張新軍, 江 良, 林 琦 宋麗平

(1.莆田學(xué)院 金融數(shù)學(xué)福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，莆田 351100;2.莆田學(xué)院福建省金融信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，莆田 351100;3.莆田學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，莆田 351100)

0 引言

價格的跳躍是金融資產(chǎn)波動的一種重要特征，其歸因于極端事件發(fā)生而產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，如重大的政治事件、金融危機(jī)、中央銀行的貨幣政策或一些自然災(zāi)害等外在因素，這種影響直接沖擊標(biāo)的物的價格呈現(xiàn)較大的波動。然而，極端事件在特定時間內(nèi)發(fā)生的頻率比較稀少，而且也是不可預(yù)測的，特別是因極端事件所產(chǎn)生累積風(fēng)險(極端風(fēng)險)在業(yè)界也是非常重要的課題。因此，研究極端事件發(fā)生的頻率及其所產(chǎn)生的二次風(fēng)險就顯得非常有意義。

Merton[1]通過跳擴(kuò)散模型來描述資產(chǎn)價格的跳躍現(xiàn)象，也就是極端事件發(fā)生通過跳的現(xiàn)象來描述，此時極端事件發(fā)生作為外生變量。雖然跳擴(kuò)散模型能夠度量極端事件發(fā)生的概率，也能描述金融數(shù)據(jù)的尖峰和厚尾特征[2]。雖然跳擴(kuò)散模型能夠顯著地測度金融市場異常波動風(fēng)險[3]，但是應(yīng)用跳擴(kuò)散模型估計跳的頻率較低，也不具有反饋效應(yīng)[4]，即重大極端事件不僅反映在當(dāng)前價格的跳躍上，也會進(jìn)一步影響次日或未來價格，從而導(dǎo)致預(yù)期資產(chǎn)價格產(chǎn)生跳躍的概率更高，而且在模擬跳的過程時會出現(xiàn)樣本匱乏問題[5]。歸咎于上述原因，應(yīng)用跳擴(kuò)散模型進(jìn)行風(fēng)險管理時可能無法有效地測度重大極端事件風(fēng)險，進(jìn)而導(dǎo)致缺乏有效的風(fēng)險預(yù)警和防范措施。

對于具有跳的短期模型可追溯到Duffie 和Kan[6]，他們討論了跳對短期利率模型的影響，然而即使他們引入隨機(jī)波動率模型，但是他們的模型無法描述跳的聚集現(xiàn)象，歸因于常數(shù)跳的強(qiáng)度。近幾年來，在跳擴(kuò)散模型基礎(chǔ)上，有大量研究者研究具有跳聚集現(xiàn)象的短期利率模型[7–10]。在這些文獻(xiàn)中，跳的強(qiáng)度作為內(nèi)生變量，依賴于短期率。因此，當(dāng)短期利率較高時，強(qiáng)度也相應(yīng)較大，在下一時刻具有較高的概率發(fā)生跳，反之，短期利率較低，跳發(fā)生的概率較小。這就有可能作為內(nèi)生變量的跳強(qiáng)度在低短期利率時無法描述跳的聚集現(xiàn)象。Hainaut[11]引入Hawkes 過程研究具有跳聚集現(xiàn)象的高斯模型，其中跳是雙指數(shù)跳，并通過設(shè)置閾值方法來度量大跳發(fā)生的可能從而給出極大似然估計。Rambaldi 等[12]通過Hawkes 過程研究外匯交易發(fā)現(xiàn)，引入Hawkes 過程能夠很好地描述一些重大宏觀事件對模型的沖擊。張新軍等[13]應(yīng)用GMM(Gaussian Mixture Modeling)方法也引入Hawkes 過程研究短期利率模型，即使他們把強(qiáng)度作為外生變量，但是在他們模型中，波動率和跳的幅度是常數(shù)。近幾年來，Hawkes 過程在許多領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用歸咎該過程具有自我激勵機(jī)制跳的現(xiàn)象的性質(zhì)[14]，所謂自我激勵機(jī)制跳是當(dāng)跳發(fā)生時，相應(yīng)的強(qiáng)度也發(fā)生跳，而且強(qiáng)度跳的概率和標(biāo)的物跳的概率是一樣的。即當(dāng)估計到短期利率有一個大的跳躍發(fā)生時，相應(yīng)跳的強(qiáng)度也有一個同樣的概率發(fā)生跳，從而導(dǎo)致估計下一時刻跳的強(qiáng)度可能具有更高的概率，這就產(chǎn)生了跳的聚集現(xiàn)象。因此，本文將在隨機(jī)波動率模型基礎(chǔ)上，考慮具有自我激勵機(jī)制跳的因素對于模型的沖擊。

此外，國內(nèi)少數(shù)學(xué)者也應(yīng)用Hawkes 過程驗(yàn)證了不同金融市場之間風(fēng)險傳染性問題或協(xié)同跳躍現(xiàn)象[15–16]。馬勇等[17]分析了我國股市異常波動(跳)的聚集現(xiàn)象，以及暴漲和暴跌相互作用的機(jī)制。陳淼鑫和徐亮[18]驗(yàn)證了基于Hawkes 過程所構(gòu)建的模型能夠更好地預(yù)測尾部風(fēng)險問題，值得一提的是，他們也把期權(quán)作為輔助變量對跳的強(qiáng)度參數(shù)進(jìn)行估計。上述文獻(xiàn)實(shí)證研究的主要思路是在高頻數(shù)據(jù)下應(yīng)用結(jié)構(gòu)化模型設(shè)定閾值分離出跳的樣本數(shù)據(jù)，而后使用跳的數(shù)據(jù)獨(dú)立地估計跳和跳的強(qiáng)度參數(shù)值，以此來分析因重大極端事件導(dǎo)致金融市場價格跳躍、傳染性和協(xié)同跳躍問題。

綜上所述，本文將考慮Gifford Fong 等[19]具有自我激勵機(jī)制跳的隨機(jī)隨機(jī)波動率模型。事實(shí)上，Litterman 等[20]通過實(shí)證方法論述引入隨機(jī)波動率狀態(tài)變量的必要性。由于Gifford Fong 等[19]模型具有仿射性結(jié)構(gòu)(高斯模型)，因此在風(fēng)險測度和物理測度下具有形式上不變性，甚至對于債券價格定價也具有這種性質(zhì)[21]。因此，我們將主要考慮該類模型作為研究對象。Duffie 等[22]研究具有跳性質(zhì)的仿射性結(jié)構(gòu)模型的衍生品顯示解。Filipovi′c 等[23]推導(dǎo)了跳的仿射性結(jié)構(gòu)模型轉(zhuǎn)換密度函數(shù)的顯示表達(dá)式，而后給出了可行的參數(shù)估計方法。鄭挺國和劉金全[24]基于高斯和非高斯模型也給出具有跳擴(kuò)散模型的參數(shù)及和統(tǒng)計推斷，在他們的結(jié)論中隨機(jī)波動率對短期利率影響比較大。然而上述的模型都無法刻畫跳的聚集現(xiàn)象，因此有必要引入新的狀態(tài)變量來度量跳的聚集現(xiàn)象問題。對于引入隨機(jī)跳的強(qiáng)度是為了使模型能夠刻畫跳的聚集現(xiàn)象，雖然本文的模型可能產(chǎn)生負(fù)的利率(對于所有高斯的模型這種現(xiàn)象都是無法避免的)，但是短期利率動態(tài)變化不需要任何約束條件，相應(yīng)的離散格式無需考慮負(fù)值的出現(xiàn)甚至可能相應(yīng)的衍生品價格具有顯示解或半顯示解，同時由于沒有約束條件，參數(shù)估計也變得相對簡單?；诒疚乃鶚?gòu)建模型是在跳擴(kuò)散模型基礎(chǔ)上建立的，又因?yàn)樘鴶U(kuò)散模型是一個Cadlag 過程，該過程具有有限次大跳(也可以描述無限可數(shù)小跳)，因此相應(yīng)的極大似然函數(shù)可能沒有顯示的解，而且極大似然估計方法需要有效且每一個具體的矩函數(shù)。根據(jù)Cont 和Tankov[25]論述廣義矩方法具有魯棒性和有效性，并且在矩函數(shù)有限的條件可保證收斂性。鑒于此，本文將基于條件期望、無窮小生成元及微分算子等理論，利用微分算子Taylor 展開到二階項(xiàng)計算矩函數(shù)，而后應(yīng)用GMM 方法給出模型的參數(shù)估計和統(tǒng)計推斷。

本文主要的貢獻(xiàn)為：

1) 本文模型延拓了張新軍等[13]模型，考慮跳的幅度和波動率都是隨機(jī)模型，因隨機(jī)波動率是短期利率非常重要的特征；

2) 即使模型是三因子，但應(yīng)用微分算子展開技巧，仍能精確地計算出矩函數(shù)，因此可使用經(jīng)典數(shù)值計算方法提高其精度；

3) 實(shí)證結(jié)果表明，引入Hawkes 過程能更好地刻畫數(shù)據(jù)跳的問題，同時也能夠說明在一些重大事件發(fā)生時對短期利率的影響，而且也論證了比較跳的模型，本文的模型能夠描述更多跳的次數(shù)。因此，本文的研究結(jié)果能夠?yàn)榛夂头婪督鹑谑袌錾蠘O端風(fēng)險提供理論和技術(shù)支撐。

1 自我激勵機(jī)制跳的模型

首先，考慮下面隨機(jī)波動率短期利率模型(FVJHJ)

根據(jù)Poisson 過程定義，有

其中λt表示跳的強(qiáng)度或表示在單位時間內(nèi)跳的次數(shù)。這里忽略高階項(xiàng)，即考慮在區(qū)間(t,t+dt]內(nèi)只發(fā)生一次跳的概率事件。

注意引入跳的模型，主要原因是希望短期利率大的變動不僅是受到波動率而且也受到跳的影響。事實(shí)上，A¨?t-Sahalia 等[26]已經(jīng)說明單純考慮擴(kuò)散過程是無法刻畫一些宏觀經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象對收益率所產(chǎn)生的影響，如金融危機(jī)等一些因素。另一方面，根據(jù)Eraker 等[2]的結(jié)果，若引入的跳的模型，Q-Q 圖顯示相應(yīng)的殘差更趨近于正態(tài)分布，而且A¨?t-Sahalia[27]也提出，當(dāng)使用高頻數(shù)據(jù)時，跳可能性非常大，特別是每天交易的數(shù)據(jù)。因此，考慮跳的短期利率模型。

FVJHJ 模型的跳具有自我激勵的機(jī)制跳，因?yàn)楫?dāng)短期利率有大的價格變化時，這種現(xiàn)象來自于一個大的波動率和一個大的跳相互影響。由于大的跳影響到一個大的跳的強(qiáng)度，從而預(yù)測下一次跳的可能性變的更大。而且根據(jù)自我激勵的機(jī)制跳的性質(zhì)，跳更有可能在一段時間內(nèi)多次的發(fā)生，從而產(chǎn)生跳的聚集現(xiàn)象。注意若使用常數(shù)跳的強(qiáng)度這種現(xiàn)象是很難預(yù)測的[26]，因?yàn)槌?shù)強(qiáng)度模型在整個時間段內(nèi)跳的平均次數(shù)是一樣的。

由于Litterman 等[20]和Durham[28]都通過實(shí)證說明，引入隨機(jī)波動率模型不僅改善了模型的擬合效果，而且也能描述短期率期限結(jié)構(gòu)的變化。因此，本文主要集中在隨機(jī)波動率模型研究跳的問題。作為一個結(jié)果，在隨機(jī)波動率基礎(chǔ)上，當(dāng)b= 0 時，模型記為FVJ，Das[29]已經(jīng)研究了這個模型。

2 參數(shù)估計

為了給出FVJHJ 模型的參數(shù)估計，首先假設(shè)

其中λ?是λt的無條件期望值，相應(yīng)精確的表達(dá)式將在下面部分給出。式(1)可轉(zhuǎn)化為

隨機(jī)微分方程(5)變成了由三部分組成，即常數(shù)項(xiàng)、純粹的擴(kuò)散和跳的過程。此時，關(guān)于dyt的無條件期望為零，即Edyt= 0。因此，對于參數(shù)估計可以采用兩步估計：第一步，先通過樣本給出了漂移項(xiàng)的參數(shù)θ?= (aθ+μ0λ?)和a的估計；第二步，給定第一步所獲得參數(shù)估計、估計擴(kuò)散和跳的參數(shù)，而且這個估計過程是相容的。通過短期利率rt的樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)用最二乘法可以獲得(θ?,a)的估計值。事實(shí)上，當(dāng)給定參數(shù)(a,μ0,λ?)估計值時，估計θ?等同于估計θ。因此，參數(shù)估計問題集中處理關(guān)于參數(shù)(μ0,σ0,α,β,κ,μ,b)的估計問題。事實(shí)上，Ruiz[30]也使用該思想估計隨機(jī)波動率模型的參數(shù)問題。

通過線性的轉(zhuǎn)化相應(yīng)的模型(5)完全等價于A¨?t-Sahalia 等[26]所論述模型。雖然，A¨?t-Sahalia 等[26]通過協(xié)方差密度函數(shù)給出相應(yīng)的高階近似表達(dá)式，然而當(dāng)擴(kuò)散項(xiàng)是非線性時，相應(yīng)協(xié)方差密度函數(shù)不一定有精確的表達(dá)式。因此，本文將通過隨機(jī)微分Taylor 展開給出相應(yīng)高階近似。

為了給出參數(shù)的估計值，本文將選擇GMM 方法給出模型的參數(shù)估計和統(tǒng)計推斷。由于GMM 只需要給出精確的矩函數(shù)，相應(yīng)的參數(shù)估計是相容的。事實(shí)上，也不難看出，如果使用極大似然估計方法很難給出似然函數(shù)顯示表達(dá)式，歸因于似然函數(shù)需要對隱含狀態(tài)變量積分，而且極大似然方法一個重要的假設(shè)是邊界分布為正態(tài)分布，而在我們的模型中這個假設(shè)可能不成立，歸因于跳的過程。因此，選擇GMM 算法做為估計的方法。

2.1 矩函數(shù)表達(dá)式

根據(jù)GMM 估計方法，要使參數(shù)估計值具有相容性性質(zhì)，一個必要的假設(shè)是正交條件，這就需要對矩函數(shù)給出精確的表達(dá)式。因此，下面將給出矩函數(shù)的具體表達(dá)式。

首先根據(jù)A¨?t-Sahalia[27]論述，引入算子

其中P(·)表示跳幅度的概率測度。根據(jù)Stanton[31]論述，所有矩函數(shù)可以通過算子展開計算。設(shè)At=(yt,Vt,λt)，有

其中Et[·]表示在給定At條件下的期望。注意當(dāng)沒有擴(kuò)散項(xiàng)和跳時，式(6)是標(biāo)準(zhǔn)的多維Taylor 展開。若只保持一階項(xiàng)，式(6)可寫成

根據(jù)式(7)，直接可得

顯然，從式(8)矩函數(shù)可知，若使用一階近似，隨機(jī)波動率的一些參數(shù)以及隨機(jī)跳的強(qiáng)度參數(shù)是無法估計的。進(jìn)一步計算峰度

當(dāng)不考慮跳模型，應(yīng)用一階近似計算峰度為零，這和現(xiàn)實(shí)不符。當(dāng)應(yīng)用式(14)二階展開，仍然不考慮跳時，相應(yīng)的峰度為3，為高斯模型的峰度。這些結(jié)果說明，考慮一階近似不僅一些參數(shù)無法估計，而且可能也會失去一些樣本的統(tǒng)計信息，因此有必要考慮算子的二次展開。

為了解決上面問題，先給出Vt、λt的條件期望。

定理1 假設(shè)λt是平穩(wěn)的隨機(jī)過程，有

其中λ?=(κμ)/(κ ?b)。相應(yīng)的二階矩為

注1 這里忽略定理的證明，詳細(xì)的證明方法可參考文獻(xiàn)[10]。關(guān)于λt非條件期望為E[λt]=λ?。當(dāng)b=0，即跳的強(qiáng)度沒有跳時，式(3)變成跳擴(kuò)散模型。λt的無條件二階矩為

現(xiàn)在考慮式(8)的二階近似。根據(jù)式(6)，需要二次的展開，即

式(11)成立的條件是算子的高階展開是有界的。為了簡化，設(shè)δ= Δt，假設(shè)在時間段δ內(nèi)只發(fā)生一次的跳。根據(jù)式(7)和式(11)，有下面的定理。

定理2 假設(shè)隨機(jī)過程λt和Vt是平穩(wěn)的過程。矩函數(shù)(8)有下列精確的表達(dá)式

證明 為了證明式(12)，設(shè)f(y)=(y ?yt)2，因此有

根據(jù)式(7)，有

現(xiàn)在考慮算子的二次展開。設(shè)gt=Lf(yt)δ，根據(jù)式(7)相應(yīng)的二次展開為

上面最后一個等式成立是通過設(shè)f1(y,λ) =λ(y ?yt)，然后應(yīng)用式(7)獲得。最后，再根據(jù)式(11)和隨機(jī)過程Vt、λt的平穩(wěn)性，可得

應(yīng)用定理1，式(12)直接獲得。

為了證明式(13)，設(shè)f(y)=(y ?yt)3，則有

對于二次算子，有

根據(jù)上面的推導(dǎo)，三階矩相應(yīng)的無條件期望為

應(yīng)用定理1，式(13)直接可得。

最后，證明四階矩函數(shù)，設(shè)f(y)=(y ?yt)4，有

相應(yīng)的二次展開為

根據(jù)定理1 的結(jié)果，直接可得式(14)。

注意到，由定理2 可知，使用高階矩(三階和四階)可以估計隨機(jī)波動率的波動率，而且也可估計跳的參數(shù)。這個結(jié)論和A¨?t-Sahalia[27]所論述的結(jié)果是一樣的。在他的文章，作者建議使用高價矩來估計跳的參數(shù)，而低階矩是估計擴(kuò)散的參數(shù)。

基于GMM 算法，定理2 所給的矩函數(shù)的個數(shù)仍小于參數(shù)的個數(shù)。因此，將引入?yún)f(xié)方差矩。由于EΔyt=EΔyt+τ=0，自協(xié)方差函數(shù)

定理3 若定理2 的假設(shè)條件滿足，進(jìn)一步假設(shè)τ ≥δ ＞0，有下面自協(xié)方差矩函數(shù)

證明 首先考慮下面的矩函數(shù)

根據(jù)式(17)結(jié)果可得，現(xiàn)在我們回到計算自協(xié)方差

最后，根據(jù)定理1，定理3 結(jié)論成立。

為了給出平方的協(xié)方差，首先需要考慮下面的二階矩函數(shù)

類似有

又因?yàn)?/p>

結(jié)論成立。

根據(jù)定理3 的結(jié)論，顯然自協(xié)方差刻畫了隨機(jī)強(qiáng)度的參數(shù)。但如果跳的幅度均值為零，即EJt= 0，此時需要平方協(xié)方差矩來刻畫隨機(jī)強(qiáng)度的參數(shù)。而且也發(fā)現(xiàn)，平方協(xié)方差矩函數(shù)把跳強(qiáng)度和隨機(jī)波動率的參數(shù)分離出來，意味著平方協(xié)方差函數(shù)能夠作為識別波動率和自我激勵機(jī)制跳的重要參考指標(biāo)。當(dāng)波動率是確定而非隨機(jī)過程時，此時自協(xié)方差和平方協(xié)方差矩完全描述了自我激勵機(jī)制跳的過程，因此高階矩函數(shù)可以描述跳的過程。

2.2 GMM 估計方法

為了簡化，設(shè)Θ= (μ0,σ0,α,β,κ,μ,b)為模型的參數(shù)向量，且Θ ∈?，其中?表示參數(shù)向量的可行域?？紤]M維的矩列向量g(y,δ,Θ)，且M ≥dim(Θ)。眾所周知，GMM算法一個重要假設(shè)是正交條件，即若Θ0是真實(shí)的解，其一定滿足E[g(yn,δ,Θ0)] = 0。由于在定理2 和定理3 中已經(jīng)給出了矩函數(shù)的精確表達(dá)式，只需要把定理2 和定理3 中的矩函數(shù)等式右端移到等式的左端，此時正交條件即可滿足。

接下來，我們將簡明扼要地給出GMM 算法過程。設(shè)?g(yn,δ,Θ)為樣本矩函數(shù)的平均值，即

基于GMM 算法對于參數(shù)向量的估計為

其中WN是權(quán)重函數(shù)且是M×M正定矩陣。關(guān)于最小化(19)解一階必要條件(正交條件)為

其中D′(Θ)是關(guān)于?g(yn,δ,Θ)的Jacobian 矩陣，注意這里WN事先給定。

沿著A¨?t–Sahalia 等[26]、Newey 和West[32]的思想，假設(shè)S是一個漸進(jìn)協(xié)方差矩陣，定義為

進(jìn)一步，假設(shè)S?1是WN的相容性估計，而?S是S的相容性估計，可設(shè)WN= ?S?1作為最優(yōu)選擇的權(quán)重函數(shù)。協(xié)方差函數(shù)定義為

眾所周知，對于S一個有效相容性的估計為Newey-West 估計方法[32]，即

其中k是一個給定的數(shù)值，?Sj為

根據(jù)有效估計?S，相應(yīng)關(guān)于參數(shù)?Θ最優(yōu)估計值的漸進(jìn)協(xié)方差矩陣為

協(xié)方差矩陣C(?Θ)對角元素是用來測試所得參數(shù)估計值穩(wěn)定性，并且計算每個參數(shù)的T 統(tǒng)計量。

為了判斷模型的有效性，引入了似然率(Likelihood Ratio, LR)的統(tǒng)計測試。根據(jù)Hayashi[33]論述，關(guān)于GMM 方法全參數(shù)模型的似然率比為

其中υ是約束條件的個數(shù)，?Θ表示非約束條件下的參數(shù)估計值，?Θ表述在約束條件下參數(shù)估計值。通過式(22)的數(shù)值與相應(yīng)的χ2分布的臨界值比較，可以判斷是否拒絕給定的約束條件假設(shè)。

現(xiàn)在我們回到給出有效GMM 算法估計：

步驟1 選擇WN=I，隱含所有的矩的權(quán)重是等同的，求優(yōu)化問題(19)給出估計Θ；

步驟2 根據(jù)步驟1 的結(jié)果，計算式(21)；

步驟3 然后應(yīng)用步驟3 的計算結(jié)果，重新求優(yōu)化問題(19)給出估計Θ。

如果假設(shè)所有的結(jié)果滿足Hayashi[33]中的正則性假設(shè)，那么上面估計算法給出來的結(jié)果是有效的GMM 估計。

3 實(shí)證結(jié)果

Andersen 和Lund[34]研究結(jié)果說明了每天交易三個月到期美國國債收益率可以非常好地近似無風(fēng)險利率。Chapman 等[35]提供實(shí)證的證據(jù)說明了基于高斯模型(仿射性結(jié)構(gòu)模型)應(yīng)用1 個月或3 個月到期美國國債所獲得參數(shù)估計誤差是可忽略的。同時，Johannes[8]說明了債券收益率流動比較強(qiáng)，而且收益率不會受到收盤價和開盤價之間的價差影響，因此可以把該收益率當(dāng)做無風(fēng)險利率。另一方面，雖然作者無法使用獲得本國短期債券每天交易數(shù)據(jù)，但根據(jù)Ball 和Torous[36]研究結(jié)果，在使用不同國家債券數(shù)據(jù)時，對于隨機(jī)波動率模型所獲得結(jié)論沒有顯著的差異。基于這些原因，本文將使用1 個月到期美國國債收益率每天交易數(shù)據(jù)當(dāng)做無風(fēng)險利率(數(shù)據(jù)來源于http://research.stlouisfed.org/)，時間步長為δ= 1/262，時間從1954 年1 月4 日到2016 年12 月30 日，數(shù)據(jù)剔除了各個周末和節(jié)假日。

首先根據(jù)第2 部分論述，先估計漂移項(xiàng)。表1 給出了一些基本統(tǒng)計量，包括高斯數(shù)據(jù)(Δ?y)，這個詳細(xì)論述將在下面給出。Δy通過式(5)，基于最小二乘法估計獲得，參數(shù)估計值(θ?/a,a)=(4.318 70,0.098 83)和T 統(tǒng)計量為(4.371 2×103,1.364 4)，相應(yīng)的統(tǒng)計分析和推斷見文獻(xiàn)[13]?；诒? 中數(shù)據(jù)，通過轉(zhuǎn)化后，峰度已超過了35，這個值反應(yīng)了Δy是非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。圖1 和圖2 描述美國國債三個月到期每天交易數(shù)據(jù)，相應(yīng)轉(zhuǎn)化后的短期利率變化規(guī)律。在給出隨機(jī)波動率和跳的參數(shù)估計值之前，根據(jù)文獻(xiàn)[26]等結(jié)果，在參數(shù)估計過程中，自協(xié)方差和平方自協(xié)方差矩各自使用50 個。

圖1 一個月到期每天交易美國國債收益率

圖2 基于最小二乘法而得dyt 的變化

表1 一些統(tǒng)計量

3.1 隨機(jī)波動率參數(shù)估計

為了描述跳的問題，A¨?t-Sahalia 等[26]提出了通過截斷數(shù)據(jù)把跳和連續(xù)部分(擴(kuò)散部分)分離出來，也就是當(dāng)dyt大于某個閾值時，表現(xiàn)為跳的發(fā)生，此時數(shù)據(jù)為跳的數(shù)據(jù)；當(dāng)dyt小于該閾值時，表示連續(xù)部分，這部分?jǐn)?shù)據(jù)描述了擴(kuò)散動態(tài)行為，或稱為高斯數(shù)據(jù)。因此，可通過兩步估計方法對模型進(jìn)行參數(shù)估計，先通過高斯數(shù)據(jù)估計隨機(jī)波動率模型，而后再根據(jù)跳的數(shù)據(jù)估計具有跳的模型。沿著這個思路，在實(shí)際估計過程中，由于我們集中描述跳對短期利率模型的影響，因此參數(shù)估計過程將分成兩步估計過程：第一步估計連續(xù)部分(擴(kuò)散過程)，即估計參數(shù)(α,β,η,ρ)，此時模型中不發(fā)生跳；第二步估計跳的部分，估計參數(shù)(μ0,σ0,κ,μ,b)。在第二步過程中，保留著第一步估計所獲得參數(shù)值，實(shí)際上，在第一步過程中，F(xiàn)VJHJ 模型退化為隨機(jī)波動率模型[19]，也就是不含有跳的模型。此時，在定理2 和定理3 中的矩函數(shù)就變得相對簡單，而此估計過程仍然使用GMM 估計方法。關(guān)于數(shù)據(jù)分離方法所的參數(shù)估計的漸進(jìn)性以及相容性問題，可以參考文獻(xiàn)[37]。

A¨?t-Sahalia 和Jacod[37–37]描述通過具體的閾值分離出高斯數(shù)據(jù)和跳的數(shù)據(jù)，即

圖3 給出了通過閾值選取的跳的數(shù)據(jù)，從圖形可以看出，顯然在上個世紀(jì)80 年代出現(xiàn)跳的聚集現(xiàn)象，而且在2008 年也出現(xiàn)跳的聚集現(xiàn)象。因此，需要考慮自我激勵機(jī)制跳的問題。

圖3 跳的數(shù)據(jù)

根據(jù)表1 中的數(shù)據(jù)，通過數(shù)據(jù)分離，Δy和Δ?y，統(tǒng)計量都發(fā)生了變化。對于高斯數(shù)據(jù)，此時均值變成小于零，而且相應(yīng)分布是左偏的，特別是峰度，從超過35 下降到4.6。根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，顯然分離出來的數(shù)據(jù)也不是正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)。事實(shí)上，Johannes[8]已論述了樣本數(shù)據(jù)的峰度不能作為檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)是否滿足連續(xù)擴(kuò)散模型的指標(biāo)，特別是擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)會改變模型的峰度。進(jìn)一步通過Q-Q 圖測試數(shù)據(jù)是否滿足正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)，圖4 給出高斯數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)的Q-Q 圖。顯然，基于圖4 的結(jié)果，無法說明這兩個樣本數(shù)據(jù)都不滿足正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)的特征。后面將會給出通過兩個分位數(shù)閾值分離數(shù)據(jù)，高斯數(shù)據(jù)是滿足連續(xù)擴(kuò)散模型。

圖4 描述原始數(shù)據(jù)和高斯數(shù)據(jù)的Q-Q 圖

表2 基于高斯數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)給出隨機(jī)波動率模型的參數(shù)，從表2 中數(shù)據(jù)可以看出，使用原始數(shù)據(jù)和高斯數(shù)據(jù)所得參數(shù)估計量沒有明顯的不同，而不同結(jié)果在于統(tǒng)計量的估計值。當(dāng)使用原始數(shù)據(jù)時，大部分參數(shù)估計標(biāo)準(zhǔn)方差比較大，特別是相關(guān)系數(shù)，相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方差高達(dá)41，隱含著這個變量的估計是不穩(wěn)定的。而且除了β之外，在統(tǒng)計意義上，接受了零的假設(shè)。觀察高斯數(shù)據(jù)的估計量，比較應(yīng)用原始數(shù)據(jù)所得估計量，整體上參數(shù)估計方差改變比較大，同時相應(yīng)的值也比較小，因此通過數(shù)據(jù)分離后，相應(yīng)的參數(shù)估計也比較穩(wěn)定，而且年化標(biāo)準(zhǔn)差非常接近樣本的年化標(biāo)準(zhǔn)差0.027 1■= 0.438 7。進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)，除了對于相關(guān)系數(shù)ρ，其它參數(shù)T 統(tǒng)計量數(shù)值都超過6，因此具有非常高的概率拒絕H0，接受H1的假設(shè)，即參數(shù)非零的假設(shè)，但是關(guān)于相關(guān)系數(shù)，在統(tǒng)計意義上接受零的假設(shè)，即可以設(shè)置ρ= 0，也就是在實(shí)踐過程中可以考慮波動率和短期利率相互獨(dú)立的模型。根據(jù)相關(guān)系數(shù)(ρ)T 的統(tǒng)計量，顯然是無法拒接零的假設(shè)。事實(shí)上，Eraker 等[2]也論述了當(dāng)引入跳的因素時，相關(guān)系數(shù)的在統(tǒng)計意義上估計是比較困難的。關(guān)于η估計值，這個值是用來來識別波動率是否具有隨機(jī)性的重要指標(biāo)。根據(jù)表2 中所得η的估計值和相應(yīng)T 統(tǒng)計量，當(dāng)使用原始數(shù)據(jù)，即使估計值非零，但在統(tǒng)計意義上，接受零假設(shè)而拒絕非零假設(shè)。通過數(shù)據(jù)的分離，應(yīng)用高斯數(shù)據(jù)，相應(yīng)η的T 統(tǒng)計量超過6，可以說明Δ?y具有非常高的概率接受η非零的假設(shè)，即具有隨機(jī)波動率性質(zhì)。這些結(jié)果說明，跳對隨機(jī)波動率影響比較大。因?yàn)榉蛛x出跳的數(shù)據(jù)時，相應(yīng)參數(shù)估計值和統(tǒng)計量都表明模型具有隨機(jī)波動率性質(zhì)，而不分離跳的數(shù)據(jù)時，模型的參數(shù)估計結(jié)果拒絕了隨機(jī)波動率的性質(zhì)。

表2 參數(shù)估計

接著，根據(jù)Kitagawa[40]研究結(jié)果，使用重度采樣粒子濾波方法(Sampling Importance Resampling, SIR)給出了隨機(jī)波動率估計。圖5 描述了高斯數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)的過濾波動率值，從圖形可以看出，當(dāng)使用完全數(shù)據(jù)時，波動率非常好地描述了樣本波動現(xiàn)象。但是根據(jù)A¨?t-Sahalia 等[26]的論述，若不考慮跳的現(xiàn)象，所得波動率估計值可能是由真實(shí)的波動率和跳的因素組合而成。因此，在圖5 中，高波動率值不僅包含了真實(shí)的波動率而且也包含了跳的過程，意味著高的Δy值是由波動率和跳的因數(shù)相互組合而成的。我們進(jìn)一步觀察截斷數(shù)據(jù)的估計值，顯然當(dāng)剔除掉跳的過程時，整體上改變波動率的形態(tài)。因此，進(jìn)一步說明所得估計可能需要考慮跳的因素，否則波動率可能被高估。

圖5 基于原始數(shù)據(jù)和高斯數(shù)據(jù)，通過過濾方法給出隨機(jī)波動的估計

圖6 應(yīng)用隨機(jī)波動率模型給出原始數(shù)據(jù)和高斯數(shù)據(jù)的Q-Q 圖，顯然包含跳數(shù)據(jù)時，Q-Q 圖顯示殘差非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。因此，說明了引入擴(kuò)散系數(shù)樣本數(shù)據(jù)還是滿足不了連續(xù)擴(kuò)散模型，這就隱含著可能需要引入其它的狀態(tài)變量，而一旦根據(jù)閾值剔除掉跳的樣本數(shù)據(jù)，相應(yīng)殘差Q-Q 圖顯示樣本的殘差和正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)擬合的非常好，意味著高斯數(shù)據(jù)滿足連續(xù)擴(kuò)散模型。比較圖4 中關(guān)于高斯數(shù)據(jù)的Q-Q 圖像，顯然擴(kuò)散系數(shù)會影響到殘差的變化。即使在表2 中，關(guān)于高斯數(shù)據(jù)統(tǒng)計量說明樣本數(shù)據(jù)密度函數(shù)具有向左偏離，同時具有厚尾性質(zhì)，但是在模型擴(kuò)散項(xiàng)引入隨機(jī)波動率Vt，相應(yīng)殘差的Q-Q 圖測試表明滿足正態(tài)分布。可見，偏度和峰度不能作為統(tǒng)計量來測試樣本數(shù)據(jù)是否滿足連續(xù)擴(kuò)散模型。

圖6 基于隨機(jī)波動率模型，描述原始數(shù)據(jù)和高斯數(shù)據(jù)的Q-Q 圖

3.2 跳的參數(shù)估計

在給出跳的參數(shù)估計值之前，首先需要給出跳的幅度矩函數(shù)

根據(jù)這些矩函數(shù)，結(jié)合定理2 和定理3 應(yīng)用GMM 方法，給出跳的參數(shù)估計值。

表3 基于GMM 算法給出不同模型參數(shù)估計值和相應(yīng)的一些統(tǒng)計量。首先觀察表格中的數(shù)據(jù)卡方統(tǒng)計量，由于本文使用103 個矩函數(shù)，因此對于FVJHJ 和FVJ 模型相應(yīng)的p值都接近1，這意味著兩個模型對數(shù)據(jù)的擬合效果都非常的好。但是比較兩個模型的卡方統(tǒng)計量，在統(tǒng)計意義上，無法通過似然率的檢驗(yàn)來測試FVJHJ 模型更加有效。鑒于此，定理3 說明了可通過通過參數(shù)的估計值來判斷跳的強(qiáng)度是否是具有隨機(jī)性[26]。

表3 模型參數(shù)估計值和統(tǒng)計量

為了給出表3 中對于參數(shù)估計的T 統(tǒng)計量的檢驗(yàn)，首先需給出T 統(tǒng)計量的臨界值。由于使用50 個滯后數(shù)據(jù)進(jìn)行估計，有效的樣本數(shù)為15 690，所以對T 統(tǒng)計量的自由度為15 689，相應(yīng)地，相應(yīng)單邊99%概率(p= 0.01)臨界值為2.326 6。根據(jù)該臨界值，結(jié)合表3 中的T 統(tǒng)計量，顯然對參數(shù)向量(σ0,κ,μ,b)大于零的假設(shè)在統(tǒng)計意義上是有意義的，即超過99%接受了備擇的假設(shè)，隱含著在模型中需要這些參數(shù)都不能設(shè)置為零。值得注意的是，關(guān)于μ0的統(tǒng)計檢驗(yàn)需要雙邊檢驗(yàn)，顯然此時p值為0.00 5，相應(yīng)T 的臨界值也為2.576 1。因此，也超過99%接受了非零的假設(shè)。

值得一提的是，關(guān)于參數(shù)向量(σ0,μ)和(κ,b)的統(tǒng)計檢驗(yàn)，前者說明在模型中需要引入跳的過程，后者說明了在模型中需要考慮跳的強(qiáng)度是隨機(jī)的。根據(jù)表3 中關(guān)于這些參數(shù)高T 統(tǒng)計量表明跳的幅度是隨機(jī)的，且跳的強(qiáng)度也是隨機(jī)的。因此，即使似然率無法測試模型的有效性，但是通過參數(shù)T 統(tǒng)計量的檢驗(yàn)表明模型需要引入跳的過程，同時也需要考慮跳的強(qiáng)度是隨機(jī)的。綜上所述，構(gòu)建短期率模型時需要引入跳且也具有很強(qiáng)自我激勵機(jī)制跳的現(xiàn)象，也就是模型中不能拒絕引入跳的因素并需要考慮跳的聚集現(xiàn)象。

進(jìn)一步，根據(jù)表3 中κ、μ、b的數(shù)值結(jié)果，通過計算可得FVJHJ 和FVJ 模型平均每年發(fā)生跳的次數(shù)大約為99.9 和2.2 次。雖然基于FVJ 模型平均次數(shù)低于樣本跳的平均值4.5 次，但是A¨?t-Sahalia 等[26]論述了基于跳的模型所得跳的年平均次數(shù)約1～2 次。因此，基于FVJ 模型所得平均跳的次數(shù)是可接受的。根據(jù)跳的平均次數(shù)估計，F(xiàn)VJ 模型確實(shí)無法刻畫跳的次數(shù)，也意味著引入跳的模型還是不足與描述樣本跳的屬性?；贔VJHJ 模型相應(yīng)年平均跳的次數(shù)遠(yuǎn)高于樣本跳的平均次數(shù)，說明了考慮跳的強(qiáng)度具有自我激勵機(jī)制性質(zhì)，會增加跳發(fā)生的概率，而且將進(jìn)一步改善因?yàn)樘l(fā)生頻率太少所導(dǎo)致估計跳的過程所產(chǎn)生的樣本匱乏問題。

3.3 跳的幅度和跳的強(qiáng)度過濾估計

在金融領(lǐng)域中，一般做市場壓力測試是通基于波動率指標(biāo)(或稱恐慌指數(shù))。事實(shí)上，A¨?t-Sahalia 等[26]說明了通過波動率作為壓力測試是不足的，應(yīng)該考慮樣本數(shù)據(jù)的跳的現(xiàn)象來做壓力測試。Eraker 等[2]也使用跳的過程作為壓力測試指標(biāo)。因此，在這一部分將給出跳的過程估計，包括跳的強(qiáng)度。根據(jù)前面所得參數(shù)估計結(jié)果，基于過濾方法給出了隱含狀態(tài)變量跳的強(qiáng)度，跳的幅度和跳的發(fā)生估計，即估計(λt,Jt,It)。近幾年來，過濾方法在金融領(lǐng)域中已經(jīng)得到廣泛地應(yīng)用[41–43]，不僅用來估計參數(shù)而且也被應(yīng)用于隱含狀態(tài)變量的參數(shù)估計。雖然重度采樣粒子濾波方法[40]簡單而且能夠比較容易添加一些新的狀態(tài)變量，然而Johannes 等[5]說明了SIR 算法在估計跳的模型時候可能會產(chǎn)生樣本匱乏現(xiàn)象。因此，本文將使用輔助粒子濾波器(Auxiliary Particle Filter, APF)方法給出跳的強(qiáng)度估計，該方法可參考Pitt 等[44]，這種方法主要思想是在估計過程中考慮新的觀察數(shù)據(jù)。因此，本文將沿著Johannes 等[5]思路，使用APF 算法給出狀態(tài)變量的估計，詳細(xì)的步驟如下。

步驟1 基于SIR 算法，計算權(quán)重

根據(jù)權(quán)重函數(shù)，重新抽樣指標(biāo)函數(shù)

上面算法詳細(xì)可以參考文獻(xiàn)[5]。注意在算法第2 步中，重新抽樣粒子時，引入新的觀察數(shù)據(jù)Δyn+1。因此，當(dāng)估計樣本較少的狀態(tài)變量所得粒子不會出現(xiàn)匱乏的問題。

圖7 基于APF 過濾方法給出了跳的強(qiáng)度(λt)、跳的概率、跳的幅度(Jt)和隨機(jī)波動率(Vt)的估計。觀察圖7 中的左圖，顯然跳的強(qiáng)度λt的估計值比較大，最低值大約為30 左右，而最大的值接近210 左右，意味具有高的概率發(fā)生跳，相應(yīng)跳的概率在圖7 中的中間圖。比較圖6 中的右圖關(guān)于跳的幅度值和圖5 跳的數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)在特定時間區(qū)間內(nèi)跳的幅度很好地描述跳的數(shù)據(jù)。例如，從1972 年至1973 年跳的聚集因素現(xiàn)象歸因能源的危機(jī)；上個世紀(jì)80 年代初左右跳的聚集現(xiàn)象最為明顯，在這段時間內(nèi)發(fā)了海灣戰(zhàn)爭、伊朗政治危機(jī)、美聯(lián)儲貨幣政策等一些極端事件導(dǎo)致短期利率產(chǎn)生跳的集聚現(xiàn)象[8]；1987 年黑色星期五；2000 年至2002 年網(wǎng)絡(luò)經(jīng)濟(jì)泡沫；2008 年的金融危機(jī)。因此，可得出基于FVJHJ 模型很好地描述這些區(qū)域極端事件所產(chǎn)生跳的現(xiàn)象。

圖7 基于FVJHJ 模型，跳的強(qiáng)度、跳的概率估計、跳的幅度估計

圖8 基于FVJ 模型給出了跳的概率和跳的幅度估計值。比較圖7 和圖8 關(guān)于跳的概率和跳的幅度估計值，顯然當(dāng)跳的強(qiáng)度為隨機(jī)時，相應(yīng)跳的概率更加密集，意味著FVJHJ 模型具有更多的概率發(fā)生跳。進(jìn)一步，比較FVJ 和FVJHJ 模型關(guān)于跳的幅度，即使FVJ 模型也能夠刻畫一些特定時期極端事件發(fā)生，但是FVJHJ 模型所描述的跳的幅度更加接近跳的數(shù)據(jù)。因此，也說明FVJHJ 更好的刻畫市場數(shù)據(jù)跳的動態(tài)行為。雖然表3 中似然率無法推斷FVJHJ 模型和FVJ 模型的有效性，但是從描述樣本數(shù)據(jù)跳的現(xiàn)象角度考慮，有理由接受FVJHJ 模型而拒絕FVJ 模型。比較張新軍等[13]結(jié)果，即使他們考慮跳的強(qiáng)度是隨機(jī)的(波動率是確定的值)，但是FVJ 模型描述的更多數(shù)據(jù)的跳，這也說明隨機(jī)波動率對跳的估計影響也非常的大。

圖8 基于FVJ 模型，跳的概率估計和跳的幅度估計

最后，圖9 給出了FVJHJ 和FVJ 模型的波動率估計值。很顯然，基于FVJ 模型的所的隨機(jī)波動率值比較大。事實(shí)上，雖然不考慮挑的因素，波動率將會被高估[2,26]，但基于圖9 的結(jié)果，若不考慮跳聚集現(xiàn)象，重大極端事件持續(xù)性也會導(dǎo)致波動率被高估，這將導(dǎo)致其衍生定價錯誤，從而影響到風(fēng)險管理水平。因此，由于FVJHJ 描述更多的跳，從而導(dǎo)致更低的隨機(jī)波動率值。

圖9 基于不同模型隨機(jī)波動率估計值

4 結(jié)論

本文構(gòu)建具有自我激勵機(jī)制跳的隨機(jī)波動率短期利率模型(FVJHJ)。在FVJHJ 模型中，跳的強(qiáng)度滿足Hawkes 過程，同時波動率滿足CIR 過程，因此所構(gòu)建模型是三因子模型。根據(jù)GMM 方法的收斂性和必要條件(正交條件)，基于條件期望算子定義，應(yīng)用微分算子Taylor 展開，推導(dǎo)了矩函數(shù)精確表達(dá)式，包括了自協(xié)方差矩和平方協(xié)方差矩函數(shù)，進(jìn)一步應(yīng)用GMM 方法給出了模型的參數(shù)估計和統(tǒng)計推斷，最后也應(yīng)用APF 算法給出隨機(jī)波動率、跳的幅度、跳的概率及跳的強(qiáng)度估計值。

應(yīng)用美國國債一個月到期收益率每天交易數(shù)據(jù)做實(shí)證的研究。為了給出實(shí)證的結(jié)果，應(yīng)用截斷函數(shù)技巧對原始數(shù)據(jù)分離出高斯數(shù)據(jù)和跳的數(shù)據(jù)，前者應(yīng)用于隨機(jī)波動率模型參數(shù)估計，后者應(yīng)用于估計跳的模型。實(shí)證結(jié)果表明應(yīng)用截斷函數(shù)技巧很好地分離出跳的數(shù)據(jù)?；跀?shù)據(jù)的分離結(jié)果，通過模型參數(shù)T 統(tǒng)計量檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在統(tǒng)計意義上，接受跳的強(qiáng)度是隨機(jī)過程。此外，通過對跳的幅度估計值和樣本跳的數(shù)據(jù)比較，F(xiàn)VJHJ 模型更好地描述數(shù)據(jù)的跳，特別是在一些特定時間段內(nèi)，如上個世紀(jì)80 年代初一系列政治事件和經(jīng)濟(jì)事件對模型產(chǎn)生的沖擊，本世紀(jì)初的網(wǎng)絡(luò)泡沫和2008 年的金融危機(jī)等極端事件。綜上所述，研究短期利率動態(tài)行為過程時，需要考慮自我激勵機(jī)制跳的模型。

雖然FVJHJ 模型在統(tǒng)計意義上能夠很好地描述樣本數(shù)據(jù)問題，但是仍然有一些問題值得進(jìn)一步研究，例如非參檢驗(yàn)自我激勵機(jī)制跳的有效性及其對短期利率衍生品的沖擊。