趙彥軍, 蘇 麗, 孫曉輝, 李文軒

(1.吉林外國語大學(xué)國際商學(xué)院，長春 130117; 2.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，長春 130012)

0 引言

傳染病一直是人類及一切生命的天敵，微分方程建模的方法是了解傳染病傳播機制和提供適當(dāng)控制措施的有效途徑。傳染病的確定性模型于1927 年，由Kermack 和McKendrick[1]首次提出，稱為SIR 模型，為以后傳染病動力學(xué)的研究和疾病控制奠定了基礎(chǔ)。很多研究者通過各種不同類型的數(shù)學(xué)模型，分析和研究了傳染病在生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、流行病學(xué)、族群動態(tài)和環(huán)境科學(xué)中的流行特征。在這些傳染病流行模式中，通常將總?cè)丝诜譃橐赘姓逽、感染者I和恢復(fù)者R三類?，F(xiàn)實生活中經(jīng)常發(fā)生由于免疫性喪失，恢復(fù)的個體返回易感倉室的情況，這被歸類為SIRS 模型[2–5]。例如瘧疾、流感、肺結(jié)核等，個人的免疫力可能會隨著時間的推移而減弱。

利用微分方程建模的方法研究傳染病發(fā)展變化過程中，疾病發(fā)生率是一個至關(guān)重要的因素，其中最常用的為雙線性(或標(biāo)準(zhǔn))發(fā)生率。此外，Capasso 和Serio[6]首次引入感染者的飽和發(fā)生率βSI/(1+αI)，Xu 等[7–8]在SIR、SEIS 傳染病模型中應(yīng)用易感人群的飽和發(fā)生率βSI/(1+αS)，Miao 等[9–12]在SIS 等傳染病模型中研究過Beddington-DeAngelis 發(fā) 生 率βSI/(1 +aS+bI)。當(dāng)a=b= 0 時，Beddington-DeAngelis 發(fā)生率轉(zhuǎn)變?yōu)殡p線性發(fā)生率；當(dāng)a ＞0,b= 0 時，轉(zhuǎn)變?yōu)橐赘姓叩娘柡桶l(fā)生率；當(dāng)a=0,b ＞0 時，轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊叩娘柡桶l(fā)生率；因同時考慮易感者和感染者的雙重抑制作用，Beddington-DeAngelis 發(fā)生率相對于雙線性(或標(biāo)準(zhǔn))發(fā)生率和飽和發(fā)生率，更具有一般性。1975 年，Crowley 和Martin[13]提出了Crowley-Martin 型發(fā)生率

它與典型的Beddington-DeAngelis 發(fā)生率相似。當(dāng)α=β= 0 時，Crowley-Martin 型發(fā)生率轉(zhuǎn)變?yōu)镠olling I 型即雙線性發(fā)生率；當(dāng)β=0 時，其轉(zhuǎn)變?yōu)镠olling II 型即飽和發(fā)生率。此外，無論感染者是否感染易感者，Crowley-Martin 型發(fā)生率都允許感染者之間存在干擾[14–15]，從這個角度看，它優(yōu)于Beddington-DeAngelis 型發(fā)生率，更具現(xiàn)實意義。

實際問題中，各種群的數(shù)量總是隨著內(nèi)部和外界環(huán)境擾動而變化，為使模型更貼近現(xiàn)實，經(jīng)常假設(shè)種群數(shù)量具有Logistic 增長。此外，疾病發(fā)生率不僅與易感人群的數(shù)量有關(guān)，也與感染人群的數(shù)量有關(guān)。目前，對傳染病模型這兩個方面的研究已有很多成果[16–17]。在一般的流行病模型中，只有一種疾病是由一種病毒引起的，然而在現(xiàn)實生活中，更多情況下是多種疾病共存的。Meng 等[18–20]研究了具有雙流行病的流行病模型。本文首先基于文獻[5,13–20]的基礎(chǔ)，提出一類具有Logistic 增長和Crowley-Martin 型發(fā)生率的確定性SIRS 雙流行傳染病模型

其中S(t)、I1(t)、I2(t)和R(t)分別表示在t時刻易感者、第1 種疾病的感染者、第2 種疾病的感染者和免疫者的數(shù)量。N(t) =S(t)+I1(t)+I2(t)+R(t)表示t時刻人口的總量，并且將所有新生兒均視為易感者，這里N(t)滿足Logistic 增長；b為自然出生率系數(shù)；μ為自然死亡率系數(shù)；r=b ?μ為內(nèi)稟增長率系數(shù)；K為環(huán)境容納量；β1、β2分別為第1 種疾病、第2 種疾病與對應(yīng)病患者的接觸率系數(shù)；θ1、θ2分別表示相應(yīng)疾病的因病死亡率系數(shù)；η1、η2分別表示相應(yīng)疾病的恢復(fù)率系數(shù)；δ為免疫者失去免疫再次成為易感者的喪失免疫率系數(shù)；ai和bi(i= 1,2)為測量抑制效果的參數(shù)，ai(i= 1,2)的生物學(xué)意義為處理時間，bi(i= 1,2)的生物學(xué)意義為感染者個體之間的干擾程度。假設(shè)模型(1)涉及的所有參數(shù)均為正數(shù)，基于生物學(xué)意義，本文僅在

內(nèi)討論模型的動力學(xué)性質(zhì)，且假設(shè)(S(0),I1(0),I2(0),R(0))∈G。

易得確定性模型(1)的無病平衡點E0=(K,0,0,0)，且基本再生數(shù)

其定義為在完全無病的人群中放置一名感染者所產(chǎn)生的繼發(fā)性病例的預(yù)期數(shù)量。一般來說，無論疾病是否發(fā)生，R0i(i=1,2)在其中起主導(dǎo)作用。如果R0i ＞1(i=1,2)，則確定性模型(1)存在唯一全局漸近穩(wěn)定的地方病平衡點。

在現(xiàn)實生活中，某種生物在通常條件下，其生長受到一些小的隨機因素的干擾，比如下一場小雨、刮一點風(fēng)、天敵捕食一點、晴天變成陰天、正常的生老病死等，這些細小的、獨立的隨機干擾的總和，通常在數(shù)學(xué)上用“白噪聲”來描述。環(huán)境噪聲無處不在，疾病的傳播過程不可避免的受到環(huán)境波動的影響。應(yīng)用隨機微分方程的穩(wěn)定性理論來研究傳染病動力學(xué)能更好地擬合現(xiàn)實情況，Arnold 等在文獻[21–22]中首先對隨機傳染病動力學(xué)的研究做出了奠基性工作，隨后國內(nèi)外陸續(xù)涌現(xiàn)出大量的研究成果[3–5,9,11–12,14–20]。環(huán)境的改變會對傳染病模型的參數(shù)產(chǎn)生一定的影響，因此為了更好地描述環(huán)境變化對疾病的影響，本文主要研究接觸系數(shù)βi(i= 1,2)受到白噪聲干擾時疾病的動力學(xué)行為，即βi →βi+σi˙Bi(t)(i= 1,2)，并且假設(shè)兩種疾病不會重復(fù)感染(即患者感染一種疾病后就不會同時感染另一種疾病)，得到如下隨機SIRS 雙流行傳染病模型

其中Bi(t)(i=1,2)為獨立標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，即隨機干擾源；σi(i=1,2)為白噪聲強度。將模型(2)中的四個方程相加，有

在本文中，設(shè)(?,F,{Ft}t≥0,P)是一個完備概率空間，σ-代數(shù)族{Ft}t≥0滿足非降且右連續(xù)，并且B(t) = (B1(t),B2(t))是定義在完備概率空間(?,F,{Ft}t≥0,P)上的布朗運動。f(t)是[0,+∞)上的可積函數(shù)，定義

那么稱疾病Ii(t)(i=1,2)是持久的。

1 全局正解的存在唯一性

為了研究傳染病模型的動態(tài)行為，首先需要考慮其解是否具有全局正解。在本節(jié)中，首先證明模型(2)的等價模型(3)存在唯一的全局正解，進而說明模型(2)全局正解的存在唯一性。

定理1 對任意初值(N(0),I1(0),I2(0),R(0))∈G，隨機模型(3)存在唯一全局正解(N(t),I1(t),I2(t),R(t))(t ≥0)，且該解依概率1 位于G中。

證明 因為模型(3)的系數(shù)滿足局部Lipschitz 連續(xù)，但不滿足線性增長條件，則對任意初值(N(0),I1(0),I2(0),R(0))∈G，模型(3)存在唯一的局部解(N(t),I1(t),I2(t),R(t)),t ∈[0,te), a.s.，其中te為爆破時間。要證明解的全局存在性，只需證明te=∞，a.s.。

這里令inf?=∞(?表示空集)。顯然，當(dāng)n →∞時，tn是單調(diào)遞增的。令t∞=limn→∞tn，則顯然有t∞≤te, a.s.。若t∞=∞, a.s.成立，則有te=∞，從而有(N(t),I1(t),I2(t),R(t))∈G,t ≥0, a.s.。換句話說，只需證明t∞=∞, a.s.即可。

我們采用反證法。若不然，則一定存在常數(shù)T ＞0 和ε ∈(0,1)，使得

則存在正整數(shù)n1≥n0，使得

定義C2→函數(shù)V:R4+→R1+∪{0}：

根據(jù)假設(shè)條件(H)，有

這里?K是一個正常數(shù)，所以

對(5)式兩端分別從0 到tn ∧T積分并取期望，得

則由(4)式和(5)式，可知

其中1?n(ω)表示?k的示性函數(shù)。令n →∞，則有∞＞V(N(0),I1(0),I2(0),R(0))+?KT=∞，矛盾，所以有t∞=∞, a.s.，這就意味著N(t)、I1(t)、I2(t)和R(t)以概率1 在有限時間內(nèi)不會產(chǎn)生爆破。

2 疾病滅絕性的充分條件

本節(jié)我們將討論模型(2)的隨機滅絕性，研究傳染病滅絕性的充分條件。

定理2 如果

則模型(2)的疾病幾乎必然滅絕。

證明 設(shè)(S(t),I1(t),I2(t),R(t))是模型(2)滿足初值(S(0),I1(0),I2(0),R(0))∈G的解，對模型(2)應(yīng)用It?o 公式，有

因Mi(t)是滿足初值Mi(0)=0 的局部鞅，根據(jù)鞅的強大數(shù)定理有

由模型(2)中的第二、第三個方程，可得

則有如下定理。

定理3 設(shè)(S(t),I1(t),I2(t),R(t))是模型(2)關(guān)于初值(S(0),I1(0),I2(0),R(0))的解，若R?i ＜1 且

則模型(2)的疾病趨于滅絕，且limt→∞Ii(t)=0(i=1,2), a.s.。

證明 對(6)式兩邊從0 到t積分，有

所以limt→∞Ii(t)=0(i=1,2), a.s.。

由定理2 和定理3 表明，當(dāng)白噪聲擾動較大或R?i ＜1(i= 1,2)且白噪聲擾動不大時，疾病就會滅絕。

3 疾病在均值意義下的持久性

本節(jié)我們將討論模型(2)的隨機持久性，研究傳染病持續(xù)下去的條件。

對(1+a1K)(lnI1(t)+b1I1(t))應(yīng)用It?o 公式，有

對(11)從0 到t積分，并且兩邊同時除以t，再根據(jù)(10)式，有

由強大數(shù)定理可得limt→∞M2(t)/t=0，且I1(t)≤K，則

對(12)式取下確界再取極限，令t →∞,?1→0，得

根據(jù)It?o 公式，有

對(14)式從0 到t積分，并且兩邊同時除以t，再根據(jù)(13)式，有

4 數(shù)值模擬

在這一部分，我們基于文獻[5,18–20]的模擬數(shù)據(jù)，利用Matlab 進行數(shù)值模擬，驗證本文結(jié)論的正確性。根據(jù)Milstein 方法，利用Matlab 對具有Crowley-Martin 型發(fā)生率的隨機SIRS 雙流行傳染病模型(2)進行模擬，模型(2)的離散格式如下

其中ξi(k)(i=1,2,k=1,2,···,n)是獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量。

選擇初值(S(0),I1(0),I2(0),R(0)) = (15,5,5,10)，參數(shù)取值如下K= 50,μ=0.2,β1=0.2,β2=0.2,θ1=0.1,θ2=0.1,δ=0.2,η1=0.2,η2=0.2,b=0.5,a1=0.2,b1=0.5,a2=0.2,b2=0.5,r=b ?μ。

在圖1 中，取σ1=0,σ2=0，此時即為確定性模型(1)，基本再生數(shù)R0i=1.818 12＞1(i=1,2)。由圖1 可知，確定SIRS 模型(1)中疾病I1、I2將持續(xù)存在。在圖2 中，取σ1=0.25,σ2=0.3，使得

圖1 σ1 =0, σ2 =0

滿足定理2 的條件。由定理2 的結(jié)論可知，此時無論R?i(i=1,2)取值如何，隨機SIRS 傳染病模型(2)的疾病I1、I2將必然滅絕，這與定理2 的結(jié)論相吻合。

在圖3 中，取σ1= 0.199,σ2= 0.205，使得R?1= 0.999 98＜1,R?2= 0.949 90＜1 且

圖3 σ1 =0.199, σ2 =0.205

滿足定理3 的條件。由定理3 的結(jié)論可知，此時隨機SIRS 傳染病模型(2)的疾病I1、I2將趨于滅絕，這與定理3 的結(jié)論相吻合。

在圖4 中，取σ1=0.05,σ2=0.3，使得R?1=1.766 53＞1 且

圖4 σ1 =0.05, σ2 =0.3

滿足定理4 中條件1)。由定理4 中條件1)的結(jié)論可知，此時隨機SIRS 傳染病模型(2)的疾病I1持久，疾病I2必然滅絕，這與定理4 中條件1)的結(jié)論相吻合。

在圖5 中，取σ1=0.05,σ2=0.205，使得R?1=1.766 53＞1,R?2=0.949 90＜1 且

圖5 σ1 =0.05, σ2 =0.205

滿足定理4 中條件1)。由定理4 中條件1)的結(jié)論可知，此時隨機SIRS 傳染病模型(2)的疾病I1持久，疾病I2趨于滅絕，這與定理4 中條件1)的結(jié)論相吻合。

在圖6 中，取σ1=0.25,σ2=0.08，使得R?2=1.685 95＞1 且

圖6 σ1 =0.25, σ2 =0.08

滿足定理4 中條件2)的條件。由定理4 中條件2)的結(jié)論可知，此時隨機SIRS 傳染病模型(2)的疾病I1必然滅絕，疾病I2持久，這與定理4 中條件2)的結(jié)論相吻合。

在圖7 中，取σ1=0.199,σ2=0.08，使得R?2=1.685 95＞1,R?1=0.999 98＜1 且

圖7 σ1 =0.199, σ2 =0.08

滿足定理4 中條件2)。由定理4 中條件2)的結(jié)論可知，此時隨機SIRS 傳染病模型(2)的疾病I1趨于滅絕，疾病I2持久，這與定理4 中條件2)的結(jié)論相吻合。

在圖8 中，取σ1=0.05,σ2=0.08，使得R?1=1.766 53＞1,R?2=1.685 95＞1 滿足定理4 中條件3)。由定理4 中條件3)的結(jié)論可知，此時隨機SIRS 傳染病模型(2)的疾病I1、I2將持續(xù)存在，這與定理4 中條件3)的結(jié)論相吻合。

圖8 σ1 =0.05, σ2 =0.08

5 結(jié)論

疾病傳播過程中，環(huán)境的隨機波動是影響傳染病傳播的不可避免地重要因素之一。本文研究了一類利用白噪聲來描述環(huán)境對疾病傳播影響的隨機SIRS 雙流行傳染病模型，得到了模型全局正解的存在唯一性、滅絕性和持續(xù)性的充分條件，結(jié)果表明：白噪聲強度較大時兩種流行病必然滅絕，而白噪聲強度較小時，如果R?i ＜1(i= 1,2)，兩種流行病也會趨于滅絕，但如果R?i ＞1(i= 1,2)，兩種流行病在均值意義下將持續(xù)存在。本文結(jié)果在生物學(xué)意義下提供了疾病控制的理論和方法。最后，通過數(shù)值模擬驗證了我們所得到的主要結(jié)果。