陸青

當(dāng)下，部分教師會(huì)關(guān)注學(xué)生分析和解決問題的能力的培養(yǎng)，卻忽視了培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。一味強(qiáng)化學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力，很難讓學(xué)生達(dá)到“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”，所以，初中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)應(yīng)該關(guān)注學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的意識(shí)及能力的培養(yǎng)，而問題意識(shí)的培養(yǎng)是學(xué)生提出問題的前提。下面，筆者以“圖形的旋轉(zhuǎn)”復(fù)習(xí)課為例，談?wù)剬?duì)基于問題意識(shí)培養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐的探索。

一、設(shè)計(jì)理念

平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是幾何變換中的三種基本變換，九年級(jí)學(xué)生對(duì)此已充分了解。筆者從三個(gè)方面進(jìn)行思考，以更大程度地培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的空間觀念和推理能力。一是問題意識(shí)的引導(dǎo)。學(xué)生在面對(duì)某一學(xué)習(xí)對(duì)象的時(shí)候，如果能夠自發(fā)地產(chǎn)生問題，也就意味著引導(dǎo)成功了。所以，教學(xué)要以容易激發(fā)學(xué)生興趣的情境或問題導(dǎo)入，讓學(xué)生產(chǎn)生迫切探究的欲望，為問題意識(shí)的產(chǎn)生做足準(zhǔn)備。二是問題沖突的呈現(xiàn)。教師要在教學(xué)設(shè)計(jì)中創(chuàng)設(shè)足夠的探究空間，供學(xué)生自由思考和表達(dá)。三是問題解決的深化。問題設(shè)計(jì)要有“閉環(huán)”意識(shí)，通過開放性問題的設(shè)計(jì)，不斷分析、解決同一情境下的不同問題，或者從不同角度解決同一問題，尋找“變”中的“不變”。

二、教學(xué)片段

1. 情境引入（問題意識(shí)的引導(dǎo)）

師：如圖1所示，靜止汽車的雨刮器在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，你能找到雨刮器上的雨刷AB，繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后的雨刷A′B′的位置嗎？

生：將雨刷看成一條線段AB，點(diǎn)O看成旋轉(zhuǎn)中心（圖2），作出線段AB關(guān)于點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后所得的線段。

師：很好，這就是一個(gè)基本的旋轉(zhuǎn)作圖。哪位同學(xué)為我們演示一下作圖的步驟？

學(xué)生在黑板上演示作圖（圖3），講解作圖步驟。

師：在這個(gè)變換中，你能得到哪些結(jié)論？

生：0A=0A′，OB=OB′，AB=A′B′，∠A0A′=∠BOB′。

師：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有哪些？

生：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角相等且都等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

師：你還能得到其他結(jié)論嗎？

生：∠AOB=A′OB′。

師：旋轉(zhuǎn)是一種全等變換，它只改變了圖形的位置，所以旋轉(zhuǎn)變換會(huì)產(chǎn)生很多相等的邊、相等的角、相等的線段。

【設(shè)計(jì)意圖】通過實(shí)際問題，思考畫旋轉(zhuǎn)圖形的方法、旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)、旋轉(zhuǎn)后的結(jié)論，為后續(xù)的問題呈現(xiàn)和問題深化提供實(shí)踐基礎(chǔ)。

2. 自主探究（問題沖突的呈現(xiàn)）

師：旋轉(zhuǎn)在生活中應(yīng)用廣泛，在數(shù)學(xué)中是解決平面幾何問題的重要工具之一，其看似簡(jiǎn)單的變換可以產(chǎn)生很多復(fù)雜的問題，下面我們就從矩形的旋轉(zhuǎn)開始探究。

問題1 如圖4，在矩形ABCO中，現(xiàn)將矩形ABCO繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AB′C′O′。你能得出哪些結(jié)論？

生： AO=AO′，AB=AB′，AC=AC′，CO=C′O′， BC=B′C′。

生：∠OAO′=∠CAC′= ∠BAB′……

師：除了全等、相等的線段和相等的角，還有其他結(jié)論嗎？大家可以進(jìn)行討論交流。

生：我發(fā)現(xiàn)，△CAC′、△OAO′、△BAB′相似。

生：通過相似還可以得到比值關(guān)系，CC′[∶]OO′[∶]BB′=AC[∶]AO[∶]AB。

師：你還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：在圖形變換的過程中，有些關(guān)系、有些值是不變的。

【設(shè)計(jì)意圖】教師創(chuàng)設(shè)寬松和諧的課堂氛圍，逐步增強(qiáng)學(xué)生的自信心，給予學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生提出富有價(jià)值的問題。問題的呈現(xiàn)讓學(xué)生充分暴露自己的認(rèn)知，并更加準(zhǔn)確地描述和表達(dá)自己的認(rèn)知。當(dāng)不同的學(xué)生帶著不同的觀點(diǎn)參與課堂活動(dòng)時(shí)，在該環(huán)節(jié)，學(xué)生慢慢發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)的不變性。在這個(gè)逐步遞進(jìn)的過程中，教師應(yīng)當(dāng)充分利用好合作學(xué)習(xí)這個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在和諧的氛圍中表達(dá)自己的觀點(diǎn)。此時(shí)，問題意識(shí)的激活與深化起到了關(guān)鍵的作用。

3.變式訓(xùn)練（問題解決的深化）

問題2 如圖5，在矩形ABCO中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），現(xiàn)將矩形ABCO繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AB′C′O′。你能提出哪些問題？并嘗試解決問題。

生：可以求BB'與CC'的比值。

生：可以求OB′、OC′的范圍。

生：可以求旋轉(zhuǎn)45°后O′、B′、C′的坐標(biāo)。

生：可以求圖形面積。

……

師：大家在設(shè)計(jì)問題、解決問題的過程中，有沒有什么發(fā)現(xiàn)或想法呢？

生：解決旋轉(zhuǎn)問題的根本是抓住變中的不變性。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生提問，學(xué)生解決，學(xué)生在智慧碰撞中，發(fā)現(xiàn)解決旋轉(zhuǎn)問題的根本是抓住旋轉(zhuǎn)不變性。從發(fā)現(xiàn)、提出問題，到分析、解決問題，都由學(xué)生主導(dǎo)。隨后，教師可引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、歸納其中的思想方法，挖掘其本質(zhì)。

問題3 如圖6，在矩形ABCO中，點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，4），點(diǎn)E是線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心，把線段EA繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90[°]，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P。

（1）若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，4），求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)E從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長(zhǎng)、線段OP長(zhǎng)的最小值。

4. 總結(jié)反思

最后，教師引導(dǎo)學(xué)生從這幾個(gè)方面進(jìn)行總結(jié)：如何研究圖形的旋轉(zhuǎn)？關(guān)于圖形的旋轉(zhuǎn)主要研究哪些問題？怎樣進(jìn)行研究？研究圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)要注意采取哪些思想方法？類比圖形的選擇，在解決圖形的變換的問題時(shí)，你有哪些想法？

【設(shè)計(jì)意圖】旋轉(zhuǎn)中心由定到動(dòng)進(jìn)行變化，學(xué)生在分析過程中，發(fā)現(xiàn)解決旋轉(zhuǎn)問題的根本仍是抓住不變性，同時(shí)發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)的思想解決問題。該問題的設(shè)計(jì)促成了問題教學(xué)的“閉環(huán)”。通過問題3，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，本節(jié)課達(dá)成了預(yù)期效果。最后的總結(jié)反思幫助學(xué)生進(jìn)一步梳理、完善和強(qiáng)化所學(xué)習(xí)的知識(shí)，也對(duì)問題的解決進(jìn)行最后的深化。

三、教學(xué)反思

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須有問題，沒有問題無法學(xué)好數(shù)學(xué)。在學(xué)習(xí)過程中，打破慣性思維和惰性思維，進(jìn)行不斷質(zhì)疑產(chǎn)生的新思想才是學(xué)生真正的收獲。在此過程中，學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)也在加強(qiáng)，所以，創(chuàng)新教育實(shí)際上是以培養(yǎng)學(xué)生問題意識(shí)作為起點(diǎn)的。

本節(jié)課，筆者從日常的汽車雨刮器的轉(zhuǎn)動(dòng)情境中，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。學(xué)生在自主思考中復(fù)習(xí)了畫旋轉(zhuǎn)圖形的方法、旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)、關(guān)于旋轉(zhuǎn)的結(jié)論。通過沒有條件的旋轉(zhuǎn)能得到哪些結(jié)論？學(xué)生自由思考。每個(gè)學(xué)生都是從自身的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)理解新事物的，因此，不同學(xué)生對(duì)于同一個(gè)情境可以提出不同的問題。當(dāng)學(xué)生的思維自由發(fā)散時(shí)，他們?cè)械闹R(shí)和經(jīng)驗(yàn)與新的學(xué)習(xí)內(nèi)容之間就很容易發(fā)生“沖突”，這個(gè)“沖突”就是問題形成的基礎(chǔ)。如果讓學(xué)生產(chǎn)生興趣是問題教學(xué)開展的前提，那么讓學(xué)生自由呈現(xiàn)“沖突”和問題則是問題教學(xué)的關(guān)鍵。一題多變、 一題多解可以幫助學(xué)生呈現(xiàn)對(duì)同一問題的不同思考。學(xué)生在各種“沖突”中，通過研究，關(guān)注到旋轉(zhuǎn)的不變性，發(fā)現(xiàn)了解決旋轉(zhuǎn)問題的根本是抓住旋轉(zhuǎn)不變性，哪怕旋轉(zhuǎn)中心由定到動(dòng)變化，解決旋轉(zhuǎn)問題的根本仍是抓住不變性。通過對(duì)問題的“閉環(huán)”設(shè)計(jì)，深化對(duì)問題的思考和研究；通過對(duì)“沖突”的分析和總結(jié)，提煉解決問題的思想和方法。

本文系江蘇省南京市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“指向核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)問題教學(xué)實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：JZ/2021/058）階段性研究成果。

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校）