宋秋杰,熊樹生

(浙江大學(xué),浙江 杭州 310012)

0 引言

機(jī)場跑道建設(shè)是機(jī)場建設(shè)的重中之重,基于滑模攤鋪的混凝土施工技術(shù)多應(yīng)用于機(jī)場停機(jī)坪等大面積混凝土攤鋪工程,可以在保證施工質(zhì)量、效率的同時控制成本,近年來逐漸成為機(jī)場道路攤鋪的主流方案[1]。由于滑模攤鋪特殊的施工方式,盡管攤鋪機(jī)能夠快速高質(zhì)量完成攤鋪?zhàn)鳂I(yè),其鋪設(shè)的道面仍需要人工進(jìn)行抹平抹光、拉毛養(yǎng)護(hù)等后處理工作,如圖1所示。

圖1 滑模攤鋪及其人工后處理

我國滑模攤鋪技術(shù)引入較晚,缺乏高素質(zhì)的攤鋪后處理技術(shù)工人,往往需要投入大量人力完成后處理工作,人工處理速度慢,道面后處理質(zhì)量參差不齊,提高了施工成本的同時極大地影響了道路攤鋪效率。

針對上述問題,亟需一種自動化后處理作業(yè)車,代替人工進(jìn)行道面后處理工作。本文基于該智能車工作的重難點(diǎn),對其行駛控制器進(jìn)行理論分析與開發(fā)設(shè)計,實(shí)現(xiàn)后處理智能車自動步進(jìn)行駛功能,為項目開發(fā)奠定理論基礎(chǔ)。

1 智能車動力學(xué)建模

根據(jù)施工要求,本文研究對象的結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示。

圖2 攤鋪后處理智能車結(jié)構(gòu)示意圖

如圖所示,該車為履帶車,由于履帶結(jié)構(gòu)的特殊性,其在正常行駛的過程中必然伴隨著較為明顯的滑移滑轉(zhuǎn)現(xiàn)象,因此該車的運(yùn)動學(xué)模型示意圖如圖3所示[2]。

圖3 履帶車運(yùn)動學(xué)示意圖

圖中,考慮滑移滑轉(zhuǎn)時,Or為轉(zhuǎn)向中心,v1r為低速側(cè)履帶實(shí)際速度,v2r為高速側(cè)履帶實(shí)際速度,vr為履帶車實(shí)際速度,ωr為車輛實(shí)際橫擺角速度,Rr為車輛實(shí)際轉(zhuǎn)向半徑,B為左右履帶間距。不考慮滑移滑轉(zhuǎn)時,ω為車輛橫擺角速度,v1為低速側(cè)履帶速度,v2為高速側(cè)履帶速度,R為履帶車轉(zhuǎn)向半徑。由圖可知,相較于無滑移滑轉(zhuǎn)的情況,實(shí)際履帶車低速側(cè)履帶速度增加,高速側(cè)履帶速度減小,車輛轉(zhuǎn)向半徑增大。根據(jù)運(yùn)動學(xué)關(guān)系,可以得到:

(1)

考慮滑移滑轉(zhuǎn)的動力學(xué)示意圖如圖4所示。圖中,O1、O2分別為左右履帶的瞬時轉(zhuǎn)動中心,A1、A2分別為左右履帶的轉(zhuǎn)向極(即瞬時轉(zhuǎn)動中心距履帶中心的距離),P(x1,y1)、Q(x2,y2)分別為左右履帶上的一點(diǎn),vp、vq分別為P、Q點(diǎn)相對地面的滑動速度,vpx和vpy分別為P點(diǎn)滑動速度在x軸和y軸上的分量,vqx和vqy分別為Q點(diǎn)滑動速度在x軸和y軸上的分量,Fp和Fq分別為P、Q點(diǎn)受到的滑動摩擦力,θ1和θ2分別為vp、vq和各自履帶中軸線的夾角,F1、F2分別為左右履帶受到的縱向滑動摩擦力,f1和f2分別為左右履帶受到的行駛阻力,是由履帶車機(jī)械結(jié)構(gòu)決定的。M1和M2分別為左右履帶受到的行駛阻力矩。

圖4 履帶車動力學(xué)示意圖

根據(jù)幾何關(guān)系結(jié)合力學(xué)分析可得:

(2)

由于履帶受力均勻且忽略履帶寬度的影響,因此有:

(3)

式中,G為車輛重量,φ為地面摩擦因數(shù)。

根據(jù)運(yùn)動學(xué)原理有:

(4)

對低速側(cè)履帶中心點(diǎn)取矩,根據(jù)力與力矩平衡條件可以得到:

(5)

式中,f為行駛阻力系數(shù)。聯(lián)立上述公式,解超越方程即可求得未知量A1和A2。根據(jù)運(yùn)動學(xué)關(guān)系可得:

(6)

在左右履帶理論線速度v1和v2已知的情況下,根據(jù)已求得的A1、A2,結(jié)合公式(5)和公式(6)即可求得ωr和Rr。至此,履帶車動力學(xué)模型求解完成。

(7)

(8)

2 四次多項式步進(jìn)軌跡規(guī)劃

2.1 軌跡規(guī)劃坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

四次多項式軌跡曲線表達(dá)式如下:

(9)

式中,S為前方車道線上某點(diǎn)相對攝像頭所在直線的橫向偏移距離,Sy為車道線上某點(diǎn)距攝像頭的縱向距離。K1～K5為三次多項式系數(shù)。對于沿該多項式行駛的車輛,其橫向加速度與縱向距離的對應(yīng)關(guān)系為:

(10)

步進(jìn)軌跡需要保證沿該軌跡行駛的履帶車不會與待施工路面發(fā)生碰撞,履帶車接地部分僅有兩側(cè)履帶,因此在碰撞分析時僅需考慮履帶與路面的接觸情況。為便于分析,將履帶簡化為長為L,寬為b的長方形,兩側(cè)履帶中心距為B,左右履帶內(nèi)側(cè)頂點(diǎn)分別為M、N、P、Q,如圖5所示。

圖5 履帶簡化與參數(shù)定義

設(shè)沿軌跡行駛的履帶車幾何中心點(diǎn)的坐標(biāo)為Q(x,y),履帶車橫擺角為φ,如圖6所示,則四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以通過幾何關(guān)系求得。

圖6 軌跡上某點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

M點(diǎn)坐標(biāo)為:

(11)

N點(diǎn)坐標(biāo)為:

(12)

P點(diǎn)坐標(biāo)為:

(13)

Q點(diǎn)坐標(biāo)為:

(14)

2.2 軌跡規(guī)劃碰撞約束

為使履帶車行駛時不會與待施工路面產(chǎn)生碰撞,需要對履帶頂點(diǎn)位置做出限制,設(shè)待施工路面寬度為D,安全距離為i,如圖7所示。

圖7 碰撞約束

(15)

2.3 軌跡規(guī)劃優(yōu)化函數(shù)設(shè)計

為保證步進(jìn)的整個過程中履帶車行駛平滑穩(wěn)定且步進(jìn)結(jié)束時平穩(wěn)停車,定義關(guān)于車輛最大曲率、最大急動度及終點(diǎn)曲率的代價函數(shù)[3]:

J=aρ2+bj2+cσ2

(16)

其中,ρ為軌跡最大曲率,j為軌跡最大急動度,σ為軌跡終點(diǎn)曲率,a、b、c為權(quán)重系數(shù)。

最大曲率、最大急動度的求解會在每一次迭代中再求解一次參數(shù)極值,若采用優(yōu)化算法進(jìn)行迭代求解,理論較為復(fù)雜且算力要求較高。為滿足工程需求,將最大曲率和最大急動度用插值代替,即:

(17)

式中t代表采樣時刻。由于四次多項式曲線是連續(xù)且平滑的,因此只要采樣頻率足夠,且每項插值均滿足約束條件,則插值優(yōu)化函數(shù)可以保證整個曲線接近最優(yōu)曲線。

在整個步進(jìn)過程中,定義φ(t)為采樣時刻t的車輛運(yùn)動狀態(tài),S為整個步進(jìn)過程中的運(yùn)動狀態(tài)合集。即:

φ(t)= [ρt,jt,yt,φt]T?t∈[1,Nend]

(18)

S=[φ(1),φ(2),…φ(Nend)]

(19)

用lr(t)、hr(t)分別表示在采樣時刻t,車輛的運(yùn)動狀態(tài)約束,并用LR和HR分別表示整個步進(jìn)過程中的上下邊界條件。即:

(20)

(21)

綜上所述,四次多項式軌跡規(guī)劃優(yōu)化函數(shù)為:

s.t.LR≤S≤HR

(22)

至此,四次多項式軌跡規(guī)劃轉(zhuǎn)化為求解上述優(yōu)化問題,通過設(shè)置合適的權(quán)重系數(shù),利用MATLAB提供的fmincon函數(shù),采用默認(rèn)的內(nèi)點(diǎn)法或有效集法即可求得優(yōu)化后的四次多項式軌跡。

3 MPC軌跡跟蹤控制器設(shè)計

3.1 MPC基本原理

模型預(yù)測控制機(jī)理如圖8所示[4],包含三個重要環(huán)節(jié):預(yù)測模型、滾動優(yōu)化、反饋矯正?；诒疚挠懻摰能壽E跟蹤控制問題,三個環(huán)節(jié)的內(nèi)容可以概括為:

圖8 MPC基本原理

1)預(yù)測模型:即車輛動力學(xué)模型。

2)滾動優(yōu)化:在下一時刻,需要再次測量該時刻的狀態(tài)量,并將其作為初始條件重新進(jìn)行優(yōu)化求解。

3)反饋矯正:狀態(tài)量與參考量之間的差值作為反饋信息,構(gòu)成整體的閉環(huán)控制。

3.2 非線性MPC理論模型

根據(jù)車輛運(yùn)動學(xué)規(guī)律,履帶車在步進(jìn)過程中滿足:

(23)

根據(jù)以上公式,取狀態(tài)量:χ=[x,y,φ]T,控制量:u=[v,ω]T。對于履帶車控制系統(tǒng),任意時刻的狀態(tài)量和控制量均滿足:

(24)

某一時刻,在任一點(diǎn)(χr,ur)處,根據(jù)泰勒定理,保留一階項,忽略高階項得:

(25)

根據(jù)公式(23)、(24)和(25),狀態(tài)量誤差的變化量為:

(26)

定義離散時間間隔為T,對公式(26)進(jìn)行前向歐拉離散化可得:

(27)

在非線性MPC控制算法中,采用目標(biāo)函數(shù):

(28)

該目標(biāo)函數(shù)中的第一項反映了該控制算法對目標(biāo)軌跡的跟蹤能力,第二項反映了該控制算法中控制量變化的平穩(wěn)性,第三項ρ為權(quán)重,ε為松弛因子,避免出現(xiàn)優(yōu)化問題無解的情況。

3.3 線性MPC理論模型

(29)

其中,Nc=2為控制量個數(shù),Nx=3為χ的狀態(tài)量個數(shù),η為狀態(tài)量輸出方程。在滿足控制精度的情況下,嘗試簡化計算,做出如下假設(shè):

對控制周期內(nèi)任一時刻下的狀態(tài)方程有,

Ak=A,k∈[1,…,t+N-1]

Bk=B,k∈[1,…,t+N-1]

(30)

在該假設(shè)條件下,對公式(29)進(jìn)行遞歸計算:

(31)

歸納總結(jié)得到狀態(tài)量ξ的輸出方程為:

(32)

由上式可以看出,根據(jù)當(dāng)前時刻的狀態(tài)量ξ(k)和控制時域內(nèi)的控制增量ΔU即可求得預(yù)測時域內(nèi)的狀態(tài)量輸出Y,且這種映射關(guān)系是線性的,即通過定義新的狀態(tài)量將非線性系統(tǒng)線性化。

類似地,定義優(yōu)化目標(biāo)函數(shù):

(33)

仿真及實(shí)驗的理想控制效果為車輛運(yùn)行軌跡和目標(biāo)軌跡重合,因此Yref=[0,0,…,0]T。結(jié)合式(32)和式(33),優(yōu)化函數(shù)可以改寫為:

J(k)=ΔUT(ΘTQΘ+R)ΔU+2ETQΘΔU+ρε2+ETQE

(34)

將ΔU作為參數(shù),則上述目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閝uadprog二次規(guī)劃問題,將優(yōu)化后的結(jié)果序列ΔU中的第一個元素作用于被控對象,在下一時刻重復(fù)上述步驟,即可實(shí)現(xiàn)模型預(yù)測控制。由于二次規(guī)劃問題已有較為完備高效的求解方法,因此該模型計算速度較快,在實(shí)際應(yīng)用中可以結(jié)合PID輔助控制,使車輛盡量在縱向上實(shí)現(xiàn)恒速行駛。

3.4 控制器MATLAB仿真驗證

在MATLAB中對上述兩種模型進(jìn)行仿真驗證,待跟蹤的軌跡由軌跡規(guī)劃給出。仿真時,對于同一條參考軌跡,為比較兩種方法的控制效果,在同樣仿真參數(shù)下進(jìn)行驗證,具體數(shù)值見表1。非線性模型預(yù)測仿真中,目標(biāo)函數(shù)權(quán)重設(shè)置為:R=Q=100INp;線性模型預(yù)測仿真中,目標(biāo)函數(shù)權(quán)重設(shè)置為:R=Q=100INp,PID控制器參數(shù)為:Kp=0.5,Ki=0.08,Kd=0.01。

表1 模型預(yù)測控制仿真參數(shù)

結(jié)合動力學(xué)模型約束條件及履帶車本身機(jī)械結(jié)構(gòu)、穩(wěn)定性要求,對模型預(yù)測控制的控制量、控制量增量及狀態(tài)量進(jìn)行約束,邊界條件見表2。

表2 模型預(yù)測控制仿真約束

設(shè)定履帶與待施工路面間的最小安全距離為0.2 m,步進(jìn)距離為6 m,則履帶車在終點(diǎn)的位置目標(biāo)狀態(tài)為[xend,yend,φend]=[6,0,0],理想狀態(tài)下履帶車縱向速度恒定為1 m。假設(shè)車輛初始位姿為[x0,y0,φ0]=[0,0.5,0],取優(yōu)化函數(shù)中曲率及急動度的采樣步長均為0.1 m,優(yōu)化函數(shù)的權(quán)重系數(shù)分別為:at=bt=1(t∈[1,60]),ct=100,優(yōu)化算法采用內(nèi)點(diǎn)法。四次多項式軌跡規(guī)劃輸出結(jié)果為:

y=-0.0012x4+0.0185x3-0.0833x2+0.5

(35)

終點(diǎn)處曲率為1.3×10-4,橫擺角為1.4×10-12,履帶車幾何中心縱坐標(biāo)為2.12×10-12,軌跡最大曲率為0.16,可見該軌跡規(guī)劃滿足軌跡平穩(wěn)及終點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)要求。

在上述參考軌跡及約束條件下,在MATLAB中對非線性模型預(yù)測控制、線性模型預(yù)測控制與PID控制耦合模型分別進(jìn)行仿真,得到圖9所示結(jié)果。

圖9 模型預(yù)測結(jié)果圖

從結(jié)果圖可以看出,在理想條件下,非線性模型預(yù)測控制和線性模型預(yù)測與PID耦合控制均能對給定軌跡進(jìn)行較精確的跟蹤。

為進(jìn)一步分析兩種算法的優(yōu)劣,對整個仿真過程中的狀態(tài)量及其偏差進(jìn)行分析,繪制出運(yùn)動學(xué)參數(shù)相對于縱向位置的變化圖,如圖10所示。

圖10 模型預(yù)測結(jié)果分析圖

上述兩種工況下,線性模型預(yù)測的線速度曲線起初對軌跡速度的跟蹤效果較差,但隨著仿真的進(jìn)行,其線速度偏差逐漸回落,最后趨于平穩(wěn),其后半程偏差均穩(wěn)定在0.01 m/s內(nèi),這是由于在控制算法中加入了PID橫向速度跟蹤控制器,其對線速度和角速度的跟蹤性能遠(yuǎn)強(qiáng)于非線性模型預(yù)測控制器。

值得注意的是,線性模型預(yù)測控制器的縱向位置偏差均較高,但總體跟蹤效果仍良好,這說明該控制算法對橫向位置的跟蹤有延遲性,但隨著時間的推移,控制算法能較快彌補(bǔ),且接近終點(diǎn)處該算法的各項參數(shù)均更加穩(wěn)定,說明該算法在終點(diǎn)處控制效果更好。兩種算法的橫向位置偏差均遠(yuǎn)小于0.2 m,說明軌跡跟蹤滿足碰撞極限約束。

4 結(jié)論

本文針對道面攤鋪后處理智能車,設(shè)計了一種基于MPC的步進(jìn)行駛控制器,相較于人工步進(jìn)行駛,該控制器基于履帶車動力學(xué)模型、四次多項式軌跡規(guī)劃及MPC控制算法實(shí)現(xiàn)了自動的步進(jìn)行駛,提高了行駛的安全性及終點(diǎn)的平穩(wěn)性。在MATLAB中對上述控制器進(jìn)行仿真驗證,結(jié)果表明,本文設(shè)計的控制器滿足功能要求,對提升道面后處理施工效率具有重要意義。