李文龍,段志宏

(1.長(zhǎng)沙津一凱帥精密機(jī)械有限公司,湖南 長(zhǎng)沙 410100;2.中南林業(yè)科技大學(xué),湖南 長(zhǎng)沙 410100)

0 引言

弧齒錐齒輪是現(xiàn)代機(jī)械傳動(dòng)領(lǐng)域中的關(guān)鍵零件,在弧齒錐齒輪制造過(guò)程中,因機(jī)床誤差、熱變形等不可控因素,使輪齒的實(shí)際齒面偏離理論齒面,也使得基于理論齒面進(jìn)行的TCA(齒面接觸分析)、LTCA(加載齒面接觸分析)的分析結(jié)果失去意義。為了調(diào)整齒面形狀,消除齒面偏差帶來(lái)的影響,傳統(tǒng)上使用比例修正的方法,這種方法對(duì)于操作人員的經(jīng)驗(yàn)要求較高?，F(xiàn)在多使用齒輪測(cè)量中心來(lái)獲取齒面偏差,通過(guò)對(duì)加工參數(shù)的修正來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)齒面幾何精度的控制。

針對(duì)齒面形狀控制的研究,李麗霞[1]研究了機(jī)床調(diào)整誤差對(duì)弧齒錐齒輪齒面幾何精度的影響規(guī)律,建立了機(jī)床調(diào)整誤差補(bǔ)償?shù)臄?shù)學(xué)模型;曹康[2]對(duì)螺旋錐齒輪機(jī)床調(diào)整參數(shù)的誤差敏感性和齒面誤差反調(diào)修正進(jìn)行了研究;王志永[3]針對(duì)機(jī)床誤差對(duì)螺旋錐齒輪齒形的影響規(guī)律進(jìn)行了研究,并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了分析結(jié)果的正確性;田程[4]等通過(guò)結(jié)合機(jī)床調(diào)整參數(shù)的敏感度系數(shù)向量與實(shí)際測(cè)量齒面誤差向量的相關(guān)性,對(duì)齒面誤差進(jìn)行了優(yōu)化。聶少武等[5]通過(guò)用二階曲面近似表達(dá)齒面拓?fù)淦?將齒面拓?fù)湫扌畏纸獬?個(gè)方向,并建立了對(duì)應(yīng)的修正數(shù)學(xué)模型,反求出了修形齒面的小輪加工參數(shù);李天興[6]等分析了齒輪齒面齒形誤差及其影響因素,建立了機(jī)床參數(shù)與齒面齒形誤差的對(duì)應(yīng)關(guān)系。李其明等[7]在機(jī)床調(diào)整參數(shù)靈敏度分析的基礎(chǔ)上,對(duì)齒形誤差修正方法進(jìn)行了研究,分析了機(jī)床調(diào)整參數(shù)對(duì)齒形誤差的影響。張宇[8]研究了螺旋運(yùn)動(dòng)及刀具參數(shù)對(duì)雙重螺旋法加工齒面特征的影響規(guī)律;宋碧蕓[9]等人基于齒面幾何誤差控制模型對(duì)加工參數(shù)進(jìn)行了敏感性分析,利用改進(jìn)的L-M方法求出了加工參數(shù)補(bǔ)償量。張彤[10]研究了變性法和刀傾法小輪的各項(xiàng)機(jī)床加工參數(shù)誤差對(duì)齒形誤差的影響規(guī)律。

目前國(guó)內(nèi)企業(yè)研制的數(shù)控弧齒錐齒輪加工機(jī)床都具備高階運(yùn)動(dòng)功能,包括滾比修正、螺旋運(yùn)動(dòng)修正、垂直運(yùn)動(dòng)修正等。但因缺少成套的計(jì)算軟件,在實(shí)際切齒計(jì)算時(shí)最多用到三階滾比修正系數(shù),不能發(fā)揮出數(shù)控機(jī)床的萬(wàn)能運(yùn)動(dòng)特性。同時(shí),在對(duì)輪齒齒面形狀進(jìn)行調(diào)整時(shí),雖然利用齒輪測(cè)量中心測(cè)量出了輪齒的齒面偏差,但是并不清楚高階滾比修正系數(shù)對(duì)齒面拓?fù)湫螤畹挠绊懸?guī)律?，F(xiàn)有文獻(xiàn)中均未對(duì)高階滾比修正系數(shù)對(duì)弧齒錐齒輪齒面形狀的影響進(jìn)行深入研究。

論文針對(duì)上述情況,構(gòu)建包含高階滾比修正系數(shù)的齒面數(shù)學(xué)模型,探究高階滾比修正系數(shù)對(duì)弧齒錐齒輪齒面形狀的影響規(guī)律,為弧齒錐齒輪實(shí)際加工過(guò)程中的齒面調(diào)整提供理論依據(jù)。

1 齒面數(shù)學(xué)建模

基于齒輪嚙合原理和矢量運(yùn)算方法,根據(jù)刀具和齒坯的相對(duì)運(yùn)動(dòng)和相對(duì)位置關(guān)系,建立齒面數(shù)學(xué)模型。以左旋齒輪為例,左旋齒輪在機(jī)床調(diào)整位置時(shí)的情況如圖1所示。

圖1 左旋齒輪加工坐標(biāo)系

在坐標(biāo)系σ={O;i;j;k}中,O是機(jī)床的中心,i、j、k分別為坐標(biāo)軸正方向的單位矢量。i-j平面是機(jī)床平面,k的正方向指向搖臺(tái)體內(nèi)。Oc為刀尖平面與刀盤(pán)軸線的交點(diǎn),O1為設(shè)計(jì)時(shí)的交叉點(diǎn)。b為刀盤(pán)軸線在機(jī)床平面內(nèi)的投影。c為刀盤(pán)軸線的單位矢量。Em為垂直輪位,S為徑向刀位,q為角向刀位,矢量p為工件的軸線,XB為床位,Xp為水平輪位修正量,δM為輪坯安裝角。這些參數(shù)可以通過(guò)弧齒錐齒輪加工計(jì)算軟件計(jì)算得到,或者由機(jī)床的實(shí)際加工調(diào)整參數(shù)得到。

刀具切削刃由兩部分組成,其中直線段切削刃生成輪齒的工作齒面,圓弧部分生成輪齒的齒根過(guò)渡圓角部分,因測(cè)量齒形偏差時(shí)設(shè)置了收縮量,齒根過(guò)渡圓角部分一般都不在檢測(cè)范圍內(nèi),以下只考慮直線段切削刃及其生成的工作齒面。

切削刃上任一點(diǎn)M的坐標(biāo),即切削刃的矢量方程rc為:

rc=r0+s1t1

(1)

式中,r0為刀尖頂點(diǎn)的矢量方程,s1為切削刃上任一點(diǎn)M到刀尖頂點(diǎn)M0的距離,t1為母線M0M方向上的單位矢量。

被加工齒面與刀盤(pán)的切削面是共軛曲面,根據(jù)產(chǎn)形輪與齒輪之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系,引入高階滾比修正系數(shù)[11],此時(shí):

φ=i0(Δq+2cΔq2-…+720gΔq6)

(2)

工件的角速度為:

(3)

上式中,i0為滾比,Δq為搖臺(tái)角改變量,2c、6d、24e、120f、720g分別為二階至六階的滾比修正系數(shù)。

由齒面嚙合方程可求得齒面上的點(diǎn)和M點(diǎn)共軛接觸時(shí)的q、θ以及工件轉(zhuǎn)角φ。進(jìn)而可求得工件齒面上的點(diǎn)以O(shè)1為原點(diǎn)的徑矢rw及其法矢nw:

rw=(prc)p+cosφ(p×rc)×p+sinφ(p×rc)

(4)

nw=(pn)p+cosφ(p×n)×p+sinφ(p×n)

(5)

2 齒面離散點(diǎn)參數(shù)的計(jì)算

計(jì)算理論齒面離散點(diǎn)空間坐標(biāo)及其法矢[12]是進(jìn)行齒面誤差測(cè)量和齒面形狀分析的前提條件,同時(shí)也是實(shí)現(xiàn)弧齒錐齒輪數(shù)字化制造的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一。為了實(shí)現(xiàn)齒面的精密測(cè)量以及計(jì)算理論齒面與實(shí)際齒面之間的誤差,需要對(duì)齒面進(jìn)行離散化處理,即在弧齒錐齒輪理論齒面的旋轉(zhuǎn)投影面上規(guī)劃一定的測(cè)量網(wǎng)格。

為了反映齒面的形狀特征,一般在齒高方向取5行,在齒長(zhǎng)方向取9列,共計(jì)45個(gè)離散點(diǎn),如圖2所示。根據(jù)美國(guó)齒輪標(biāo)準(zhǔn)[13],在齒寬方向,大端和小端各收縮齒面寬的10%,在齒廓方向,齒頂和齒根各收縮全齒高的5%且不能小于0.6 mm。收縮后的齒面各邊界應(yīng)與收縮前的齒面各邊界平行,并根據(jù)網(wǎng)格點(diǎn)的數(shù)量將齒面各邊界等距均分。在圖2所示的坐標(biāo)系下,可以計(jì)算出各離散點(diǎn)在以交叉點(diǎn)O1為原點(diǎn)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值(x(i,j),y(i,j)),其中i=1～9,j=1～5。

圖2 軸截面上的齒面離散點(diǎn)

如圖2所示,設(shè)齒面上的M點(diǎn)沿齒輪軸線p到O1的距離為x,到齒輪軸線p的距離為y,則有:

y=|rw×p|

(6)

x=-rw·p

(7)

式中的x、y是q和θ的函數(shù),給定了q和θ的值,再根據(jù)式(4)和式(5)就能求得x、y的值。如果給定了齒面上離散點(diǎn)的坐標(biāo)值,就可以利用二元迭代的方法求解其對(duì)應(yīng)的q和θ,隨后再利用式(2)、式(3)進(jìn)而求得理論齒面上對(duì)應(yīng)每一個(gè)離散點(diǎn)的徑矢rw和法矢nw,此后再經(jīng)過(guò)一次坐標(biāo)變化,即可將其轉(zhuǎn)換到測(cè)量坐標(biāo)系中。利用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)或者齒輪測(cè)量中心就可以根據(jù)齒面離散點(diǎn)的空間坐標(biāo)和法矢進(jìn)行實(shí)際齒面齒形誤差的測(cè)量。

3 齒形改變量的計(jì)算

根據(jù)齒輪切齒加工的刀具參數(shù)和機(jī)床調(diào)整參數(shù),運(yùn)用上文所建立的齒面數(shù)學(xué)模型,可以得到理論齒面上各個(gè)離散點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的徑矢rw和法矢nw。此外,設(shè)定一組包含誤差的刀具參數(shù)和機(jī)床調(diào)整參數(shù),即可求得誤差齒面上的各個(gè)離散點(diǎn)對(duì)應(yīng)的徑矢rw′和法矢nw′。將理論加工參數(shù)對(duì)應(yīng)的齒面定義為理論齒面,將改變后的加工參數(shù)對(duì)應(yīng)的齒面定義為實(shí)際齒面,如圖3所示。

圖3 理論齒面與實(shí)際齒面的位置關(guān)系

改變機(jī)床調(diào)整參數(shù)后,實(shí)際齒面會(huì)偏離原始齒面,為了對(duì)比實(shí)際齒面相對(duì)于理論齒面的變化和分析齒面誤差,需將實(shí)際齒面旋轉(zhuǎn),使齒面網(wǎng)格中點(diǎn)M′與理論齒面中點(diǎn)M重合,設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為θ。旋轉(zhuǎn)后理論齒面上任意一點(diǎn)到實(shí)際齒面上對(duì)應(yīng)該點(diǎn)之間法線方向的偏差就是該點(diǎn)的誤差值。齒輪測(cè)量中心在測(cè)量弧齒錐齒輪時(shí),以齒面的中點(diǎn)為參考點(diǎn),以“S”形逐點(diǎn)移動(dòng)進(jìn)行測(cè)量。再通過(guò)軟件的處理,就得到了齒面上各個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齒面誤差,以此就能繪制出齒面誤差拓?fù)鋱D。

以工廠實(shí)際生產(chǎn)的某弧齒錐齒輪小輪為例(采用雙重螺旋法加工),分析各階滾比修正系數(shù)對(duì)齒面形狀的影響規(guī)律。齒輪副的參數(shù)如表1所示,加工輪齒的機(jī)床調(diào)整參數(shù)和刀具參數(shù)如表2所示。收縮量設(shè)置為:小端收縮量1.5 mm,大端收縮量2.5 mm,齒頂收縮量1 mm,齒根收縮量1.7 mm。

表1 齒輪副的基本參數(shù)

表2 機(jī)床調(diào)整參數(shù)

為了分析各高階滾比修正系數(shù)對(duì)齒面形狀的影響規(guī)律,假定二階至六階滾比修正系數(shù)的改變量依次為:+0.02、+0.2、+2、+20、+200。利用VB編制齒形分析軟件,對(duì)每個(gè)改變量進(jìn)行齒形誤差計(jì)算并繪制齒面誤差改變拓?fù)鋱D。

計(jì)算分析結(jié)果如圖4所示,圖中粗實(shí)線表示理論齒面,細(xì)實(shí)線表示理論齒面低于實(shí)際齒面,細(xì)虛線表示理論齒面高于實(shí)際齒面,在齒輪凹凸兩面的4個(gè)角點(diǎn)標(biāo)有實(shí)際齒面在該點(diǎn)處相對(duì)于理論齒面的齒形誤差值,誤差值單位為μm。

圖4 齒形誤差改變拓?fù)鋱D

4 滾比修正系數(shù)對(duì)齒面形狀的影響規(guī)律

在實(shí)際加工弧齒錐齒輪時(shí),工作人員通過(guò)齒輪測(cè)量中心測(cè)量齒面誤差或者進(jìn)行滾檢觀察齒面接觸區(qū),再通過(guò)改變機(jī)床調(diào)整參數(shù)對(duì)輪齒的齒面幾何形狀,齒輪副接觸區(qū)的大小、位置和方向進(jìn)行調(diào)整。不同的機(jī)床調(diào)整參數(shù)對(duì)齒面形狀的影響程度不同,根據(jù)齒面的形狀,將誤差齒面表示為二階曲面的形式,將齒面誤差對(duì)各階滾比修正系數(shù)的變化趨勢(shì)分解為5個(gè)誤差敏感系數(shù)。圖5為齒面誤差二階曲面,圖中原點(diǎn)與齒面網(wǎng)格中點(diǎn)重合,齒長(zhǎng)方向?yàn)閄,齒高方向?yàn)閅,Z為齒面形狀誤差,用二階曲面近似的表達(dá)齒面形狀誤差拓?fù)鋱D,其表達(dá)式為:

圖5 齒面誤差二階曲面

Z=a1X+a2Y+a3XY+a4X2+a5Y2

(8)

式中,a1為螺旋角誤差敏感系數(shù),a2為壓力角誤差敏感系數(shù),a3為齒面撓率誤差敏感系數(shù),a4為齒長(zhǎng)曲率誤差敏感系數(shù);a5為齒高曲率誤差敏感系數(shù)。一階系數(shù)a1、a2是對(duì)齒面傾斜角度的表達(dá),二階系數(shù)a3、a4、a5是對(duì)誤差齒面彎曲程度的表達(dá)。

將齒面網(wǎng)格上任意一點(diǎn)的齒面誤差用矩陣表示為:

上式可化簡(jiǎn)為

{Z}=[S]·{a}

(9)

式中,Z為各個(gè)離散點(diǎn)的齒形誤差,矩陣S為誤差矩陣,其數(shù)值由離散點(diǎn)的坐標(biāo)確定,詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程參考文獻(xiàn)[14]和[15]。每改變一項(xiàng)機(jī)床調(diào)整參數(shù),與之對(duì)應(yīng)的齒面形狀誤差Z也會(huì)隨之發(fā)生改變,根據(jù)計(jì)算出的離散點(diǎn)坐標(biāo),可求得每個(gè)機(jī)床調(diào)整參數(shù)對(duì)應(yīng)的誤差敏感系數(shù)。式(9)為超靜定方程組,利用最小二乘法可求得其最小二乘解,即:

{a}=([S]T[S])-1[S]T{Z}

(10)

以上述齒輪副為例,計(jì)算小輪在各高階滾比修正系數(shù)改變下齒面形狀誤差對(duì)應(yīng)的誤差敏感系數(shù)。計(jì)算結(jié)果如表3、表4所示。

表3 小輪凹面各高階滾比修正系數(shù)的誤差敏感系數(shù)

表4 小輪凸面各高階滾比修正系數(shù)的誤差敏感系數(shù)

誤差敏感系數(shù)越大,則與之對(duì)應(yīng)的高階滾比修正系數(shù)改變量對(duì)齒面形狀的影響越大,結(jié)合圖3對(duì)表3、表4的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析可知:

1)高階滾比修正系數(shù)對(duì)齒形的影響主要作用在凹面小端的齒頂和凸面大端的齒頂,對(duì)齒面中部和齒根的影響較小。

2)輪齒凹面,在齒面傾斜角度方面,各階滾比修正系數(shù)對(duì)壓力角與螺旋角的影響程度大致相同;在齒面彎曲程度方面,一階滾比修正對(duì)齒面撓率的影響較大,對(duì)齒高方向曲率影響最小;二階滾比修正系數(shù)對(duì)齒長(zhǎng)方向曲率影響最大,對(duì)齒面撓率影響最小;三階到六階滾比修正系數(shù)均對(duì)齒長(zhǎng)方向曲率影響最大,對(duì)齒高方向曲率影響最小。

3)在輪齒凸面,在齒面傾斜角度方面,二階到四階滾比修正系數(shù)對(duì)壓力角的影響均略大于對(duì)螺旋角的影響,五階、六階滾比修正系數(shù)對(duì)壓力角的影響遠(yuǎn)大于對(duì)螺旋角的影響;在齒面彎曲程度方面,二階到六階滾比修正系數(shù)均對(duì)齒面撓率的影響最大,對(duì)齒長(zhǎng)方向的曲率影響最小。

4)齒輪大端的凹凸兩面變化趨勢(shì)大致相同,而小端則是二階、四階、六階變化趨勢(shì)相同,凹面實(shí)際齒面低于理論齒面,凸面實(shí)際齒面高于理論齒面;三階、五階變化趨勢(shì)相同,凹面實(shí)際齒面高于理論齒面,凸面實(shí)際齒面低于理論齒面。

為了驗(yàn)證論文的正確性,在H350GH數(shù)控螺旋錐齒輪磨齒機(jī)上,根據(jù)各階滾比修正系數(shù)的改變量進(jìn)行了磨削試驗(yàn),如圖6所示。并利用齒輪測(cè)量中心對(duì)齒形誤差進(jìn)行了檢測(cè),如圖7所示。檢測(cè)得到的齒面誤差拓?fù)鋱D的齒面形狀變化趨勢(shì)、各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齒面誤差值和本文分析得到的結(jié)果基本一致,細(xì)微的差別是由于隨機(jī)誤差與測(cè)量誤差造成的。因篇幅所限,論文僅列出滾比修正二階系數(shù)改變+0.02時(shí)的檢測(cè)結(jié)果,如圖8所示。

圖6 H350GH數(shù)控螺旋錐實(shí)驗(yàn)齒輪

圖8 實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果(滾比修正二階系數(shù)改變+0.02)

5 結(jié)束語(yǔ)

建立了引入高階滾比修正系數(shù)的弧齒錐齒輪齒面數(shù)學(xué)模型,開(kāi)發(fā)了齒形誤差分析軟件,借助二階曲面對(duì)齒面誤差的近似表達(dá),分析了高階滾比修正系數(shù)的改變對(duì)輪齒齒形的影響規(guī)律,為弧齒錐齒輪實(shí)際加工過(guò)程中機(jī)床功能的合理運(yùn)用、齒形調(diào)整、齒面接觸區(qū)的調(diào)整和齒形誤差的修正提供了理論依據(jù)。