張 碩

(天津財(cái)經(jīng)大學(xué)理工學(xué)院，天津 300222)

0 引言

自從1949 年信息論的創(chuàng)始人Shannon[1]正式提出采樣定理以來(lái)，這一定理作為信號(hào)的基本分析工具在信號(hào)分析與處理中發(fā)揮了重要作用，可以說(shuō)沒(méi)有采樣定理，就沒(méi)有今天手機(jī)的普及和信息社會(huì)的文明。

關(guān)于采樣定理的研究可以追溯到20 世紀(jì)初。1915 年，Whittaker[2]在研究插值理論時(shí)，利用辛格函數(shù)完成了對(duì)給定數(shù)據(jù)進(jìn)行內(nèi)插的問(wèn)題，并給出了具有整函數(shù)性質(zhì)的基數(shù)函數(shù)C(x)，也就是信號(hào)處理中經(jīng)常提到的頻譜有限函數(shù)。Whittaker 還證明這一基數(shù)函數(shù)C(x)不僅是f(x)的插值表達(dá)式，而且是f(x)的一般逼近表達(dá)式，從這一點(diǎn)講，Whittaker 是數(shù)學(xué)領(lǐng)域采樣定理研究的先驅(qū)[3]。1920 年，Ogura[4]指出了Whittaker 定理中存在的問(wèn)題并對(duì)采樣定理進(jìn)行了清晰描述，遺憾的是，Ogura 在采樣方面的工作在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)都沒(méi)有得到認(rèn)可，直到1992 年他的基本定理才引起了數(shù)學(xué)界的關(guān)注[5]。Nyquist、Kotelnikov 和Shannon 也先后從不同角度對(duì)信號(hào)采樣問(wèn)題進(jìn)行了深入研究，對(duì)該定理的發(fā)展和推廣做出了很大貢獻(xiàn)。因此，采樣定理又被稱(chēng)為Whittaker-Kotelnikov-Shannon 采 樣 定 理(以 下 簡(jiǎn) 稱(chēng)WKS 采 樣 定 理)。實(shí) 際 上Whittaker 的 理 論與Shannon 的理論是采樣定理在數(shù)學(xué)領(lǐng)域與信息處理領(lǐng)域的等價(jià)形式。

WKS 采樣定理為利用頻譜有限信號(hào)的離散采樣值恢復(fù)原始信號(hào)提供了依據(jù)，建立了連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)之間的橋梁。盡管如此，WKS 采樣定理在使用中仍存在一些缺陷和局限性。很多學(xué)者針對(duì)WKS 采樣定理的局限性從不同角度開(kāi)展了深入研究，其中不乏精彩的結(jié)論，進(jìn)一步擴(kuò)大了采樣定理的應(yīng)用范圍。首先，WKS 采樣定理要求采樣間隔相等，這對(duì)采樣儀器的精確度提出了更高的要求而且采樣的數(shù)據(jù)也必須完整。因?yàn)闊o(wú)論是人工還是機(jī)器控制采樣間隔都無(wú)法做到等間隔，在某些實(shí)際情況中不得不進(jìn)行非均勻采樣，而且如果在采樣的時(shí)間段內(nèi)信號(hào)頻率變化很大，按照WKS 采樣定理中進(jìn)行均勻采樣會(huì)造成數(shù)據(jù)冗余，在要求的時(shí)間段內(nèi)進(jìn)行非均勻采樣可以減小數(shù)據(jù)冗余度，這在處理一些大數(shù)據(jù)圖像時(shí)就非常重要。早在1953 年，Black[6]就提出了非均勻采樣的思想，通過(guò)一些例子討論了非均勻采樣的應(yīng)用，指出在信號(hào)重構(gòu)過(guò)程中會(huì)存在誤差。1956 年，Yen[7]詳細(xì)研究了一些特殊的非均勻采樣過(guò)程，推導(dǎo)出頻譜有限信號(hào)的一些有趣性質(zhì)，給出了四個(gè)廣義采樣定理，并引入了一類(lèi)稱(chēng)為“最小能量”的信號(hào)，這類(lèi)信號(hào)更適合包含有限個(gè)采樣點(diǎn)的非均勻采樣。隨后的幾十年，非均勻采樣信號(hào)的重構(gòu)問(wèn)題，非均勻采樣的域變換算法，非均勻采樣的方式設(shè)計(jì)，非均勻采樣的誤差分析都成為研究的重要方向，詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)[8]。

其次，WKS 采樣定理要求信號(hào)頻譜有限，這只是理想的數(shù)學(xué)模型，一個(gè)信號(hào)不可能同時(shí)時(shí)域有限又頻域有限。因此，實(shí)際中處理的信號(hào)經(jīng)常是非頻譜有限的，這就促使人們考慮更大的函數(shù)空間，比如小波子空間、平移不變空間。1992 年，Walter[9–10]將采樣定理推廣到小波子空間，隨后又建立了小波子空間的不規(guī)則采樣。Walter 小波子空間采樣定理是WKS 采樣定理的推廣，如果將Walter 小波子空間采樣定理中的基函數(shù)s(t)換成辛格函數(shù)，即為WKS 采樣定理。而s(t)并非一定是頻譜有限函數(shù)，如果它是非頻譜有限的，則Walter 小波子空間采樣定理可以重構(gòu)非頻譜有限信號(hào)。1993 年，Xia 和Zhang[11]在小波空間中研究了基正交尺度函數(shù)的采樣定理及小波變換。1996 年，Liu[12]在樣條小波空間中建立了不規(guī)則采樣定理。在文獻(xiàn)[11]的研究基礎(chǔ)上，孫文昌和周性偉[13–15]對(duì)小波子空間的采樣問(wèn)題進(jìn)行了深入研究，得到了一系列有意義的結(jié)論，使得小波空間的采樣定理有了進(jìn)一步發(fā)展，并建立了向量小波空間上的采樣定理，給出了小波子空間里采樣定理的各種誤差分析。隨著小波理論的發(fā)展，采樣定理這一課題再一次得到了發(fā)展，借助小波空間的自由度更高的特點(diǎn)，很多研究者提出了實(shí)用性更廣泛的采樣公式。

第三，WKS 采樣定理要求獲得無(wú)限多個(gè)離散采樣點(diǎn)的精確值。一方面，實(shí)際采樣中計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行有限次運(yùn)算，只能使用有限個(gè)采樣點(diǎn)的值重構(gòu)原始信號(hào)，這樣會(huì)產(chǎn)生截?cái)嗾`差。另一方面，由于儀器的精度和慣性，得到的只是采樣點(diǎn)的局部平均值而非精確值。基于以上兩點(diǎn)，學(xué)者們提出了局部采樣和平均采樣的概念。

第四，WKS 采樣定理適用于確定性信號(hào)的重構(gòu)，而自然界的信號(hào)大多是隨機(jī)信號(hào)，而且依賴(lài)于多個(gè)變量，比如時(shí)間、位置等，有關(guān)隨機(jī)信號(hào)和隨機(jī)場(chǎng)采樣的研究應(yīng)運(yùn)而生。早在1955 年，Yaglom 和Harkevich 在博士論文中研究了寬平穩(wěn)過(guò)程采樣問(wèn)題。1957 年，Balakrishnan[16]證明了連續(xù)參數(shù)隨機(jī)過(guò)程的采樣定理并給出了精確重構(gòu)公式，將采樣定理推廣到了復(fù)值寬平穩(wěn)過(guò)程。

根據(jù)信號(hào)的類(lèi)型從確定性信號(hào)轉(zhuǎn)向?qū)﹄S機(jī)信號(hào)采樣的研究，尤其是非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)、隨機(jī)場(chǎng)的采樣定理是一個(gè)新的研究課題；根據(jù)函數(shù)空間的類(lèi)型，研究者提出了條件更寬松的函數(shù)空間來(lái)重構(gòu)原始信號(hào)，如小波空間、樣條空間、平移不變空間、再生核空間等。根據(jù)采樣點(diǎn)的取值，由精確采樣轉(zhuǎn)向局部平均采樣。這些研究不是孤立進(jìn)行的，如頻譜有限信號(hào)的平均采樣[17–19]，樣條子空間中信號(hào)的平均采樣[20–21]，平移不變空間中的平均采樣[22–24]，再生核空間中的采樣與重構(gòu)[25–27]，混合勒貝格空間中信號(hào)的采樣和重構(gòu)問(wèn)題[28–32]等都有有價(jià)值的結(jié)論提出，這對(duì)采樣定理的發(fā)展和應(yīng)用起到了非常大的推動(dòng)作用。本文主要從隨機(jī)信號(hào)與局部平均采樣兩方面系統(tǒng)介紹近幾年在隨機(jī)過(guò)程、高維隨機(jī)過(guò)程、隨機(jī)場(chǎng)、時(shí)空隨機(jī)場(chǎng)局部平均采樣定理方面的若干結(jié)論，以及時(shí)空隨機(jī)場(chǎng)采樣的未來(lái)研究方向。

1 經(jīng)典隨機(jī)過(guò)程采樣定理

WKS 采樣定理被正式介紹到工程領(lǐng)域后，為信號(hào)處理的有關(guān)理論奠定了基礎(chǔ)，也成為具有歷史意義的里程碑。同時(shí)，很多學(xué)者也注意到大自然中的大多數(shù)信號(hào)是隨機(jī)的，沒(méi)有確切的表達(dá)式。因此，關(guān)于隨機(jī)過(guò)程的采樣問(wèn)題受到了關(guān)注，其中就包括前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Kolmogorov。在WKS 采樣理論中基本的模型是頻譜有限函數(shù)，將其推廣到隨機(jī)信號(hào)時(shí)也是從頻譜有限函數(shù)開(kāi)始的。

1955 年，Kolmogorov 的博士生Yaglom 在他的博士論文中討論了寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程采樣的有關(guān)問(wèn)題。1957 年，Balakrishnan[16]將采樣定理推廣到復(fù)值平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，給出了復(fù)值平穩(wěn)過(guò)程均方收斂的結(jié)果及證明。

定理1[16]若復(fù)值平穩(wěn)過(guò)程{X(t),t ∈R}的譜密度函數(shù)f(λ) = 0(|λ|＞?)，即{X(t)}的自相關(guān)函數(shù)R(τ)在[??,?]上頻譜有限，則

即按均方收斂，簡(jiǎn)記為

Belyaev[33]也一直從事隨機(jī)過(guò)程和采樣定理方面的研究，1959 年，他研究了解析隨機(jī)過(guò)程，給出了隨機(jī)過(guò)程解析性的充分條件及高斯過(guò)程和平穩(wěn)過(guò)程解析的充要條件。同時(shí)，也將采樣定理從概率1 收斂的角度推廣到復(fù)值隨機(jī)過(guò)程。

定理2[33]若隨機(jī)過(guò)程{X(t),t ∈R}的譜密度函數(shù)f(λ) = 0，當(dāng)|λ|＞ ?，即{X(t)}的自相關(guān)函數(shù)R(τ)在[??,?]上頻譜有限，則在幾乎處處收斂意義下成立：

WKS 采樣定理解決的是確定性頻譜有限信號(hào)的恢復(fù)問(wèn)題，而隨機(jī)信號(hào)是實(shí)際中是常見(jiàn)的，通常用平穩(wěn)過(guò)程作為隨機(jī)過(guò)程采樣定理的研究模型。以上定理說(shuō)明對(duì)于[??,?]上的頻譜有限的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，可以由它的離散采樣值恢復(fù)原始信號(hào)。若? ＞?，也可以做到幾乎處處收斂。

與此同時(shí)，Lloyd[34]也從數(shù)學(xué)角度對(duì)寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的采樣問(wèn)題進(jìn)行了討論。1962 年，Yaglom[35]在專(zhuān)著中介紹了頻譜有限寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)和有關(guān)結(jié)論。1965 年，Zakai[36]推廣了頻譜有限函數(shù)和隨機(jī)過(guò)程的定義，并得出采樣定理在此推廣定義下仍然成立的結(jié)論。Butzer 和Splettst¨osser[37–42]是關(guān)于隨機(jī)過(guò)程采樣的研究中比較有代表性的學(xué)者，他們?cè)谶M(jìn)一步完善寬平穩(wěn)過(guò)程采樣定理的研究中做了出色的工作，在1978～1983 年發(fā)表了一系列寬平穩(wěn)過(guò)程采樣問(wèn)題的文章。Pog′any[43–50]在采樣定理方面著作頗豐，對(duì)頻譜有限隨機(jī)過(guò)程，高維隨機(jī)過(guò)程等進(jìn)行了深入研究，但都屬于點(diǎn)采樣。對(duì)在[??,?]上頻譜有限的隨機(jī)信號(hào)，Splettst¨osser[39]在1981 年，利用指數(shù)型積分函數(shù)理論證明了頻譜有限寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的采樣定理。

首先，假設(shè)Lp(R)是在R 上的可測(cè)函數(shù)空間，滿(mǎn)足‖f‖p ＜+∞，其中的范數(shù)定義為

對(duì)于? ≥0 以及1≤p ≤∞，如果f ∈Lp(R)為整函數(shù)，且滿(mǎn)足|f(x)|≤Ce?|x|(C為常數(shù))，則稱(chēng)f屬于Bernstein 空間，記作f ∈Bp?，表示限制在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)Lp(R)的具有指數(shù)型參數(shù)為?的函數(shù)f的全體[51]。由Paley-Wiener 定理，一個(gè)平方可積函數(shù)f是在[??,?]上頻譜有限的，當(dāng)且僅當(dāng)f ∈B2?。

定理3[39]若寬平穩(wěn)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)RX ∈Bp?，其中1≤p ≤2,? ＞0，則成立

定理4[39]若寬平穩(wěn)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)RX ∈Bp?，其中1≤p ≤∞,? ＞0，且自相關(guān)函數(shù)RX對(duì)某個(gè)γ ＞0 滿(mǎn)足

則寬平穩(wěn)過(guò)程X(t)的Shannon 采樣級(jí)數(shù)展開(kāi)式(1)成立。

這是Splettst¨ossor 從函數(shù)空間的角度利用指數(shù)型積分函數(shù)理論嚴(yán)格證明了對(duì)于頻譜有限寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，如果其自相關(guān)函數(shù)滿(mǎn)足一定條件時(shí)，可以由其離散采樣值恢復(fù)。

盡管頻譜有限是WKS 采樣定理中的一個(gè)非常重要的條件，相關(guān)結(jié)果也有很多，然而這一條件在實(shí)際中總是很難得到滿(mǎn)足，或者說(shuō)準(zhǔn)確的帶寬是未知的。為此，我們通常使用寬平穩(wěn)非頻譜有限隨機(jī)過(guò)程作為模型，Splettst¨osser 在之前研究的基礎(chǔ)上又進(jìn)一步給出了用采樣級(jí)數(shù)展開(kāi)式近似非頻譜有限隨機(jī)信號(hào)函數(shù)時(shí)產(chǎn)生的誤差的估計(jì)和收斂速度。

若寬平穩(wěn)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)RX ∈Bp?(1≤p ≤∞)，則稱(chēng)X(t)是在[??,?]上頻譜有限的，記作X(t)∈L。

注意到任意自相關(guān)函數(shù)RX ∈Bp?具有無(wú)窮階導(dǎo)數(shù)，所以寬平穩(wěn)過(guò)程X(t)屬于下述Lipschitz 類(lèi)

現(xiàn)實(shí)中的信號(hào)雖然大部分有隨機(jī)性，但是頻譜有限且時(shí)域有限的函數(shù)是不存在的。這一定理說(shuō)明非頻譜有限的隨機(jī)信號(hào)可以由其離散采樣值逼近。

2 隨機(jī)過(guò)程局部平均采樣定理

在WKS 采樣理論中，都是通過(guò)采樣點(diǎn)處精確的函數(shù)值恢復(fù)原始信號(hào)。在用測(cè)量工具采取樣本值的過(guò)程中，測(cè)量工具本身會(huì)產(chǎn)生測(cè)量誤差，實(shí)際中得到的采樣值并不是f(t)在時(shí)間變量tk(k ∈Z)點(diǎn)的精確值，而是tk點(diǎn)附近的局部平均值。這種將取局部平均應(yīng)用于采樣定理的思想是Gr¨ochenig[52]在1992 年提出來(lái)的。具體地說(shuō)，就是將f(t)在tk點(diǎn)的采樣值取為

如果δ足夠小，則局部平均值是f(tk)的非常好的近似。

Gr¨ochenig[52]基于局部平均建立了頻譜有限的確定性連續(xù)信號(hào)不規(guī)則采樣的新數(shù)學(xué)模型，證明了在一定條件下，頻譜有限確定性連續(xù)函數(shù)f(t)可由〈f,uk〉唯一確定，并給出了迭代重構(gòu)算法。

局部平均采樣是采樣定理發(fā)展過(guò)程中Gr¨ochenig 提出的非常有代表性的觀點(diǎn)。這一算法給出了頻譜有限確定性連續(xù)函數(shù)的恢復(fù)迭代，也為局部采樣平均在隨機(jī)信號(hào)中的應(yīng)用和推廣奠定了基礎(chǔ)。

在Gr¨ochenig[52]、Butzer[53–54]、Spletts¨osser[39]、Sun 和Zhou[17–18,20,22,56]等學(xué)者的研究基礎(chǔ)上，Song 等[19,57–60]研究了在[??,?]上頻譜有限的連續(xù)信號(hào)f(t)及隨機(jī)過(guò)程X(t)的局部平均采樣問(wèn)題，并在2006 年優(yōu)化了由Butzer 和Lei[54]于2000 年對(duì)確定性信號(hào)的研究結(jié)果。2007 年，Song 等人[57]給出了對(duì)稱(chēng)區(qū)間上頻譜有限寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的采樣定理。

對(duì)于隨機(jī)過(guò)程X(t)的采樣問(wèn)題，同樣存在采樣值并不是X(t)在時(shí)間變量tk(k=0,1,2,···)點(diǎn)的精確值的問(wèn)題。類(lèi)似處理確定性信號(hào)的方法，將tk點(diǎn)附近的局部平均積分值作為采樣值，它是新的隨機(jī)變量。X(tk)局部平均積分值定義為

對(duì)于采樣處的函數(shù)值，無(wú)法獲得精確值，用局部平均值代替。實(shí)際上，取得采樣平均值的權(quán)函數(shù)支撐區(qū)間也很難做到完全對(duì)稱(chēng)，Song[58]將局部平均中權(quán)函數(shù)的支撐區(qū)間由對(duì)稱(chēng)改為非對(duì)稱(chēng)區(qū)間，系統(tǒng)研究了頻譜有限和非頻譜有限實(shí)值寬平穩(wěn)過(guò)程的局部平均采樣相關(guān)問(wèn)題，將Spletts¨osser 關(guān)于寬平穩(wěn)過(guò)程的采樣推廣到局部平均采樣，其中權(quán)函數(shù)uk(t)滿(mǎn)足下列性質(zhì)

這一定理說(shuō)明，對(duì)于頻譜有限的寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，實(shí)際中很難得到它的精確離散采樣值，可由其采樣點(diǎn)處的局部平均采樣逼近，且誤差可以控制在一定范圍內(nèi)。

但是，在實(shí)際中寬平穩(wěn)過(guò)程頻譜的精確界是未知的，在這種情況下就需要考慮非頻譜有限寬平穩(wěn)過(guò)程采樣逼近。Song[59]在Spletts¨osser[39]于1981 年得到的非頻譜有限寬平穩(wěn)過(guò)程采樣逼近的逼近階的基礎(chǔ)上，給出了非頻譜有限寬平穩(wěn)過(guò)程局部平均采樣逼近的誤差上界。

{uk(t)}是(4)式定義的實(shí)函數(shù)列。

顯然，當(dāng)? →∞可以用寬平穩(wěn)過(guò)程局部平均采樣逼近非頻譜有限寬平穩(wěn)過(guò)程。另外，在隨機(jī)過(guò)程的局部平均采樣逼近方面，得到了寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)局部平均采樣的概率1 收斂的結(jié)果。

其中{uk(t)}是(4)式定義的實(shí)函數(shù)列。

如前所述，頻譜有限這一條件在實(shí)際中是難以滿(mǎn)足的，在尋求更一般的函數(shù)空間過(guò)程中，采樣定理被推廣到了樣條子空間、小波子空間、平移不變子空間等。早期關(guān)于平移不變子空間的采樣問(wèn)題基本上都圍繞均勻采樣和確定性信號(hào)，后來(lái)更加關(guān)注非均勻采樣和局部平均采樣。2014 年，Xian 和Li[61]將隨機(jī)過(guò)程與平移不變空間相結(jié)合，引入平移不變隨機(jī)過(guò)程。它是經(jīng)典頻譜有限隨機(jī)過(guò)程的一般情況，也是一種非頻譜有限隨機(jī)過(guò)程。得到了平移不變隨機(jī)過(guò)程的兩個(gè)采樣定理，推廣了頻譜有限隨機(jī)過(guò)程和平移不變空間的結(jié)果。

定義1[61]若寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程{X(t) :t ∈R}的自相關(guān)函數(shù)RX(τ)屬于某個(gè)平移不變子空間，即

則稱(chēng){X(t):t ∈R}為平移不變寬平穩(wěn)過(guò)程。

定理11[61]令X(t)為平移不變隨機(jī)過(guò)程，生成子ψ對(duì)于V2(ψ)是連續(xù)且穩(wěn)定的，滿(mǎn)足ψ(x)=O(1+|x|)?β,β ＞1，X:=(xj:j ∈Z)是V2(ψ)的采樣集，則存在～K(xk,·)，使得

是均方收斂的。

WKS 采樣定理局限于由sinc 函數(shù)的整平移生成的頻譜有限空間，但是在實(shí)際應(yīng)用中，很多信號(hào)不是頻譜有限的，比如核磁共振成像，并且sinc 函數(shù)衰減速度比較慢。因此，WKS 采樣定理在實(shí)際中很少被用到。現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理要求空間的生成元選擇在時(shí)域和頻域同時(shí)有良好的局部性質(zhì)，如果生成元在時(shí)域和頻域上衰減且滿(mǎn)足一定條件，信號(hào)仍然可以被唯一穩(wěn)定恢復(fù)，這是更一般的平移不變空間上采樣問(wèn)題。

定理11 將文獻(xiàn)[62]在平移不變空間中的結(jié)果推廣到了平移不變隨機(jī)過(guò)程的情況。Xian和Li[61]還證明了平移不變隨機(jī)過(guò)程，也可以通過(guò)局部平均采樣重構(gòu)。

定理12[61]令X(t)為平移不變隨機(jī)過(guò)程，生成子ψ對(duì)于V2(ψ)是連續(xù)且穩(wěn)定的，假設(shè)

以上兩個(gè)定理將文獻(xiàn)[21,62–63]中平移不變子空間的結(jié)果推廣到了平移不變隨機(jī)過(guò)程，而且將文獻(xiàn)[34,57–58,64–68]中關(guān)于頻譜有限隨機(jī)過(guò)程的結(jié)果推廣到了平移不變隨機(jī)過(guò)程，并在定理12 中給出了重構(gòu)算子Sxj(t)的一個(gè)顯式構(gòu)造。

2016 年，Jiang 等[27]將頻譜有限空間和平移不變空間的隨機(jī)信號(hào)局部平均采樣定理進(jìn)一步推廣到再生核空間。

定義2[27]令T為定義在Lpν(R)上的冪等積分算子，其中1≤p ≤∞，且T的核函數(shù)K′′滿(mǎn)足

冪等積分算子T的值域V={Tf:f ∈Lpν(R)}={f ∈Lpν(R) :Tf=f}為L(zhǎng)pν(R)的再生核子空間，即對(duì)于任意的x ∈R，存在Cx ＞0，使得|f(x)≤Cx‖f‖Lpν|,?f ∈V。當(dāng)自相關(guān)函數(shù)RX(t)屬于Lpν的再生核子空間V時(shí)，稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程X(t)為加權(quán)再生核隨機(jī)過(guò)程。

定理13[27]令δ和a滿(mǎn)足

設(shè)Γ ?R 是間隔為δ ＞0 的相對(duì)分離集，{ψγj:j ∈Z}為相應(yīng)的平均采樣泛函集。如果對(duì)某個(gè)η ＞0，加權(quán)再生核寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)RX(t)滿(mǎn)足RX(t)≤RX(0)(1+|t|)?1?η，且對(duì)任意的s ∈R，有K′′(s ?x,y)=K′′(x,s ?y)成立，則可得

在壓縮傳感和超寬帶通信等工程問(wèn)題中，很多信號(hào)不具有平移不變結(jié)構(gòu)，比如，在雷達(dá)領(lǐng)域中為了實(shí)現(xiàn)高空間分辨率和目標(biāo)鑒別能力，雷達(dá)系統(tǒng)傳輸?shù)氖歉咚矔r(shí)頻率的脈沖，雷達(dá)信號(hào)的帶寬急速增大。傳統(tǒng)雷達(dá)回波信號(hào)依賴(lài)于WKS 采樣定理的采樣和處理體系顯得力不從心。選用更廣泛的生成函數(shù)和對(duì)應(yīng)采樣核，才能精確重構(gòu)該類(lèi)信號(hào)。再生核空間的隨機(jī)信號(hào)局部平均采樣定理對(duì)更大空間信號(hào)的采樣和恢復(fù)提供了理論支撐。

3 高維隨機(jī)過(guò)程局部平均采樣定理

在此基礎(chǔ)上，得出了以下結(jié)果。

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，信號(hào)處理進(jìn)入了大數(shù)據(jù)時(shí)代，其中許多信號(hào)屬于高維信號(hào)，比如多媒體信號(hào)、地震信號(hào)、海浪信號(hào)等等，里面蘊(yùn)含著很多有價(jià)值的信息，以上定理對(duì)這些信號(hào)的采樣和重構(gòu)問(wèn)題起到了至關(guān)重要的作用。

4 齊次隨機(jī)場(chǎng)局部平均采樣定理

關(guān)于隨機(jī)信號(hào)采樣的研究已經(jīng)取得了豐碩的成果，在實(shí)際中人們也注意到大多數(shù)隨機(jī)信號(hào)并不僅是時(shí)間t的函數(shù)，還可能和其他變量有關(guān)，比如空間變量，也就是說(shuō)大多數(shù)隨機(jī)信號(hào)是多變量隨機(jī)信號(hào)。流體力學(xué)中的湍流、海浪的雷達(dá)回波信號(hào)、水文學(xué)中的溫度場(chǎng)、濕度場(chǎng)等，這些隨機(jī)信號(hào)在應(yīng)用中通常被稱(chēng)為隨機(jī)場(chǎng)。早在1941 年，Kolmogorov[71]在研究湍流時(shí)提出了隨機(jī)場(chǎng)的雛形。隨后他的博士生Yaglom[72–74]對(duì)n維空間隨機(jī)場(chǎng)進(jìn)行了研究，建立了相關(guān)的譜理論。Vanmarcke 從20 世紀(jì)70 年代起開(kāi)始研究隨機(jī)場(chǎng)理論，1976 年，他將隨機(jī)場(chǎng)理論引入巖土工程的可靠度分析中，建立了土性剖面的隨機(jī)場(chǎng)模型并成為分析巖土工程可靠度的常用模型。1983 年，Vanmarcke[75]又提出了隨機(jī)場(chǎng)的局部平均，并將其應(yīng)用于土木工程。但是，他所考慮的局部平均屬于對(duì)稱(chēng)平均，不具有一般性。關(guān)于多變量信號(hào)的采樣定理，最早由Parzen[76]在1956 年引入，隨后Miyakawa[77]、Petersen 和Middleton[78]在多變量信號(hào)的采樣定理的研究方面都取得了一些結(jié)果。尤其是Spletts¨osser[42]在1982 年，給出了多變量確定性函數(shù)Shannon 采樣定理的混淆誤差。基于以上研究，Zhang 和Song[79–80]給出了局部平均齊次隨機(jī)場(chǎng)采樣定理及均方估計(jì)的誤差上界，并討論了齊次隨機(jī)場(chǎng)局部平均采樣的概率1 收斂問(wèn)題，將寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的局部平均推廣至齊次隨機(jī)場(chǎng)。

Lp(Rn)是Rn上的‖f‖p ＜+∞全體可測(cè)函數(shù)空間，其中

給定概率空間(W,A,P)，定義在Rn×W上的實(shí)值隨機(jī)場(chǎng)X(t):=X(t,ω)是弱齊次的，當(dāng)且僅當(dāng)E[X(t,ω)2]＜∞,?t ∈Rn，且自相關(guān)函數(shù)

對(duì)于t ∈Rn是獨(dú)立的，即RX(t,t+τ) =RX(τ)，其中t= (t1,t2,···,tn),τ= (τ1,τ2,···,τn)，簡(jiǎn)稱(chēng)齊次隨機(jī)場(chǎng)。

Bn?,p是限制在Rn內(nèi)Lp(Rn)的具有指數(shù)型參數(shù)為?的函數(shù)f(t)的全體。如果RX(τ)∈Bn?,p, 1≤p ≤∞，則稱(chēng)齊次隨機(jī)場(chǎng)X(t):=X(t,ω)在[??,?]上是頻譜有限的，即

注1 定理8 是此定理的特殊情形。

定理21[80]若齊次隨機(jī)場(chǎng)X(t)的自相關(guān)函數(shù)RX(τ)∈B?,p, 1≤p ≤∞，且滿(mǎn)足

隨機(jī)場(chǎng)在土木工程中應(yīng)用極為廣泛，比如巖土工程結(jié)構(gòu)可靠性的分析中，考慮不同地理位置的土體性質(zhì)變化時(shí)，建立土性剖面的隨機(jī)場(chǎng)模擬模型，通過(guò)采樣計(jì)算土性的相關(guān)參數(shù)，在真實(shí)反映土性指標(biāo)以及結(jié)構(gòu)可靠性的分析中必不可少。

5 非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)及采樣定理

平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)在理論上得到了深入研究和發(fā)展，也廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、通信、自動(dòng)控制等諸多工程領(lǐng)域。關(guān)于非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的研究，長(zhǎng)期以來(lái)受限于理論的發(fā)展，在應(yīng)用中通常將它們簡(jiǎn)化為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)處理，當(dāng)然結(jié)果有時(shí)并不太令人滿(mǎn)意。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和進(jìn)步，對(duì)非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)分析與處理的研究逐漸受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，其理論和方法取得了很大的發(fā)展。1965 年，Zakai[36]首次描述了非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的采樣定理，但是并沒(méi)有對(duì)其進(jìn)行徹底的數(shù)學(xué)描述[81]。直到1972 年，美國(guó)學(xué)者Gardner[82]才正式給出并證明了非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的采樣定理。

定理22[82]若RX(t,s)為非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)，且RX(t,s)的二維Fourier 變換SX(f,v)是頻譜有限的：對(duì)于|f|≥?,|v|≥?,?/=0，有

則對(duì)于任意的t ∈(?∞,∞)，X(t)在均方意義下有如下表示

兩年之后，Sharma 和Mehta[83]將非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的采樣定理推廣到了n維空間。首先，他們給出了非齊次隨機(jī)場(chǎng)(n維非齊次隨機(jī)過(guò)程)頻譜有限的定義。

定義3[83]設(shè)n維非齊次隨機(jī)過(guò)程X(t1,t2,···,tn)的自相關(guān)函數(shù)為RX(t1,t2,···,tn,s1,s2,···,sn)，如果它的n維Fourier 變換滿(mǎn)足以下頻譜有限的限制，對(duì)于|fk|≥?i且|vk|≥?i,k=1,2,···,n,i=1,2,···,n，有

則稱(chēng)非齊次隨機(jī)場(chǎng)X(t1,t2,···,tn)在區(qū)間(??i,?i)是頻譜有限的。

由以上定義可將采樣定理的一般形式推廣至n維空間。

定理23[83]設(shè)RX(t1,t2,···,tn,s1,s2,···,sn)是n維非齊次隨機(jī)場(chǎng)X(t1,t2,···,tn)的自相關(guān)函數(shù)，如果對(duì)于|fk|≥?i且|vk|≥?i,k=1,2,···,n,i=1,2,···,n，RX(t1,t2,···,tn,s1,s2,···,sn)的n維Fourier 變換SX(f1,f2,···,fn,v1,v2,···,vn)滿(mǎn)足(8)式，那么對(duì)任意的ti ∈(?∞,∞),i=1,2,···,n，X(t1,t2,···,tn)在均方意義下有如下表示

上述結(jié)果也被推廣到非齊次隨機(jī)場(chǎng)的局部平均采樣，得到了一些初步的結(jié)果。

定理24[84]設(shè)RX(t,s)為非齊次隨機(jī)場(chǎng)X(t)的自相關(guān)函數(shù)。如果RX(t1,t2,···,tn,s1,s2,···,sn)的n維Fourier 變換SX(f1,f2,···,fn,s1,s2,···,sn)滿(mǎn)足有限帶寬的限制(8)式，?2RX(t1,t2,···,tn,s1,s2,···,sn)/?tj?si ∈C(R2n)且

則對(duì)于? ≥2π且0＜γ ≤1，有

這一結(jié)果只是針對(duì)頻譜有限空間中的非齊次隨機(jī)場(chǎng)信號(hào)局部平均采樣進(jìn)行了討論。如前所述，應(yīng)用中的很多隨機(jī)信號(hào)并非具有頻譜有限和平移不變性，所以關(guān)于隨機(jī)場(chǎng)局部平均采樣理論的進(jìn)一步研究還有很大空間。

6 時(shí)空隨機(jī)場(chǎng)的局部平均采樣

近幾年，信號(hào)采樣的有關(guān)研究不勝枚舉，從頻譜有限空間到平移不變空間，再到再生核空間，信號(hào)和采樣的形式越來(lái)越多樣化，應(yīng)用范圍也越來(lái)越廣泛，也促使研究者們發(fā)現(xiàn)了更多的問(wèn)題，急需在理論上有更多的突破。比如，關(guān)于隨機(jī)場(chǎng)局部平均采樣理論已經(jīng)在海浪參數(shù)反演[85]和海洋污染監(jiān)測(cè)[86]以及全息采樣及三維顯示[87]等應(yīng)用方面取得了一些成果，這些成果的取得證明采樣定理尤其是隨機(jī)場(chǎng)局部平均采樣有廣泛的應(yīng)用。但是，以上應(yīng)用中實(shí)際上只是更多的從數(shù)學(xué)理論角度處理，用到了多指標(biāo)隨機(jī)場(chǎng)，并未考慮時(shí)間和空間的不同屬性。嚴(yán)格地說(shuō)，海浪和視頻中的三維數(shù)據(jù)均為時(shí)空隨機(jī)場(chǎng)，直接看做多指標(biāo)隨機(jī)場(chǎng)失去了它的物理意義。時(shí)空隨機(jī)場(chǎng)的特殊屬性已經(jīng)得到了學(xué)術(shù)界的關(guān)注，國(guó)內(nèi)外陸續(xù)有一些關(guān)于時(shí)空隨機(jī)場(chǎng)的成果問(wèn)世。2022 年，混合范被首次引入到齊次隨機(jī)場(chǎng)，對(duì)齊次混合勒貝格空間中再生核齊次隨機(jī)場(chǎng)的局部平均采樣進(jìn)行了初步探討[88]。

當(dāng)齊次隨機(jī)場(chǎng)的自相關(guān)函數(shù)屬于混合勒貝格空間中的再生核子空間，則稱(chēng)該齊次隨機(jī)場(chǎng)為混合勒貝格空間中的再生核齊次隨機(jī)場(chǎng)。

設(shè)算子T為定義在混合勒貝格空間Lp,q(Rd+1)上的冪等積分算子，即

其中算子T的核函數(shù)K是定義在(R×Rd)×(R×Rd)上的函數(shù)，并滿(mǎn)足

連續(xù)模定義為

對(duì)于定義在Rn×Rn上的函數(shù)K0(x,y)而言，相應(yīng)的W0-范數(shù)定義為

記V:={Tf:f ∈Lp,q(Rd+1)}={f ∈Lp,q(Rd+1) :Tf=f}為冪等積分算子T的值域空間。空間V是混合勒貝格空間中的再生核子空間，即對(duì)任意的(t,x)∈R×Rd，存在常數(shù)Ct,x ＞0，滿(mǎn)足|f(t,x)|≤Ct,x‖f‖Lp,q。

若樣本集合Γ={γj,k=(tj,xk):tj ∈R,xk ∈Rd,j,k ∈Z}滿(mǎn)足

定理25[88]令1≤p,q ≤∞，核函數(shù)K(t,x;s,y)滿(mǎn)足(9)式，相對(duì)分離樣本集Γ={γj,k= (tj,xk) :tj ∈R,xk ∈Rd,j,k ∈Z}針對(duì)兩類(lèi)變量的間隔分別為δ1和δ2，U={uj,k(t,x)}j,k∈Z是與相對(duì)分離集合Γ有關(guān)的一致有界單位劃分，δ1、δ2、a、M滿(mǎn)足

若混合勒貝格空間中再生核齊次隨機(jī)場(chǎng)X(t,x)的自相關(guān)函數(shù)RX滿(mǎn)足

并且對(duì)任意的s ∈R,y ∈Rd,RX(s ?·,y ?·)∈V，則可知

上述結(jié)果可以利用隨機(jī)場(chǎng)模擬實(shí)際應(yīng)用中由于隨機(jī)噪聲干擾而具有隨機(jī)特性的信號(hào)，從而使得相應(yīng)的采樣結(jié)果能夠更符合實(shí)際情形。這一結(jié)果為在混合范數(shù)下時(shí)空隨機(jī)場(chǎng)采樣理論的研究打開(kāi)了新的突破口。

7 未來(lái)研究展望

采樣定理在信號(hào)處理領(lǐng)域有舉足輕重的作用，但是在應(yīng)用中弊端也日漸凸顯，這也為學(xué)者們提供了新的研究方向。注意到時(shí)空隨機(jī)場(chǎng)中時(shí)間變量和空間變量屬性的區(qū)別，引入混合范進(jìn)行時(shí)空隨機(jī)場(chǎng)采樣理論的研究成為新的研究焦點(diǎn)。結(jié)合目前基于混合范數(shù)下采樣理論的研究，展望未來(lái)的研究還能在以下問(wèn)題中打開(kāi)新的局面：

1) 目前基于混合范數(shù)勒貝格空間中信號(hào)采樣定理的研究主要針對(duì)的是確定性信號(hào)的隨機(jī)采樣，只是隨機(jī)選取的采樣點(diǎn)服從某個(gè)范圍內(nèi)的一般概率分布。有關(guān)隨機(jī)信號(hào)的采樣研究還比較少，尤其是考慮混合范數(shù)下時(shí)空隨機(jī)場(chǎng)的采樣逼近是一個(gè)新穎的研究課題；

2) 目前基于混合范數(shù)勒貝格空間中的采樣研究中關(guān)于采樣值的定義針對(duì)不同的信號(hào)有多種不同的形式。比如對(duì)稱(chēng)和非對(duì)稱(chēng)區(qū)間的加權(quán)局部平均采樣、卷積平均采樣等。這些只是從數(shù)學(xué)理論的角度討論，有關(guān)實(shí)際應(yīng)用中哪種平均采樣形式更符合時(shí)空隨機(jī)場(chǎng)還值得進(jìn)一步探討；

3) 目前基于混合范數(shù)勒貝格空間中采樣的研究中對(duì)信號(hào)所屬的空間從頻譜有限空間擴(kuò)展到平移不變空間和再生核空間，關(guān)于隨機(jī)信號(hào)的討論，也僅限于齊次時(shí)空隨機(jī)場(chǎng)。現(xiàn)實(shí)中的信號(hào)不滿(mǎn)足齊次性條件，多為非齊次的，很難得到理論上完美的結(jié)論。應(yīng)用中也通常忽略信號(hào)的非齊次性而假設(shè)信號(hào)在觀測(cè)時(shí)間內(nèi)是平穩(wěn)或齊次的，這一手段雖然為處理信號(hào)提供了便利，但是增大了信號(hào)重構(gòu)的誤差，有關(guān)非齊次隨機(jī)信號(hào)采樣的理論及其應(yīng)用也成為亟待解決的問(wèn)題?；诨旌戏犊紤]非齊次以及更寬泛條件的時(shí)空隨機(jī)場(chǎng)局部平均采樣研究有一定的挑戰(zhàn)性；

4) 目前基于混合范數(shù)勒貝格空間的采樣研究中考慮的范數(shù)都是Lp,q(R,Rd)中定義的范數(shù)形式。然而，關(guān)于混合范數(shù)時(shí)空隨機(jī)場(chǎng)的采樣研究一方面要從理論上得到漂亮的結(jié)論，另一方面也要切合應(yīng)用背景，理論服務(wù)實(shí)踐。目前尚未解決，也是今后研究要解決的核心問(wèn)題是，由于應(yīng)用背景不同，還沒(méi)有一種統(tǒng)一的混合范形式來(lái)量化實(shí)際應(yīng)用中需要描述的指標(biāo)的測(cè)度。在時(shí)空隨機(jī)場(chǎng)中引入能應(yīng)用于不同物理場(chǎng)景不同時(shí)空尺度的統(tǒng)一混合范數(shù)，在理論分析和實(shí)際應(yīng)用都表現(xiàn)出良好的精確度和普適性，并在此基礎(chǔ)上建立相應(yīng)的采樣數(shù)學(xué)模型，不僅具有重要的理論價(jià)值，而且對(duì)于工程領(lǐng)域也有應(yīng)用價(jià)值。