(x-2)ex+lnx-x,則

即x0=-lnx0.

所以[h(x)]max=h(x0)

=(x0-2)ex0+lnx0-x0

因為b∈Z,即b的最小值為-3.

題后反思本題主要考查的是不等式的恒成立以及函數(shù)的單調(diào)性問題.第一小問比較簡單,直接對f(x)求導,根據(jù)導函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關系即可順利求解.第二小問中涉及了不等式的恒成立問題,求解時,首先需要將不等式進行變形,構造函數(shù),進而對新函數(shù)進行求導,并判斷出在已知區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性情況,找出極值,綜合求解.本題主要考查同學們的推理能力和計算能力,屬于高中數(shù)學壓軸題中的中等難度題,思路和方法要重點掌握.

3 結束語

雖然不等式問題在高中數(shù)學壓軸題中較為常見,但在求解時也是有具體的方法和思路可循的.在解決高中數(shù)學的不等式壓軸難題時,我們需要利用函數(shù)與方程思想,將原不等式進行適當變形或直接利用構造法將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.再利用導函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值之間的關系綜合求解.當然,高中階段不等式壓軸問題中還常涉及含參變量問題、求取值范圍問題,同學們都需要在日常的學習和訓練過程中,及時對不等式壓軸問題進行歸納和總結,保證自己在考場上能做到游刃有余.