胡景銘, 劉 偉, 閻 方, 胡亦鈞

(1.新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830046; 2.武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，武漢 430072)

0 引言

保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資策略一直是保險(xiǎn)精算學(xué)術(shù)界及業(yè)界十分關(guān)注的問(wèn)題。作為保險(xiǎn)中的保險(xiǎn)，再保險(xiǎn)可以使保險(xiǎn)公司突破資金和規(guī)模的限制，盡可能的拓展業(yè)務(wù)。保險(xiǎn)人通過(guò)購(gòu)買(mǎi)再保險(xiǎn)將部分索賠風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移給再保險(xiǎn)公司，控制損失，實(shí)現(xiàn)公司的穩(wěn)定經(jīng)營(yíng)。此外，保險(xiǎn)人通過(guò)將公司的資產(chǎn)投資于金融市場(chǎng)，以提高收益，實(shí)現(xiàn)資金的增值保值，降低通貨膨脹所帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。近幾十年來(lái)，很多學(xué)者運(yùn)用隨機(jī)控制理論對(duì)保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題進(jìn)行了廣泛研究。例如，Browne[1]、David Promislow 和Young[2]、Hipp 和Taksar[3]、Liang 等[4]、Zhao 等[5]、Zhang 等[6]，其中Liang 等[4]研究了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格模型中收益率服從均值回復(fù)O-U 過(guò)程下的最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題，以終端時(shí)刻期望效用最大化為優(yōu)化準(zhǔn)則，得到了最優(yōu)策略和相應(yīng)值函數(shù)的顯式表達(dá)式。Zhang 等[6]采用廣義均值方差保費(fèi)原理，以終端時(shí)刻期望效用最大化和最小破產(chǎn)概率為優(yōu)化準(zhǔn)則對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資策略進(jìn)行了研究。

保險(xiǎn)公司的歷史業(yè)績(jī)往往會(huì)對(duì)當(dāng)前的財(cái)富產(chǎn)生影響。如果一個(gè)保險(xiǎn)公司的歷史業(yè)績(jī)優(yōu)秀，獲得了更多的收益，該保險(xiǎn)公司可能將部分收益通過(guò)股息等形式派發(fā)給股東。反之，如果一個(gè)保險(xiǎn)公司的歷史業(yè)績(jī)不佳，為了實(shí)現(xiàn)最終的業(yè)績(jī)目標(biāo)，往往需要進(jìn)一步的內(nèi)外部融資。鑒于這種時(shí)滯現(xiàn)象的客觀存在，在研究保險(xiǎn)公司最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題時(shí)，有必要將時(shí)滯效應(yīng)融入進(jìn)最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資策略中。Shen 和Zeng[7]首次將時(shí)滯效應(yīng)引入保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題，通過(guò)與過(guò)去財(cái)富相關(guān)的瞬時(shí)資金流入或流出函數(shù)對(duì)時(shí)滯效應(yīng)的影響建模，給出了最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資策略的顯式表達(dá)式。A 和Li[8]在時(shí)滯效應(yīng)下最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題的研究中進(jìn)一步考慮了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)模型為Heston 模型，再保險(xiǎn)形式為超額損失再保險(xiǎn)。Deng 等[9]在可違約的市場(chǎng)下，研究了帶有時(shí)滯效應(yīng)的保險(xiǎn)公司最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題。Zhang 和Chen[10]、Li 和He[11]和Bai 等[12]分別對(duì)服從跳躍擴(kuò)散模型的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，保險(xiǎn)公司博弈和CEV 模型的最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題，在時(shí)滯效應(yīng)下進(jìn)行了研究。

另一方面，上述的大多數(shù)研究均基于一個(gè)假設(shè)：即假設(shè)概率空間上的概率測(cè)度是已知的。然而，概率空間上單一的概率測(cè)度往往不能精確地反應(yīng)市場(chǎng)的真實(shí)情形，概率測(cè)度的偏差會(huì)對(duì)最優(yōu)策略產(chǎn)生影響。這種概率測(cè)度不精確所導(dǎo)致的不確定性就是所謂的模型不確定性。關(guān)于模型不確定性下最優(yōu)控制問(wèn)題的研究，Maenhout[13]研究了最優(yōu)投資和消費(fèi)問(wèn)題，給出了在模型不確定性下隨機(jī)控制問(wèn)題的求解方法。Yi 等[14]研究了模型不確定下的最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題。Guan 和Liang[15]假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)由無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)、債券、通脹保值債券和股票組成，研究了保險(xiǎn)公司最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資策略。Deng 等[16]研究了廣義均值方差保費(fèi)原則下保險(xiǎn)公司的魯棒最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題。

本文提出一種新的最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資模型，在該優(yōu)化模型中同時(shí)考慮了模型的不確定性和保險(xiǎn)公司的時(shí)滯效應(yīng)。此外，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率是隨機(jī)收益率模型。在終端時(shí)刻期望效用最大為優(yōu)化準(zhǔn)則下，本文利用隨機(jī)控制理論，通過(guò)求解相應(yīng)的HJB 方程，得到了最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資策略和相應(yīng)值函數(shù)的顯式表達(dá)式。同時(shí)，本文給出了驗(yàn)證定理。最后，通過(guò)數(shù)值分析，討論了模型主要參數(shù)對(duì)最優(yōu)策略的影響，數(shù)值分析也驗(yàn)證了本文所提模型和所獲結(jié)果是有效的。

本文其余安排如下：第1 部分?jǐn)⑹瞿Ｐ秃图僭O(shè)條件；第2 部分為本文的主要結(jié)論；第3 部分討論模型中主要參數(shù)對(duì)最優(yōu)策略的影響；第4 部分是本文的總結(jié)。

1 模型和假定

假設(shè)(?,F,P)是一個(gè)完備的概率空間，{W(1)(t),W(2)(t),W(3)(t)}是定義在其上的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)={Ft}t∈[0,T]是由{W(1)(t),W(2)(t),W(3)(t)}產(chǎn)生的σ-代數(shù)流，T ＞0 為終端時(shí)刻。假定金融市場(chǎng)中的交易可持續(xù)進(jìn)行，所有資產(chǎn)可以無(wú)限分割，且保險(xiǎn)人在t時(shí)刻做出的任何決策都基于Ft。

假設(shè)保險(xiǎn)公司盈余過(guò)程為M(t)，滿足

其中m ＞0 為保費(fèi)率，h0＞0 為索賠率，σ0＞0 為索賠過(guò)程的波動(dòng)率。假設(shè)保險(xiǎn)公司通過(guò)購(gòu)買(mǎi)比例再保險(xiǎn)來(lái)轉(zhuǎn)移部分索賠風(fēng)險(xiǎn)，記q(t)∈[0,1]為自留比例。根據(jù)廣義均值–方差保費(fèi)原理[6]，支付給再保險(xiǎn)公司的保費(fèi)為

其中Λ ＞0,Λ0＞0 為再保險(xiǎn)公司的安全載荷系數(shù)。令η= (m ?h0)/σ20為保險(xiǎn)公司的安全載荷系數(shù)，滿足基本條件0≤η ≤Λ。由q(t)∈[0,1]及q(t)滿足的凈利潤(rùn)條件

得到

記

此時(shí)，保險(xiǎn)公司盈余過(guò)程可表示為

保險(xiǎn)公司可以將盈余投資于由一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成的金融市場(chǎng)。設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格S0(t)表示為

其中r ＞0 為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格S(t)服從

其中k1＞0 為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)預(yù)期收益率a(t)為均值回復(fù)O-U 過(guò)程，

其中k ＞0,βa ＞0, ˉa ＞0 為常數(shù)。設(shè)W(1)(t)和W(2)(t)之間相互獨(dú)立，W(2)(t)和W(3)(t)之間的相關(guān)系數(shù)為ρ。

記X(t)為保險(xiǎn)公司在t時(shí)刻的財(cái)富，Y(t)和Z(t)分別代表過(guò)去時(shí)間[t ?h,t]的歷史綜合業(yè)績(jī)和歷史逐點(diǎn)業(yè)績(jī)，即

其中δ ≥0,h ＞0 為常數(shù)。假設(shè)g(t,X(t)?Y(t),X(t)?Z(t))為資金流入或流出，其中X(t)?Z(t)表示過(guò)去時(shí)間[t ?h,t]上的絕對(duì)收益或損失，X(t)?Y(t)表示過(guò)去時(shí)間[t ?h,t]上的平均收益或損失的均值。這種與歷史財(cái)富相關(guān)的瞬時(shí)資金流入或流出可能出現(xiàn)在以下情況。當(dāng)X(t)＞Z(t),X(t)＞Y(t)時(shí)，保險(xiǎn)公司歷史業(yè)績(jī)良好，可能將部分收益作為股息發(fā)給股東。這是資金流出的情況，即g ＞0。相反，當(dāng)X(t)＜Z(t),X(t)＜Y(t)時(shí)，保險(xiǎn)公司歷史業(yè)績(jī)不佳，可能需要通過(guò)注資，來(lái)彌補(bǔ)過(guò)去的損失，以實(shí)現(xiàn)最終的業(yè)績(jī)目標(biāo)。這相當(dāng)于資金的流入，即g ＜0。設(shè)保險(xiǎn)公司初始財(cái)富為x0，A(t)為投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的金額，令Xπ(t)為再保險(xiǎn)–投資策略π(t) :={(A(t),q(t)) :t ∈[0,T]}下的財(cái)富過(guò)程，則帶有時(shí)滯的保險(xiǎn)公司財(cái)富過(guò)程Xπ(t)可以描述為

對(duì)于任意的t ∈[?h,0],Xπ(t) =x0＞0，即保險(xiǎn)公司在[?h,0]期間未進(jìn)行投資和保險(xiǎn)業(yè)務(wù)。歷史綜合業(yè)績(jī)的初始值為Y π(0)=x0(1?eδh)/δ。

假設(shè)瞬時(shí)財(cái)富流入或流出函數(shù)為線性的，即

其中B ＞0,C ＞0 為常數(shù)。

有關(guān)最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題的研究，大多數(shù)基于一個(gè)假設(shè)：即假設(shè)概率空間上的概率測(cè)度是已知的。然而，該概率空間上單一的概率測(cè)度往往不能精確地反應(yīng)市場(chǎng)中的真實(shí)情形。本文考慮模型的不確定性，將傳統(tǒng)問(wèn)題中的概率測(cè)度稱為參考測(cè)度，并通過(guò)測(cè)度變換的方法引入一系列與參考測(cè)度等價(jià)的測(cè)度，進(jìn)而求解穩(wěn)健的最優(yōu)策略。定義等價(jià)測(cè)度Q的集合

定義1 對(duì)于任意的t ∈[0,T]，策略π(t) :={(A(t),q(t)) :t ∈[0,T]}稱為可接受的，如果它是Ft-循序可測(cè)的，且滿足：

(i)q(t)∈[ˉq,1]；

其中U(·)表示效用函數(shù)，Et,x,y,a[·]是給定Xπ(t) =x,Y π(t) =y,a(t) =a的條件期望，Q?是最穩(wěn)健的等價(jià)測(cè)度。

記Π為所有可接受策略的集合。

則V(t)是概率測(cè)度P下的鞅。由Girsanov 定理，概率測(cè)度Q下的布朗運(yùn)動(dòng)為

此時(shí)，模糊厭惡型保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程為

其中?i為模型厭惡系數(shù)，描述決策者對(duì)模型準(zhǔn)確性的不確定程度。關(guān)于相對(duì)熵和魯棒控制問(wèn)題可參考文獻(xiàn)[13–15]。

2 最優(yōu)控制問(wèn)題求解

一般帶有時(shí)滯的最優(yōu)控制問(wèn)題是無(wú)限維的，為了使問(wèn)題是有限維且可解的，假設(shè)

本文以終端時(shí)刻的期望效用最大化為優(yōu)化準(zhǔn)則，同時(shí)，采用的效用函數(shù)為指數(shù)效用。由于定義的值函數(shù)與效用函數(shù)有關(guān)，因此值函數(shù)的具體形式應(yīng)與效用函數(shù)有關(guān)，即值函數(shù)的具體形式應(yīng)為指數(shù)函數(shù)。此外，本文參考文獻(xiàn)[4]的研究及方程中a(t)與x、y的關(guān)系，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)預(yù)期收益率a(t)在值函數(shù)中為如下形式。為證明所求解的方程就是值函數(shù)，本文將通過(guò)驗(yàn)證定理(即定理2)提供理論支持。求解值函數(shù)的形式為

根據(jù)一階條件，可得

根據(jù)(13)式和(14)式，解得

根據(jù)(12)式，有β=Ceδh,B ?βδ= (r ?B ?C+β)β。將A?(t)、q?1(t)和(13)式代入HJB 方程(14)，整理可得

由x+βy/= 0，有x+βy前系數(shù)為0，即lt+l(r ?B ?C+β) = 0。根據(jù)終端條件l(T)=1，解得

進(jìn)一步，考慮方程如下形式的解

其中邊界條件為G(a,T)=0。對(duì)G(a,t)求各階偏導(dǎo)數(shù)，有

令

有

將Gt、Ga和Gaa代入(18)式，整理得

由a2/=0，且K(T)=0，解得

其中

由a/=0，且J(T)=0，解得

其中

由L(T)=0，解得

令

由于λ、n、?1均非負(fù)，q?1(t)隨時(shí)間t單調(diào)遞增。根據(jù)凈利潤(rùn)條件，保險(xiǎn)公司自留水平q?(t)∈[ˉq,1]，其中

因此，再保險(xiǎn)策略q?(t)可以分為三種情況：

其中l(wèi)(t)、f、K(t)、J(t)和L1(t)分別由(16)式、(17)式、(19)～(21)式給出。

由L(ˉt)邊界條件確定。

定理1 對(duì)于魯棒控制問(wèn)題(10)，滿足財(cái)富過(guò)程(8)式和(9)式的最優(yōu)投資策略為

其中t ∈[0,T]。

相應(yīng)的值函數(shù)為(23)式。

則定理1 中給定的H(t,x,y,a)是值函數(shù)，π?(t) ={A?(t),q?(t)}是魯棒最優(yōu)策略，最穩(wěn)健的等價(jià)測(cè)度如下

定理2 的證明，可參考文獻(xiàn)[17–19]。

3 敏感性分析

3.1 再保險(xiǎn)策略分析

圖1 分析了時(shí)滯參數(shù)δ對(duì)再保險(xiǎn)策略q?(t)的影響。隨時(shí)滯參數(shù)δ增加，再保險(xiǎn)策略q?(t)減少。當(dāng)δ增加，保險(xiǎn)公司會(huì)購(gòu)買(mǎi)更多的再保險(xiǎn)，減小自留的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)。由于歷史綜合業(yè)績(jī)Y(t)和資本流入或流出函數(shù)g(t,Xπ(t)?Y π(t),Xπ(t)?Zπ(t))的定義，當(dāng)參數(shù)δ增加，資本流出增加。因此，保險(xiǎn)公司減少自留比例。圖2 分析了時(shí)滯參數(shù)h對(duì)再保險(xiǎn)策略q?(t)的影響，再保險(xiǎn)策略q?(t)隨時(shí)滯參數(shù)h增加而減少。當(dāng)h增加，保險(xiǎn)公司將減少自留份額。保險(xiǎn)公司考慮更長(zhǎng)時(shí)間的歷史業(yè)績(jī)，會(huì)增加歷史業(yè)績(jī)對(duì)終端財(cái)富的影響程度。因此，保險(xiǎn)公司將更加謹(jǐn)慎，購(gòu)買(mǎi)更多的再保險(xiǎn)以減少自留風(fēng)險(xiǎn)。圖3 分析了時(shí)滯參數(shù)β對(duì)再保險(xiǎn)策略q?(t)的影響。時(shí)滯參數(shù)β越大，再保險(xiǎn)策略q?(t)越小。當(dāng)β增加，保險(xiǎn)公司將采用更為保守的再保險(xiǎn)策略，購(gòu)買(mǎi)更多的再保險(xiǎn)。當(dāng)β增加，歷史綜合業(yè)績(jī)Y(t)會(huì)對(duì)終端財(cái)富效用產(chǎn)生更大影響。所以保險(xiǎn)公司為降低風(fēng)險(xiǎn)，減少自留比例。

圖1 時(shí)滯參數(shù)δ 對(duì)再保險(xiǎn)策略q?(t)的影響

圖2 時(shí)滯參數(shù)h 對(duì)再保險(xiǎn)策略q?(t)的影響

圖3 時(shí)滯參數(shù)β 對(duì)再保險(xiǎn)策略q?(t)的影響

圖4 分析了參數(shù)?1對(duì)再保險(xiǎn)策略q?(t)的影響。隨參數(shù)?1增加，再保險(xiǎn)策略q?(t)減少。當(dāng)?1增加，保險(xiǎn)公司將減少自留風(fēng)險(xiǎn)。由于模糊厭惡程度增加，保險(xiǎn)公司將不愿意承擔(dān)較大的索賠風(fēng)險(xiǎn)。圖5 分析了市場(chǎng)參數(shù)r對(duì)再保險(xiǎn)策略q?(t)的影響，再保險(xiǎn)策略q?(t)隨市場(chǎng)參數(shù)r的增加而減小。利率越大保險(xiǎn)公司自留比例越小，利率增加保險(xiǎn)公司將更愿意把風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移給再保險(xiǎn)公司，從而獲得更多收益。圖6 分析了時(shí)滯效應(yīng)和魯棒因素對(duì)再保險(xiǎn)策略q?(t)的影響?？紤]時(shí)滯效應(yīng)和魯棒因素后再保險(xiǎn)策略q?(t)減少，保險(xiǎn)人會(huì)采取更為穩(wěn)健的再保險(xiǎn)策略，只愿意保留較小風(fēng)險(xiǎn)。這也充分說(shuō)明時(shí)滯效應(yīng)可以增加保險(xiǎn)公司財(cái)富的穩(wěn)定性，魯棒可以降低模型不確定性帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。

圖4 參數(shù)?1 對(duì)再保險(xiǎn)策略q?(t)的影響

圖5 市場(chǎng)參數(shù)r 對(duì)再保險(xiǎn)策略q?(t)的影響

圖6 時(shí)滯和魯棒對(duì)再保險(xiǎn)策略q?(t)的影響

3.2 投資策略分析

圖7 分析了時(shí)滯參數(shù)δ對(duì)投資策略A?(t)的影響，投資策略A?(t)隨δ增加而減少。當(dāng)δ增加，保險(xiǎn)公司將減少風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資。由于δ增加，保險(xiǎn)公司資本的流入或流出增加。保險(xiǎn)公司為使財(cái)富更為穩(wěn)定，從而減少風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資。圖8 分析了時(shí)滯參數(shù)h對(duì)投資策略A?(t)的影響。時(shí)滯參數(shù)h越大，投資策略A?(t)越小?？紤]歷史財(cái)富時(shí)間的增加，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資將減少?？紤]更長(zhǎng)時(shí)間的歷史業(yè)績(jī)，會(huì)增加資本流入或流出對(duì)終端財(cái)富的影響。因此，保險(xiǎn)公司將持有更少的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。圖9 分析了時(shí)滯參數(shù)β對(duì)投資策略A?(t)的影響。隨β增加，投資策略A?(t)減少。時(shí)滯參數(shù)β越大，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資越少。β增加會(huì)增加歷史業(yè)績(jī)對(duì)終端財(cái)富的影響，然而保險(xiǎn)公司希望減少風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)波動(dòng)帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。因此，減少風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資。

圖7 時(shí)滯參數(shù)δ 對(duì)投資策略A?(t)的影響

圖8 時(shí)滯參數(shù)h 對(duì)投資策略A?(t)的影響

圖9 時(shí)滯參數(shù)β 對(duì)投資策略A?(t)的影響

圖10 和圖11 分析了參數(shù)?2和?3對(duì)投資策略A?(t)的影響。參數(shù)?2和?3越大，投資策略A?(t)越少。當(dāng)?2和?3增加，保險(xiǎn)公司將減少風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資。保險(xiǎn)人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)模型的不確定程度更大，從而不愿意承擔(dān)較大的金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，并且參數(shù)?2對(duì)投資策略有較大的影響，而參數(shù)?3對(duì)投資策略的影響較小。圖12 分析了時(shí)滯效應(yīng)和魯棒因素對(duì)投資策略A?(t)的影響，時(shí)滯效應(yīng)和魯棒因素導(dǎo)致投資策略A?(t)減少?？紤]時(shí)滯效應(yīng)和魯棒因素后，保險(xiǎn)公司將減少金融市場(chǎng)帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)，使模糊厭惡性保險(xiǎn)公司的財(cái)富更具穩(wěn)健性、確定性。

圖10 參數(shù)?2 對(duì)投資策略A?(t)的影響

圖11 魯棒參數(shù)?3 對(duì)投資策略A?(t)的影響

圖12 時(shí)滯和魯棒對(duì)投資策略A?(t)的影響

圖13 分析了利率r對(duì)投資策略A?(t)的影響，投資策略A?(t)隨利率r增加而減少。當(dāng)利率r增加，保險(xiǎn)公司將減少風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資。很直觀，利率增加無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)可以獲得更多的收益，從而減少風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資。圖14 分析了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)模型中的波動(dòng)率k1對(duì)投資策略A?(t)的影響。波動(dòng)率k1越大，投資策略A?(t)越少。當(dāng)k1增加，保險(xiǎn)公司將采用更保守的投資策略。波動(dòng)率越大表示金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)越大，從而減少的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資。

圖13 市場(chǎng)參數(shù)r 對(duì)投資策略A?(t)的影響

圖14 市場(chǎng)參數(shù)k1 對(duì)投資策略A?(t)的影響

4 結(jié)論

本文考慮了帶有時(shí)滯效應(yīng)的保險(xiǎn)公司魯棒最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題。保險(xiǎn)公司購(gòu)買(mǎi)比例再保險(xiǎn)來(lái)轉(zhuǎn)移部分索賠風(fēng)險(xiǎn)，并且投資于由一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成的金融市場(chǎng)。其中，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)預(yù)期收益率服從均值回復(fù)O-U 過(guò)程，描述金融市場(chǎng)的預(yù)期收益發(fā)生偏差帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，以終端財(cái)富的指數(shù)效用期望最大為優(yōu)化準(zhǔn)則，得到了最優(yōu)再保險(xiǎn)–投資策略和相對(duì)應(yīng)值函數(shù)的顯式表達(dá)式，并且給出驗(yàn)證定理。最后，通過(guò)數(shù)值分析說(shuō)明模型中主要參數(shù)對(duì)最優(yōu)策略的影響。

本文發(fā)現(xiàn)再保險(xiǎn)策略不僅依賴于保險(xiǎn)市場(chǎng)的參數(shù)，還依賴于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的參數(shù)，然而風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的參數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)預(yù)期收益率的參數(shù)對(duì)再保險(xiǎn)策略沒(méi)有影響；投資策略依賴于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的參數(shù)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的參數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)預(yù)期收益率的參數(shù)，然而保險(xiǎn)市場(chǎng)的參數(shù)對(duì)投資策略沒(méi)有影響?？紤]時(shí)滯效應(yīng)和魯棒因素會(huì)對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)–投資策略產(chǎn)生較大的影響，考慮時(shí)滯效應(yīng)可以增加保險(xiǎn)公司財(cái)富的穩(wěn)定，考慮模型不確定性能有效降低概率測(cè)度不精確帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。這些結(jié)論為保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)控制和資產(chǎn)分配提供理論依據(jù)。