汪思宇,甘 婕

(1.太原科技大學(xué) 工業(yè)與系統(tǒng)工程研究所,太原 030024; 2.裝備制造業(yè)創(chuàng)新發(fā)展研究中心,太原 030024)

生產(chǎn)調(diào)度與維修計劃是制造業(yè)面臨的最常見,最重要的問題[1]。近些年,相關(guān)學(xué)者針對單設(shè)備系統(tǒng)的生產(chǎn)調(diào)度與維修的聯(lián)合決策進行研究。Liu等提出了預(yù)防性維修(Preventive Maintenance,PM)與單機調(diào)度結(jié)合的決策模型[2]。李志穎等利用改進后的差分進化算法對生產(chǎn)調(diào)度與設(shè)備PM的聯(lián)合模型進行求解[3]。甘婕等建立了單機調(diào)度與絲錐CBM的集成模型[4]。Cassady等建立了PM與單機生產(chǎn)調(diào)度的集成優(yōu)化模型,并將PM的邏輯變量作為維修決策變量[5]。Mani等針對具有退化的多故障單機制造系統(tǒng),提出了生產(chǎn)調(diào)度與維修的集成模型[6]。

在單機調(diào)度與維修聯(lián)合決策的研究過程中,大部分學(xué)者將單機生產(chǎn)系統(tǒng)作為一個研究整體而忽略了系統(tǒng)內(nèi)各個相關(guān)部件對系統(tǒng)的影響。隨著設(shè)備的復(fù)雜性的提高,多部件的研究備受關(guān)注。趙斐等研究了兩部件可修系統(tǒng)[7]。Castanier等以串聯(lián)兩部件系統(tǒng)為研究對象,建立了多控制限CBM(Condition-based Maintenance)[8]。Mustapha等針對串并聯(lián)系統(tǒng),考慮部件的多狀態(tài)退化[9]。Zhang研究了多部件串聯(lián)系統(tǒng)[10]。Minou等針對多部件CBM與備用部件聯(lián)合優(yōu)化系統(tǒng),建立了馬爾科夫決策模型[11]。以上研究僅考慮兩部件或者多部件的維修決策問題,未考慮維修決策過程對生產(chǎn)調(diào)度的影響。故本文針對此類問題,以不相同兩部件組成的單機生產(chǎn)系統(tǒng)為研究對象,提出了生產(chǎn)調(diào)度與非完美兩部件CBM的聯(lián)合策略,以調(diào)度作業(yè)加工序列,兩部件CBM的0-1邏輯變量為決策變量,建立了單機調(diào)度與不相同兩部件CBM的聯(lián)合決策。并根據(jù)系統(tǒng)運行情況,分析了兩部件在生產(chǎn)調(diào)度過程中產(chǎn)生的維修活動,推導(dǎo)出兩部件維修組合的概率密度函數(shù)及概率計算通式。最后,通過數(shù)值分析驗證了聯(lián)合優(yōu)化模型的有效性和正確性以及參數(shù)的靈敏度。

1 系統(tǒng)描述

1.1 系統(tǒng)假設(shè)

相關(guān)假設(shè)條件如下:

(1)第1項調(diào)度作業(yè)前,兩部件均處于全新狀態(tài);

(2)故障更換(Corrective Maintenance,CM)后的部件狀態(tài)恢復(fù)到全新狀態(tài);

(3)部件得劣化狀態(tài)未達到故障閾值時,進行非完美PM;

(4)正在運行加工的作業(yè)不能被另一項加工作業(yè)或維修活動中斷;

1.2 符號介紹

系統(tǒng)內(nèi)關(guān)鍵符號表示如下:

n:加工作業(yè)總數(shù)量;

m:系統(tǒng)內(nèi)部件的數(shù)量,m=1,2;

j:n項作業(yè)的編號,j=1,2,…,n;

i:調(diào)度序列中,作業(yè)的加工次序,i=1,2,…,n;

xij:生產(chǎn)調(diào)度的決策變量;

pj:作業(yè)j的加工時間,j=1,2,…,n;

wj:作業(yè)j的權(quán)值,j=1,2,…,n;

p[i]:在調(diào)度序列中,第i項作業(yè)的加工時間;

w[i]:在調(diào)度序列中,第i項作業(yè)的權(quán)值;

E(C[i]):第i項調(diào)度作業(yè)的期望完成時間。

2 模型建立

2.1 聯(lián)合策略

假設(shè)有n項待加工的作業(yè),第i項調(diào)度作業(yè)加工前分別對兩部件進行檢測,并判斷兩部件的劣化狀態(tài)從而對部件安排CM,非完美PM或繼續(xù)運行。具體的聯(lián)合策略如下:

2.2 聯(lián)合模型

單機調(diào)度的決策變量為:

(1)

針對不相同兩部件的生產(chǎn)系統(tǒng),建立生產(chǎn)調(diào)度與兩部件CBM的聯(lián)合決策模型為:

(2)

s.t.

xij=0,1;i=1,2,…,n;j=1,2,…,n

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

式(2)表示為調(diào)度作業(yè)的總加權(quán)期望完成時間。其中,前i項作業(yè)的期望完成時間為E(C[i]).E(C[i])包含前i項作業(yè)的加工時間和系統(tǒng)中兩部件的維修時間。

(9)

式(9)中各項表示具體如下:

p[k]表示為第k項調(diào)度作業(yè)加工時間;

式(3)-(5)為生產(chǎn)調(diào)度的約束條件,即每個作業(yè)只能分配到調(diào)度序列中的一個位置上加工,每個位置只能加工一項調(diào)度作業(yè);式(6)表示為調(diào)度序列中,第i項作業(yè)的加工時間;式(7)表示為調(diào)度序列中,第i項作業(yè)的權(quán)值;式(8)表示為不同兩部件的維修決策約束。

3 聯(lián)合決策下的維修概率

(10)

兩個部件均進行CM的概率為:

(11)

兩個部件均進行PM的概率為:

(12)

若兩部件中,任意一個部件m進行CM,另外一個部件進行PM的概率分別為:

(13)

(14)

若兩部件中,任意一個部件m進行CM,另外一個不安排維修的概率分別為:

(15)

(16)

若兩部件中,任意一個部件m進行PM,另外一個不安排維修的概率分別為:

(17)

(18)

3.1 概率密度函數(shù)推導(dǎo)

(19)

(20)

(21)

根據(jù)以上聯(lián)合策略的兩種情況,可以將第1項調(diào)度作業(yè)完成時系統(tǒng)內(nèi)所有可能出現(xiàn)的概率密度函數(shù)分別整理表示如下:

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

4 數(shù)值分析

4.1 有效性分析

對比由2.1節(jié)所提出的單機生產(chǎn)調(diào)度與不相同兩部件CBM的聯(lián)合決策和前人研究的單機調(diào)度與CBM獨立決策進行對比。

單機調(diào)度獨立決策,按加權(quán)最短加工時間優(yōu)化(weighted shortest processing time first,WSPT)規(guī)則求得單機調(diào)度獨立決策問題中的最優(yōu)解,通過此規(guī)則得到的最優(yōu)調(diào)度序列插入到維修活動中。具體參數(shù)如表1所示。

表1 調(diào)度作業(yè)加工時間與權(quán)值

獨立決策的優(yōu)化結(jié)果與聯(lián)合決策的優(yōu)化結(jié)果如下表2所示,對比獨立決策和聯(lián)合決策的優(yōu)化結(jié)果。

表2 兩種決策的優(yōu)化對比結(jié)果

從表2中可以看出,兩種策略優(yōu)化后的調(diào)度序列以及各部件維修序列不相同。

聯(lián)合決策下的總停機次數(shù)比獨立決策的總停機次數(shù)減少了4次,故障次數(shù)減少了2次。

聯(lián)合決策下的優(yōu)化目標值比獨立決策下的優(yōu)化目標值相對較少了70.190 6.

因此,采用基于0-1規(guī)劃的單機調(diào)度與CBM的策略可以降低優(yōu)化目標結(jié)果,減少調(diào)度過程中的總停機次數(shù),降低了故障次數(shù)。

為了說明聯(lián)合決策在不同作業(yè)規(guī)模下仍比獨立決策具有優(yōu)勢,故隨機產(chǎn)生30項、60項、100項作業(yè)加工時間和對應(yīng)的權(quán)值,具體優(yōu)化結(jié)果如下表3所示。

表3 不同加工規(guī)模下兩種聯(lián)合決策優(yōu)化結(jié)果

30項調(diào)度作業(yè)時,聯(lián)合決策的優(yōu)化目標值降低了129.633 1.

50項調(diào)度作業(yè)時,聯(lián)合決策的優(yōu)化目標值降低了452.589 6.

100項調(diào)度作業(yè)時,聯(lián)合決策的優(yōu)化目標值降低了625.645.

結(jié)果表明,在相同規(guī)模的作業(yè)下,采用聯(lián)合決策的優(yōu)化目標值比獨立決策的優(yōu)化目標值均有降低,并隨著加工作業(yè)規(guī)模的增大,最優(yōu)目標值下降越明顯。

4.2 靈敏度分析

由于設(shè)備的劣化狀態(tài)服從Gamma分布,設(shè)備的劣化速度與參數(shù)α相關(guān),因此其他參數(shù)不變的情況下,分別改變α的大小對數(shù)值實驗進行分析。

表4中,保持部件2的參數(shù)α2=4.5不變,改變部件1的參數(shù)α1,隨著α1的增大,優(yōu)化后的調(diào)度序列發(fā)生變化,不相同兩部件的維修序列也發(fā)生變化?？偼C次數(shù)和故障次數(shù)隨著α1的增大而增多。優(yōu)化目標值從159.306 9增加到323.892 4.

表4 α2=4.5時,α1對優(yōu)化結(jié)果的影響

表5中,保持部件1的參數(shù)α1=3.5不變,改變部件2的參數(shù)α2,隨著α2的增大,優(yōu)化后的調(diào)度序列發(fā)生變化,不相同兩部件的維修序列也發(fā)生一定變化?？偼C次數(shù)和故障次數(shù)隨著α2的增大而增多。優(yōu)化目標值從214.373 4增加到317.044 8.

表5 α1=3.5時,α2對優(yōu)化結(jié)果的影響

優(yōu)化目標值隨著α的增大而增大,α越大,部件劣化速度越快,優(yōu)化目標值越大。