胡晨陽, 高岳林, 孫 瀅

(1.北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，銀川 750021;2.寧夏科學(xué)計(jì)算與智能信息處理協(xié)同創(chuàng)新中心，銀川 750021;3.寧夏智能信息與大數(shù)據(jù)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，銀川 750021)

0 引言

自經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展以來，投資組合選擇問題就成為金融學(xué)領(lǐng)域研究的一個(gè)熱點(diǎn)。對于該問題的探索，最早可以追溯到經(jīng)典的Markowitz[1–2]在證券投資組合選擇中對于單一周期均值–方差(Mean and Variance, MV)投資組合模型的研究，這一創(chuàng)新性的研究為現(xiàn)代投資研究者在組合選擇問題的研究發(fā)展上奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，該模型假設(shè)所有的證券收益都是變量并且擁有足夠多的歷史數(shù)據(jù)，但這兩個(gè)假設(shè)一般情況下是很難準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)的，大多數(shù)情況下還需要專家的判斷和投資者根據(jù)主觀意愿進(jìn)行選擇，這樣就會(huì)導(dǎo)致最終結(jié)果的不準(zhǔn)確。一直到Zedeh[3]對于模糊集合論和可能性理論的引入，這才使得投資組合選擇問題在處理模糊不確定性問題方面有了進(jìn)一步的提升。自此，研究者們在研究投資組合選擇問題時(shí)大多都傾向于使用模糊變量的方法。

可能性投資組合選擇模型最初由Tanaka 等[4]提出，他指出模糊變量與指數(shù)的可能性分布存在一定相關(guān)關(guān)系，表明研究者可以從該方面進(jìn)行系列研究。因此，吳琦和高岳林[5]利用模糊集與可能性相關(guān)理論構(gòu)建了基于不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度不確定性的投資組合模型，并設(shè)計(jì)了一種求解所建立模型的帶有選擇規(guī)則的PSO(Particle Swarm optimization)算法。Deng 和Li[6]提出一種將證券收益假設(shè)為梯形模糊變量的具有不等式借用約束的二次規(guī)劃問題。

雖然方差是一種用于度量風(fēng)險(xiǎn)比較流行的指標(biāo)，但是它有一個(gè)非常顯著的局限性[1–2]，即基于方差的分析結(jié)果通常被認(rèn)為高回報(bào)和低回報(bào)一樣不受歡迎，因?yàn)楦呋貓?bào)同樣也會(huì)導(dǎo)致方差趨向于極端。為了克服這種局限性，直接使用下半方差代替方差對風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行度量，也就是只測量與參考收益率水平的負(fù)偏差的度量。文獻(xiàn)[2]首次引入的半方差是最著名的下行風(fēng)險(xiǎn)度量之一，它只考慮比期望收益高的上半方差和比期望收益低的下半方差。張鵬等[7]結(jié)合下半方差和基本指數(shù)對投資組合模型進(jìn)行研究。于孝建等[8]針對最大回撤和下半方差構(gòu)建模型，研究了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的動(dòng)態(tài)配置過程。江璐瑤和鄧雪[9]基于方差度量風(fēng)險(xiǎn)的局限性，引入熵約束，構(gòu)建基于收益權(quán)重的均值–熵模型，針對傳統(tǒng)的遺傳算法所存在的全局搜索能力弱、收斂精度低等問題進(jìn)行了研究。曾勇泉和張鵬[10]利用熵度量投資組合分散化程度，通過實(shí)證得出熵值越大，投資組合最終財(cái)富越小的結(jié)論。

需要注意的是，前面對于投資組合模型的研究都是單周期的，但是現(xiàn)實(shí)生活中投資者對資產(chǎn)的投資選擇過程一般情況下都是多階段的，即他們會(huì)在一個(gè)投資周期結(jié)束之后重新分配財(cái)富以求終端財(cái)富最大化?？紤]該現(xiàn)實(shí)因素，對投資組合選擇問題的研究就非常有必要從單周期過渡到多周期以更加貼合實(shí)際投資行為。因此，Mossin[11]用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法提出一種多期組合優(yōu)化選擇的策略，經(jīng)驗(yàn)證該方法效果最好。Calafiore[12]提出線性控制策略的多期優(yōu)化.Yu 等人[13]提出一種新的有最大絕對偏差的多期投資組合模型，通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃法得到封閉的解析最優(yōu)策略。Yan 和Li[14]提出一類多期半方差模型，針對該模型，設(shè)計(jì)了一種混合遺傳和粒子群優(yōu)化的算法。王曉琴和高岳林[15]引入交易費(fèi)用和投資比例限制兩個(gè)摩擦因素，基于不可賣空原則建立了一個(gè)MV 多期組合模型。

在證券市場中，沒有投資者會(huì)冒著巨大風(fēng)險(xiǎn)僅購買一只股票，倘若該股票經(jīng)營不善，投資者就會(huì)面臨血本無歸的可能。所以，資產(chǎn)數(shù)量限制問題是投資者在投資過程中需要考慮的一個(gè)重要因素。基于此，本文利用交易限制引入基數(shù)約束，同時(shí)考慮多種摩擦因素在模糊環(huán)境下建立了一個(gè)可能性均值–下半方差–熵多階段投資組合優(yōu)化模型，該模型精確考慮了最優(yōu)投資組合中所含資產(chǎn)的數(shù)量，是一個(gè)極度復(fù)雜的多階段混合整數(shù)二次規(guī)劃模型。利用外罰函數(shù)法對不等式約束進(jìn)行適當(dāng)處理，并設(shè)計(jì)了一個(gè)遺傳差分協(xié)同進(jìn)化算法對所建模型求解并進(jìn)行了相應(yīng)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)。

本文內(nèi)容安排如下：第1 節(jié)給出相關(guān)概念；第2 節(jié)是對可能性均值–下半方差–熵多階段投資組合優(yōu)化模型的建立過程；第3 節(jié)介紹了所設(shè)計(jì)的遺傳差分協(xié)同進(jìn)化算法的相關(guān)概念以及算法具體步驟；第4 節(jié)是實(shí)證分析；第5 節(jié)是對本文的一個(gè)總結(jié)。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

上式中k為大于0 的一個(gè)實(shí)數(shù)。求解上述隸屬度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知，k越小，投資者越厭惡風(fēng)險(xiǎn)，越想逃避該風(fēng)險(xiǎn)；k越大，表明投資者越追求風(fēng)險(xiǎn)。

由定義2 和γ-水平截集的定義可知，～A的γ-水平截集[16]為

2 模型建立

考慮投資市場中有n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和1 個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，在模糊環(huán)境下構(gòu)建多階段投資組合優(yōu)化模型。以便敘述，將本文所用到的符號(hào)含義表述如下：

考慮交易費(fèi)用，第t期資產(chǎn)組合總的交易費(fèi)用為

因此，第t期扣除掉交易費(fèi)用之后投資組合的凈收益為

那么，第t+1 期投資者所獲得的財(cái)富可表示為

從而，整個(gè)投資期間投資者所獲得的財(cái)富可表示為

第t期投資組合的收益～rpt的可能性下半方差可表示為

分散性的投資可以有效的降低風(fēng)險(xiǎn)，本文引用了Kapur[17]對多元化程度進(jìn)行測度的方法，知道第t時(shí)期的多元化程度可以表示為

引入收益權(quán)重θt，式(15)可轉(zhuǎn)化為

考慮基數(shù)約束，多階段可能性均值–下半方差–熵投資組合選擇的基數(shù)約束如下

基于以上討論，利用式(6)～(17)建立可能性均值–下半方差–熵多階段投資組合優(yōu)化模型(V-S-M)如下

該模型以最大化終端財(cái)富為目標(biāo)，其中第一個(gè)約束表示第t期投資組合的可能性下半方差不能超過給定的最小風(fēng)險(xiǎn)值νt；第二個(gè)約束表示第t期投資組合的多元化程度不得超過預(yù)先設(shè)定的值et；第三個(gè)約束表示第t期投資組合所需的資產(chǎn)數(shù)目不得超過預(yù)先設(shè)定的資產(chǎn)數(shù)目限制K；第四個(gè)約束表示zit是0-1 決策變量，是一個(gè)整數(shù)約束；第五個(gè)約束表示投資過程中資產(chǎn)i的投資比例不能超過預(yù)先給定的上下限；第六個(gè)約束要求第t期無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例高于預(yù)先給定的下限xlft；第七個(gè)表示第t期所有資產(chǎn)的投資比例和為1。該模型在對風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行全面度量的同時(shí)還充分考慮了精確的股票數(shù)量，是一個(gè)多階段混合二次規(guī)劃問題，可以幫助投資者在投資過程中及時(shí)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。

由于上述模型(18)中含有不等式約束，該類問題往往較難求解。本文采用外罰函數(shù)法將不等式約束和等式約束放入目標(biāo)函數(shù)中，則上述模型(18)可轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題

3 求解模型的算法設(shè)計(jì)

3.1 所需求解的問題

本文所建立的是一個(gè)在給定風(fēng)險(xiǎn)水平下以最大化終端財(cái)富為目標(biāo)的多階段投資組合優(yōu)化模型，用外罰函數(shù)法對不等式約束進(jìn)行處理，并利用智能算法對該模型進(jìn)行求解。在算法求解的每一期都要對等式約束進(jìn)行求解，最初投資者將初始財(cái)富選擇性分配到幾個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中開始進(jìn)行投資，將第一期期末所獲的全部財(cái)富作為第二期投資的初始財(cái)富，在第二期投資者對所有資產(chǎn)的投資比例進(jìn)行重新分配調(diào)整，一直重復(fù)進(jìn)行該投資過程直到第T期獲得最終財(cái)富。

3.2 遺傳差分協(xié)同進(jìn)化算法(GAHDE)

3.2.1 算法描述

1) 染色體編碼與初始種群

隨機(jī)初始化中間種群，一部分采用差分進(jìn)化算法生成初始化中間種群X，另一部分采用遺傳算法十進(jìn)制實(shí)數(shù)編碼方式。每一個(gè)染色體都是作為一個(gè)實(shí)數(shù)變量，來表示投資者對風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資策略。初始種群是由采用隨機(jī)函數(shù)生成的一定數(shù)量的十進(jìn)制實(shí)數(shù)組成的，對每個(gè)中間粒子分別進(jìn)行如下歸一化處理生成初始種群

2) 適應(yīng)度函數(shù)

一般情況下，種群是利用個(gè)體的適應(yīng)度進(jìn)行隨機(jī)搜索得到的，根據(jù)適應(yīng)度值大小選擇較好的個(gè)體。適應(yīng)度函數(shù)被看作是區(qū)分個(gè)體優(yōu)劣的一個(gè)指標(biāo)，一般自然選擇的唯一依據(jù)也是它，它是由目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換形成的。本文該函數(shù)為

3) 變異操作

5) 選擇操作

交叉后產(chǎn)生的個(gè)體和上一代種群產(chǎn)生的個(gè)體合并在一起之后，再進(jìn)行選擇操作，一半種群按GA(Genetic Algorithms)算法根據(jù)一定概率選擇較優(yōu)個(gè)體組成新種群，對新個(gè)體生成有影響的是適應(yīng)度值的大小，其值越大，選中該個(gè)體的概率越大。用輪盤賭方法選擇個(gè)體，可最大可能確保產(chǎn)生下一代的是優(yōu)良個(gè)體，個(gè)體i被選中的概率為pi(x) = (Fi(x))/(∑Fi(x))，其中Fi是個(gè)體i的適應(yīng)度值，∑Fi(x)是種群中所有個(gè)體適應(yīng)值的和；另一半用DE(Differential Evolution)算法進(jìn)行擇優(yōu)選取，即選擇所有結(jié)果里面最優(yōu)的值作為個(gè)體，確保產(chǎn)生更加合適的下一代個(gè)體。Differential Evolution

3.2.2 算法的具體步驟

步驟1 初始化，設(shè)置參數(shù)：種群規(guī)模sizepop，變異概率Pm，以及最大迭代次數(shù)Gmax，收縮因子F等。

步驟2 隨機(jī)產(chǎn)生兩部分初始中間種群，進(jìn)行歸一化操作，進(jìn)化代數(shù)t=1。

步驟3 計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度，剖斷其符合優(yōu)化準(zhǔn)則與否，如果符合，得到最優(yōu)個(gè)體和最優(yōu)解，結(jié)束；反之，轉(zhuǎn)步驟4。

步驟4 根據(jù)公式(24)對兩部分初始種群分別進(jìn)行變異操作。

步驟5 根據(jù)公式(25)進(jìn)行交叉操作，得到新個(gè)體。

步驟6 一半種群按照遺傳算法用輪盤賭方式進(jìn)行個(gè)體選擇；另一半種群則用差分進(jìn)化算法進(jìn)行擇優(yōu)選取，其規(guī)則即選中適應(yīng)度好的個(gè)體，淘汰適應(yīng)度差的。

步驟7 進(jìn)化代數(shù)t=t+1，返回步驟3，直到最終得到符合條件的最優(yōu)個(gè)體為止。

4 實(shí)證分析

本節(jié)我們將通過模擬實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證本文所建模型V-S-M 和設(shè)計(jì)算法GAHDE 的有效性。假定投資者的資產(chǎn)收益率為梯形模糊數(shù)，將四只股票和一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)作為投資對象，整個(gè)投資過程分為三個(gè)階段，其收益率可能性分布見文獻(xiàn)[19]。

用上述所提的遺傳差分協(xié)同進(jìn)化算法對模型進(jìn)行求解，參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模sizepop = 100，交叉概率Pc= 0.7，變異概率Pm= 0.01，最大進(jìn)化次數(shù)Gmax=300，假設(shè)每個(gè)階段的資產(chǎn)交易費(fèi)用是相同的，都為cit= 0.003(i= 1,2,3,t= 1,2,3)。假設(shè)投資者初期所持有的財(cái)富W1= 1，投資比下限lit= 0.05，投資比上限μit= 0.2，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資比下限xlft=?0.5，投資者所能承受的最小風(fēng)險(xiǎn)值為νt= 0.004，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)借款利率rbt= 0.017，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)貸款利率rlt= 0.009，資產(chǎn)數(shù)目K= 4，罰因子L=108，交叉概率CR=0.5。所有的實(shí)驗(yàn)都是在Matlab 2016a 中運(yùn)行的。

按照以上參數(shù)計(jì)算得到的投資者在不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度下的投資組合策略如表1 所示。

表1 不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度下的投資組合策略

從表1 中可以看出，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度k= 0 時(shí)，投資者在第二期對股票1、股票2、股票3、股票4 均降低投資比例，而在第三期對四只股票的投資比例均有所增加，表明投資者前期對四只股票均不太看好，尤其是股票2、股票4，后期對股票4 的投資比例相較于股票1、股票2、股票3 的投資比例也是更大的；當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度k= 0.5 時(shí)，投資者在第二期對股票1 增加投資，對股票2、股票3、股票4 減少投資，第三期對股票1、股票2、股票3、股票4 均減少投資，表明投資者前期看好股票1，后期對四只股票都不太看好，且后期對股票2 尤其不看好；當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度k= 1.0 時(shí)，投資者在第二期對四只股票的投資比例均減少，第三期對四只股票均增加投資比例，表明投資者前期對當(dāng)前行情均不看好，所以減少了對所持股票的投資，后期又對四只股票都看好，增加投資比例，尤其是對股票3 增大了投資力度。同時(shí)，下半方差和收益值也是隨著風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的變化在這三個(gè)時(shí)期不斷變化的，且其變化規(guī)律符合實(shí)際市場實(shí)情，表明收益與風(fēng)險(xiǎn)是共存的。

圖1 至圖3 表示的是不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度下最佳函數(shù)值和方差隨迭代次數(shù)的變化趨勢曲線，可以看出種群最優(yōu)適應(yīng)度值均以較快速度收斂并穩(wěn)定，風(fēng)險(xiǎn)值在前期均不斷增高，最后也均逐漸趨于穩(wěn)定。較為明顯的是當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度為k= 0 時(shí)，函數(shù)最優(yōu)值在接近第160 次迭代時(shí)趨于平穩(wěn)。而當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度為k= 0.5 時(shí)，最優(yōu)值在第180 次迭代之后趨于平穩(wěn)。當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度為k= 1.0 時(shí)，函數(shù)最優(yōu)值在接近第240 次跌代時(shí)趨于平穩(wěn)。通過以上分析可知風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度大時(shí)收益值波動(dòng)就較大，即追求風(fēng)險(xiǎn)的投資者需要承擔(dān)更大的風(fēng)險(xiǎn)，且其收益值波動(dòng)相較于規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)者而言也是較大的。

圖1 k =0 函數(shù)曲線圖

圖2 k =0.5 函數(shù)曲線圖

圖3 k =1.0 函數(shù)曲線圖

從圖4 可以看出隨著風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度適應(yīng)值增加，風(fēng)險(xiǎn)也隨之增加。同等收益值下持有不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的投資者面臨的風(fēng)險(xiǎn)也是不同的，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者相對于風(fēng)險(xiǎn)追求者面臨的風(fēng)險(xiǎn)要小很多。風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度適應(yīng)度值小，投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)，投資就會(huì)較為謹(jǐn)慎；風(fēng)險(xiǎn)適應(yīng)度值大，表明投資者追求風(fēng)險(xiǎn)，希望得到較高的收益，投資行為也會(huì)更加大膽。因此，不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的投資者進(jìn)行投資最終都會(huì)組成不同的投資策略。

圖4 不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度下有效前沿對比

為驗(yàn)證本文所建模型優(yōu)越性，我們與均值–下半方差模型(V-M)和均值–熵模型(SM)運(yùn)用本文設(shè)計(jì)算法所得的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果如表2 所示。

表2 不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度不同模型數(shù)值結(jié)果對比

表2 表示的是在不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度下，本文所建模型可能性均值–下半方差–熵模型(V-SM)與均值–下半方差模型(V-M)和均值–熵模型(S-M)進(jìn)行模擬投資的數(shù)值結(jié)果比較。從表中可以看出，本文所建模型V-S-M 和V-M 及S-M 模型在每一個(gè)周期的收益值都明顯高于前一個(gè)周期的收益值，即用該三種模型進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)的結(jié)果都符合證券市場實(shí)情。從數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，本文所建立的V-S-M 模型與V-M 和S-M 模型相比，除了風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度為0.5 時(shí)的第一期和風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度為1.0 時(shí)的第二期比其他兩種模型收益低之外，其他均要高于用他兩種模型進(jìn)行模擬投資所獲收益。風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度為0 和0.5 時(shí)，本文所建模型V-S-M 在第一期投資中的風(fēng)險(xiǎn)小于V-M 模型，風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度為1.0 時(shí)，V-S-M 模型在第二期投資中的風(fēng)險(xiǎn)均小于V-M 模型，其余在風(fēng)險(xiǎn)相同或相差不大的情況下，利用本文所建模型可以獲得遠(yuǎn)超于V-M 模型的收益。在不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度下V-S-M 模型的熵值均小于S-M 模型。綜上所述表明，與V-M 和S-M 模型相比，本文所建模型V-S-M 能夠保證在控制風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)獲取更高收益。

為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)算法GAHDE 的優(yōu)越性，我們與標(biāo)準(zhǔn)的GA 算法和DE 算法對本文所建模型V-S-M 進(jìn)行計(jì)算所得結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果如表3 所示。

表3 不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度下不同算法數(shù)值結(jié)果對比

表3 表示的是在不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度下本文所設(shè)計(jì)的GAHDE 算法與標(biāo)準(zhǔn)的GA 和DE 算法所求解的各期收益及總收益結(jié)果比較?？梢钥闯?，本文所設(shè)計(jì)的GAHDE 算法和標(biāo)準(zhǔn)的GA 和DE 算法在每一個(gè)周期的收益值都明顯高于前一個(gè)周期的收益值，即用三種算法對模型進(jìn)行求解所得的收益值都是隨著投資周期的不斷迭代而不斷增加的。從數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，本文所設(shè)計(jì)的GAHDE 算法比標(biāo)準(zhǔn)的GA 和DE 算法結(jié)果要好，尤其當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度為0 和0.5 時(shí)，設(shè)計(jì)的GAHDE 算法在每一期的收益值和總收益值都高于標(biāo)準(zhǔn)的GA 和DE 算法。當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度為1.0 時(shí)，設(shè)計(jì)的GAHDE 算法在第一期、第三期和總收益值也均高于其他兩個(gè)算法的值，但第二期收益值相比與GA 算法少了0.080 5。同時(shí)，本文設(shè)計(jì)算法GAHDE 在模擬實(shí)驗(yàn)中的風(fēng)險(xiǎn)值在風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度為0 時(shí)，各期風(fēng)險(xiǎn)值均小于GA 算法和DE 算法的風(fēng)險(xiǎn)。風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度為0.5 時(shí)，第三期風(fēng)險(xiǎn)值相比于DE 算法小了0.000 4，相較于GA 算法也僅高了0.000 2。風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度為1.0 時(shí)，第二期風(fēng)險(xiǎn)值相比于GA 算法小了0.001 0。熵值在三種不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度均小于其他兩種算法。綜上所述表明，本文所設(shè)計(jì)的GAHDE 算法優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)的GA 和DE 算法。

5 總結(jié)

在日益復(fù)雜的金融市場中，投資者要應(yīng)對各種摩擦因素導(dǎo)致的不確定性風(fēng)險(xiǎn)。本文研究了模糊環(huán)境下的多階段模糊投資組合問題，將投資過程分為多個(gè)階段分別進(jìn)行投資，考慮交易成本限制以及資產(chǎn)數(shù)目限制等約束構(gòu)建模型。并采用設(shè)計(jì)的算法對所建模型進(jìn)行求解，得到了不同的投資組合策略，實(shí)現(xiàn)了對資產(chǎn)組合的收益最大化和對風(fēng)險(xiǎn)的控制。同時(shí)，與其他模型及算法進(jìn)行了對比，結(jié)果均優(yōu)于其他模型及算法，表明所建模型可以幫助投資者獲取更多的收益。此外，現(xiàn)實(shí)投資中還存在流動(dòng)性約束、最大回撤約束及周期約束等現(xiàn)實(shí)約束均對投資行為存在影響，將這些因素以一種合理的方式融入模型是今后研究的方向之一。