韓 江, 李大柱, 田曉青, 夏 鏈

(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

非圓齒輪在傳遞非線性運(yùn)動方面具有獨特的優(yōu)勢,在機(jī)構(gòu)和機(jī)器的設(shè)計開發(fā)中得到愈來愈多的關(guān)注。當(dāng)前廣大學(xué)者較多的關(guān)注非圓齒輪的設(shè)計問題,在節(jié)曲線開發(fā)、齒廓計算、輪系設(shè)計和衍生機(jī)構(gòu)創(chuàng)新方面開展了大量的研究[1-2],并在汽車、自動化設(shè)備、農(nóng)機(jī)、連鑄設(shè)備、流體泵、機(jī)器人等領(lǐng)域取得了諸多應(yīng)用推廣成果[3-4]。在設(shè)計和應(yīng)用問題得到較好解決的基礎(chǔ)上,制造問題仍是制約非圓齒輪發(fā)展的瓶頸,需研究高效率、高精度、高柔性、低成本的制造方法,以滿足精密傳動、批量制造、形狀繁多的制造需求。

滾齒展成是一種高效的制齒手段,適用于直、斜齒非圓齒輪的加工,通過多軸聯(lián)動及各軸間的變速比約束關(guān)系,實現(xiàn)對不同節(jié)曲線非圓齒輪的制造。目前學(xué)者們對非圓齒輪滾齒的研究,集中在滾切聯(lián)動模型構(gòu)建、滾切仿真檢驗和滾切運(yùn)動的實現(xiàn)。文獻(xiàn)[5]研究齒條刀具與非圓齒輪的展成運(yùn)動過程,并給出相應(yīng)的運(yùn)動方程,論證非圓齒輪的滾齒可實現(xiàn)性;文獻(xiàn)[6]推導(dǎo)非圓齒輪滾切最簡數(shù)學(xué)模型,以三軸聯(lián)動實現(xiàn)滾切加工并進(jìn)行圖形仿真;文獻(xiàn)[7]從電子齒輪箱角度研究非圓齒輪展成加工聯(lián)動控制實現(xiàn)方案,給出非圓斜齒輪滾切加工CNC聯(lián)動控制的一般原理圖;文獻(xiàn)[8-9]開展非圓齒輪連續(xù)展成插補(bǔ)的實現(xiàn)與實驗研究,采用柔性電子齒輪箱實現(xiàn)對變速比聯(lián)動關(guān)系的精確控制;文獻(xiàn)[10]研究非圓齒輪滾切加工的最優(yōu)數(shù)學(xué)模型并提出一種對角滾切實現(xiàn)方案;文獻(xiàn)[11]基于共軛斜齒條研究非圓斜齒輪的展成理論,論證非圓斜齒輪的嚙合線及齒面形式。這些研究解決了非圓齒輪滾齒實現(xiàn)的基本問題,即加工可行性、滾切運(yùn)動形式和運(yùn)動實現(xiàn)方式的問題。

非圓齒輪滾切相比于圓柱齒輪復(fù)雜程度更高,滾切過程在斷續(xù)切削的基礎(chǔ)上,同時具有在節(jié)曲線不同位置切削工況存在較大差異的特征,這導(dǎo)致非圓齒輪滾切過程的切削力波動特征更加顯著,而當(dāng)前對于非圓齒輪滾切力及滾切過程預(yù)測和改善的研究還較為匱乏。當(dāng)前在圓柱齒輪滾切力計算研究中,單位切削力系數(shù)法得到廣泛的應(yīng)用,其中基于未變形切屑幾何特征的Kienzle-Vector切削力經(jīng)驗公式是具有代表性的方法,諸多學(xué)者基于該方法開展?jié)L齒切削力的預(yù)測計算分析[12-13]。

本文對非圓齒輪滾切過程的切削力計算及其波動抑制問題開展研究,建立基于滾刀齒掃掠實體的斷續(xù)切削仿真方法及未變形切屑實體的獲取方法;重點分析非圓齒輪整周滾切過程中,峰值切削力的位置預(yù)測和計算問題。研究滾切聯(lián)動方案與切削力波動特性之間的關(guān)系以及切削力波動的抑制方法,提升切削過程的平穩(wěn)性。

1 非圓齒輪滾切原理及實現(xiàn)

非圓齒輪滾切可看作是蝸桿與非圓齒輪的嚙合傳動過程,其中蝸桿在自轉(zhuǎn)形成切削運(yùn)動的同時,還在齒輪軸線方向運(yùn)動形成全齒寬的加工。從各切削聯(lián)動軸的運(yùn)動形式考慮,非圓齒輪與圓柱齒輪的最大不同在于,刀具相對于齒坯在X軸方向具有聯(lián)動運(yùn)動。非圓齒輪滾切聯(lián)動形式如圖1所示。

圖1 非圓齒輪滾切聯(lián)動形式

非圓齒輪的滾切運(yùn)動需要B、C、X、Z軸具有聯(lián)動關(guān)系,聯(lián)動關(guān)系的控制實現(xiàn)可采用主從式柔性電子齒輪箱技術(shù),從保證各聯(lián)動軸的同步性方面考慮,應(yīng)選擇運(yùn)動控制性能最差的軸作為主動軸,當(dāng)主動軸的速度出現(xiàn)擾動時,從運(yùn)動可及時響應(yīng),保證主從運(yùn)動的同步性。因為B軸承擔(dān)主切削任務(wù),同時滾刀的切削過程具有斷續(xù)切削的特點,B軸承受的負(fù)載特性異常復(fù)雜,影響其運(yùn)動控制的準(zhǔn)確性,所以B軸應(yīng)作為電子齒輪箱設(shè)計的主動軸之一。當(dāng)B軸作為從動軸時,由于非圓齒輪的滾切特性,該軸需做跟隨變速運(yùn)動,同時承擔(dān)變負(fù)載切削特性,將導(dǎo)致該軸位置難以準(zhǔn)確控制;而電子齒輪箱的從動軸運(yùn)動擾動不影響主動軸運(yùn)動,從而破壞主從運(yùn)動的同步性要求。在滾切斜齒非圓齒輪時,Z軸運(yùn)動影響其他軸的聯(lián)動關(guān)系,通常采用勻速進(jìn)給的方式,因此B軸和Z軸應(yīng)作為電子齒輪箱的主動軸。

與圓柱齒輪滾切過程相似,滾刀在非圓齒坯端面的投影依然可以視為一等效齒條,從而將蝸桿與非圓齒輪的空間嚙合運(yùn)動等效為齒條與端截面齒輪的平面嚙合運(yùn)動,并可視為齒條中線與非圓節(jié)曲線的純滾動過程。齒坯端面的投影嚙合示意圖如圖2所示。

圖2 齒坯端面的投影嚙合示意圖

在坐標(biāo)系XOY中,滾刀投影齒條中線與非圓節(jié)曲線開展純滾動,從節(jié)曲線的A點進(jìn)行到B點,該位置對應(yīng)節(jié)曲線的極徑為r,極角為φ,極切角為μ。在不竄刀模式下,非圓齒輪滾切的基本聯(lián)動模型公式[6,14]如下:

(1)

其中:mn為法向模數(shù);β為螺旋角;T為滾刀頭數(shù);KZ為符號系數(shù),當(dāng)非圓齒輪左旋順銑或右旋銑時取1,左旋逆銑或右旋順銑時取-1;KC為符號系數(shù),右旋滾刀取1,左旋滾刀取-1。

根據(jù)式(1)可知,滾刀在齒坯軸向的進(jìn)給運(yùn)動,同時在齒坯回轉(zhuǎn)軸和滾刀移動軸方向產(chǎn)生附加運(yùn)動,特點主要是與滾切圓柱齒輪時附加運(yùn)動形式的不同?；谑?1)所述滾切基本模型的加工過程中,圖2中齒條中線與非圓節(jié)曲線的切點和X軸之間的距離SY是一直變化的,這會導(dǎo)致投影齒條中線單位時間內(nèi)在非圓節(jié)曲線上滾過的弧長是變化的。

2 滾切力計算及分析方法

2.1 未變形切屑的仿真獲取

根據(jù)滾刀設(shè)計參數(shù)、工藝參數(shù)可構(gòu)建出單排切削刃的切削軌跡,當(dāng)滾刀轉(zhuǎn)動過一排齒時,下一排齒的切削軌跡可以視為上一排齒所對應(yīng)切削軌跡在滾刀軸線方向的移動。設(shè)仿真所使用的滾刀為直槽零度前角滾刀,則滾刀在容屑槽內(nèi)的軸向截形可視為一標(biāo)準(zhǔn)齒條。將單次斷續(xù)切削過程中滾刀的旋轉(zhuǎn)和軸向進(jìn)給運(yùn)動轉(zhuǎn)化為單排切削刃的空間運(yùn)動軌跡。單次斷續(xù)切削的空間軌跡示意圖如圖3所示。

圖3 單次斷續(xù)切削的空間軌跡示意圖

圖3中設(shè)滾刀運(yùn)動中的某一時刻,某排刀齒的前刀面與平面YOZ重合,當(dāng)該排刀齒旋轉(zhuǎn)過半周時,刀齒上的某點產(chǎn)生圖3所示的空間軌跡。讓滾刀軸截面齒形沿空間軌跡掃描,可得到單排刀齒斷續(xù)切削對應(yīng)空間軌跡實體,如圖4所示。

圖4 單次斷續(xù)切削對應(yīng)空間軌跡實體

滾刀對齒坯的切削,按照Z軸方向進(jìn)給位置的不同,分為切入形程、完全切入行程和切出行程,處于完全切入行程中的切削軌跡實體與齒坯仿真裝配模型如圖5所示。

圖5 切削軌跡實體與齒坯仿真裝配模型

在以齒坯回轉(zhuǎn)中心為坐標(biāo)原點構(gòu)建的笛卡爾坐標(biāo)系中,滾刀單排刀齒完成1次斷續(xù)切削,齒坯和切削軌跡實體需要進(jìn)行的步進(jìn)運(yùn)動如下:① 齒坯在C軸方向的步進(jìn)轉(zhuǎn)動;② 切削軌跡實體在滾刀軸線YB軸方向的步進(jìn)移動;③ 切削軌跡實體在Z軸方向的步進(jìn)移動;④ 切削軌跡實體在X軸方向的步進(jìn)移動。以滾刀轉(zhuǎn)過單排切削刃為步進(jìn)量,讓齒坯和切削軌跡實體逐步運(yùn)動,并在每次步進(jìn)運(yùn)動完成后,開展實體減法運(yùn)算實現(xiàn)1次切削。

上述仿真開始時齒坯為完整狀態(tài),但在實際滾切加工過程中,滾刀在Z軸方向采用逐步切入方式。為獲取滾刀全切入狀態(tài)下斷續(xù)切削所產(chǎn)生的切屑模型,本文采用2周滾切仿真方法。在第1周滾切仿真的基礎(chǔ)上,以第1周仿真所得到的齒坯模型為新的齒坯,開展第2周仿真。在上述切削仿真執(zhí)行完畢后,將某步所執(zhí)行的實體減法運(yùn)算,編輯修改為實體求交運(yùn)算,即該步切削所對應(yīng)的未變形切屑。未變形切屑幾何模型提取示意圖如圖6所示。

圖6 未變形切屑幾何模型提取示意圖

2.2 峰值切削力位置預(yù)測

由于非圓齒輪滾切過程中節(jié)曲線不同位置切削力的波動幅度大,首要問題是根據(jù)當(dāng)前的聯(lián)動切削方式,找到切削力最大的位置,分析峰值切削力。本文將未變形切屑體積與切削力數(shù)值間的正相關(guān)關(guān)系,作為分析的充分條件,原因分析如下:當(dāng)滾刀處于全切入狀態(tài)時,整體滾刀每齒所產(chǎn)生的切屑在齒輪軸線方向的長度基本相當(dāng)或小倍數(shù)關(guān)系,影響某次切削行為未變形切屑體積的因素可總結(jié)為2個方面。

1) 條件a:各刀齒所產(chǎn)生切屑各截面層平均面積的增加。

2) 條件b:參與切削的刀齒數(shù)的增加,即滾刀與齒輪重合度的增加。

其中,條件b正作用于條件a,而條件a的成立,則正作用于某次切削行為中某截面出現(xiàn)最大切削面積的概率。

當(dāng)前滾齒切削力分析廣泛采用的數(shù)學(xué)模型是Kienzle-Vector切削力經(jīng)驗公式[15],該公式將切削力與切削層面積建立的聯(lián)系如下:

(2)

其中:Fc為主切削力;S為切削層面積;Ks為比切力;Kc為單位截面對應(yīng)的切削力,該單位截面的公稱厚度和寬度均為1 mm;h為切削層厚度;u為定值系數(shù),反應(yīng)切削層厚度h對比切力Ks的影響程度。Kc和u的取值由工件材料所定,可通過實驗法獲得。由式(2)可知,某截面對應(yīng)的切削面積對該時刻的切削力起主導(dǎo)性影響,切削層厚度的影響不敏感,如式(2)中的定值系數(shù)u取0.2時,切削層厚度從0.02 mm變化到0.20 mm時,對切削力計算的影響僅1.58倍。

綜上所述,本文提出將非圓齒輪滾切過程中,將整體滾刀模型某次斷續(xù)切削所產(chǎn)生的未變形切屑體積出現(xiàn)最大值,作為該次切削中出現(xiàn)的最大滾切力為整周滾切過程峰值切削力的充分條件?；谏鲜鼋Y(jié)論,對圓柱齒輪滾切過程開展切屑體積計算仿真,仿真示意圖如圖7所示。

圖7 圓柱齒輪滾切過程仿真示意圖

提取上述仿真過程中的未變形切屑體積,體積變化呈現(xiàn)周期性波動,每個周期的變化特性接近,其中1個周期的切屑體積變化如圖8所示。

圖8 圓柱齒輪滾切1個周期的切屑體積變化

在單個滾切周期內(nèi),未變形切屑體積的變化與文獻(xiàn)[15]中所分析的切削力變化趨勢相近。體積最大值出現(xiàn)在第4次斷續(xù)切削中,最大滾切力出現(xiàn)在該次切削行為的某一時刻,滾刀回轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)切削力變化1個周期,切削力最大時刻位于該周期的1/3～1/2區(qū)間內(nèi),分析結(jié)果可證實切屑體積與切削力的正相關(guān)關(guān)系。

2.3 峰值切削力分析實例

對卵形齒輪開展整周切削仿真,卵形齒輪和滾刀的重要設(shè)計參數(shù)見表1所列。

表1 仿真模型對應(yīng)的相關(guān)參數(shù)

在滾刀對卵形齒輪的全切入狀態(tài)下,切削軌跡實體和齒坯在滾切基本聯(lián)動模型的約束下,開展2周切削仿真,對第2周仿真中每次斷續(xù)切削所產(chǎn)生的齒坯體積變化量進(jìn)行記錄。滾切基本模型對應(yīng)的切屑體積變化如圖9所示。

圖9 滾切基本模型對應(yīng)的切屑參數(shù)變化

從圖9可以看出,仿真實例中的未變形切屑體積出現(xiàn)較大幅度波動,滾切仿真從卵形齒輪的最長軸位置開始,在最長軸向最短軸過渡過程中,切屑體積出現(xiàn)逐步增加的現(xiàn)象。切屑體積的最大值出現(xiàn)在第60、180次切削行為中,2個位置恰好位于卵形齒輪的最短軸附近,即節(jié)曲線曲率半徑最大的位置。

分析結(jié)果與流量計用卵形齒輪的加工過程所出現(xiàn)的現(xiàn)象吻合,當(dāng)滾切加工進(jìn)行到短軸附近時,機(jī)床出現(xiàn)異響和較大幅度的振動。卵形齒輪短軸附近滾切實例如圖10所示。

圖10 卵形齒輪短軸附近滾切實例

3 滾切力波動的抑制

3.1 恒定弧長增量滾切聯(lián)動模型推導(dǎo)

非圓齒輪可視為盤形凸輪與齒輪的結(jié)合體,在盤形凸輪的磨削加工中,恒線速度磨削對改善凸輪外周不同位置磨削力的穩(wěn)定性,提高磨削精度具有重要作用[16-17],恒線速度磨削條件下凸輪外周單位時間內(nèi)的弧長增量恒定。本文將恒定弧長增量解決非圓形零件加工的方法應(yīng)用于非圓齒輪滾切制造,用于解決非圓齒輪滾切過程切削力波動問題。

非圓齒輪滾切過程中滾刀為勻速轉(zhuǎn)動,對比圖2關(guān)于滾切基本模型的介紹可知,要實現(xiàn)恒定弧長增量滾切需要竄刀軸參與聯(lián)動,在機(jī)床竄刀能力足夠的前提下,滾切過程中使投影齒條中線與非圓節(jié)曲線的切點始終保持在投影齒條上的同一點。

在滾切加工的不同位置,滾刀軸保持速度時變的竄刀運(yùn)動。恒定弧長增量滾切過程滾刀相對齒坯位置關(guān)系如圖11所示。

圖11 恒定弧長增量滾切過程滾刀相對齒坯位置關(guān)系

采用恒定弧長增量滾切方法,滾切從節(jié)曲線上的A點開始,點B為節(jié)曲線上的任意一點。過A點作垂直于投影齒條節(jié)線的垂線。該垂線到滾刀左右兩側(cè)的距離分別為SAL和SAR,同理得到B點對應(yīng)的SBL和SBR,存在數(shù)值關(guān)系SAL=SBL及SAR=SBR,該關(guān)系的實現(xiàn)可通過滾刀竄刀運(yùn)動對圖2所述距離SY進(jìn)行補(bǔ)償解決。

SY的計算公式如下:

(3)

式(3)中對φ求導(dǎo)得:

(4)

式(4)可理解為滾刀竄刀軸所對應(yīng)的投影齒條在Y軸方向的移動速度,將式(4)代入式(1),獲得滾刀全局跟蹤補(bǔ)償?shù)乃俦嚷?lián)動模型,公式如下:

(5)

其中,λ為滾刀安裝角。

3.2 滾切過程的切屑體積變化分析

采用基于基本滾切模型所開展的滾切仿真相同的仿真模型及工藝參數(shù),將仿真運(yùn)動數(shù)據(jù)引入恒定弧長增量聯(lián)動模型求解。仿真過程中,恒定弧長增量模型對應(yīng)的切屑體積變化如圖12所示。

圖12 恒定弧長增量模型對應(yīng)的切屑參數(shù)波動

圖12與圖9對比得出:① 對于恒定弧長增量滾切模型,在曲率半徑最大位置不再是切屑體積最大位置;② 滾切基本模型所對應(yīng)的切屑體積與曲率半徑不再保持正相關(guān)關(guān)系;③ 恒定弧長增量滾切模型所對應(yīng)切屑體積的最大和最小位置,分別位于最大曲率半徑位置兩側(cè)的基本對稱位置,并有最大切削體積位置位于靠近最大曲率半徑位置的切入側(cè),最小切屑體積位于遠(yuǎn)離最大曲率半徑位置的切出側(cè)。

在節(jié)曲線不同位置各次斷續(xù)切削所產(chǎn)生的切屑體積的不均勻度,恒定弧長增量滾切模型相比于基本滾切模型具有大幅度的改善,切屑最大與最小體積的比值由19.3倍降為6.2倍。同時,恒定弧長增量滾切模型消除了滾切基本模型在最大切屑體積位置的大幅度階躍波動現(xiàn)象,這對改善切削過程的穩(wěn)定性具有重要意義。滾切過程中切屑體積最大位置所對應(yīng)的齒坯和切削軌跡實體的模型位置如圖13所示。

圖13 未變形切屑體積最大值對應(yīng)的滾切位置

基于自主開發(fā)的非圓齒輪專用數(shù)控滾切實驗平臺[10],采用式(5)搭建柔性電子齒輪箱變速比傳動模型,開展流量計用卵形齒輪的滾切加工。恒定弧長增量滾切過程如圖14所示。

圖14 卵形齒輪的恒定弧長增量滾切過程

在滾刀相同轉(zhuǎn)速和吃刀量條件下,通過與基于式(1)所構(gòu)建的柔性電子齒輪箱加工實驗對比,式(5)所對應(yīng)的滾刀經(jīng)過短軸附近時所出現(xiàn)的機(jī)床異響和較大幅度振動問題并未出現(xiàn)。對于齒數(shù)54,模數(shù)1 mm,偏心率0.25的卵形齒輪而言,當(dāng)滾刀轉(zhuǎn)速為200 r/min條件下,滾刀經(jīng)過短軸附近10個齒槽的時間從約1 s延長為約3 s。在滾刀恒定轉(zhuǎn)速下,局部區(qū)域滾切時間的延長,表明滾切過程每次斷續(xù)切削所產(chǎn)生的切屑體積得到較大幅度降低,從而改善切削平穩(wěn)性并抑制峰值切削力。

4 滾切深度對滾切力波動的影響

合理的工藝進(jìn)給參數(shù)是加工順利、高效開展的重要保障,非圓齒輪滾切過程需要2個進(jìn)給運(yùn)動,即滾刀在齒輪周向的進(jìn)給、滾刀在齒深方向的進(jìn)給。周向進(jìn)給與滾刀轉(zhuǎn)速關(guān)聯(lián),轉(zhuǎn)速越高加工完成一周的時間越短,通常根據(jù)刀具材質(zhì)、機(jī)床特性、冷卻條件等因素,將滾刀切削線速度限制在一定范圍內(nèi)。齒深方向的進(jìn)給在加工非圓齒輪時,通常采用步進(jìn)式徑向進(jìn)給方法,在完成一次徑向進(jìn)給、整周滾切后,再進(jìn)行下一次徑向進(jìn)給加工循環(huán)。徑向進(jìn)給法滾切非圓齒輪示意圖如圖15所示。

圖15 徑向進(jìn)給法滾切非圓齒輪示意圖

采用徑向進(jìn)給法控制每次切削循環(huán)中滾刀的切深進(jìn)行逐次進(jìn)給加工,實現(xiàn)對切削工況的改善。本節(jié)對不同切深條件下,每次斷續(xù)切削所產(chǎn)生的整周未變形切屑體積開展仿真,仿真條件與圖9所對應(yīng)的全齒深仿真相同,分別開展1/4齒深、2/4齒深、3/4齒深滾切仿真,得到的切削體積變化結(jié)果如圖16所示。

圖16 不同切深對應(yīng)的切屑體積變化

通過控制進(jìn)刀深度,切屑體積峰值得到有效控制,整周切削過程中切屑體積的變化比例與切削深度的比例基本一致。切削深度的變化對切屑體積最大和最小值的比例關(guān)系影響較小。因此,通過設(shè)定較小的徑向進(jìn)刀深度、多次進(jìn)給加工的方法,可有效控制峰值切削力,使非圓齒輪整周加工過程中,各個位置的切削工況均在合理范圍內(nèi)提高切削的平穩(wěn)性。

5 結(jié) 論

1) 采用滾切聯(lián)動模型驅(qū)動滾刀切削軌跡實體與非圓齒輪齒坯實體開展布爾運(yùn)算,獲取單次斷續(xù)滾切所產(chǎn)生未變形切屑的幾何信息,分析得到非圓齒輪整周滾切過程中切削力峰值出現(xiàn)位置,與未變形切屑體積數(shù)值呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系。

2) 在滾刀竄刀軸不參與聯(lián)動的滾切基本模型約束下,卵形齒輪滾切力變化趨勢與非圓節(jié)曲線的曲率半徑保持正相關(guān)關(guān)系,切削力呈現(xiàn)大幅度波動且峰值出現(xiàn)在曲率半徑最大位置。

3) 當(dāng)采用滾刀竄刀軸參與的恒定弧長增量滾切聯(lián)動模型時,卵形齒輪滾切力不再與節(jié)曲線曲率半徑保持正相關(guān)關(guān)系,切削力波動特性得到有效抑制,峰值切削力出現(xiàn)在靠近最大曲率半徑的切入側(cè)位置。

4) 徑向進(jìn)刀滾切深度的變化不影響滾切力隨節(jié)曲線的波動態(tài)勢,但可以有效控制峰值滾切力,合理的進(jìn)刀工藝策略是提高滾切平穩(wěn)性的有效途徑。