楊 雪，呂 博

（天津大學(xué)，天津 300350）

0 引言

拓?fù)浣^緣體[1]存在無(wú)能隙的表面態(tài)，其表面態(tài)是自旋非簡(jiǎn)并的。典型例子是量子自旋霍爾絕緣體（QSHI）[2?4]，其是一個(gè)表現(xiàn)出量子自旋霍爾效應(yīng)的二維系統(tǒng)。QSHI 的邊緣態(tài)形成“螺旋態(tài)”，因?yàn)槠溲刂贿吘墶⑾喾吹淖孕聪騻鞑?。在HgTe/CdTe[5]和InAs/GaSb[6]等量子阱結(jié)構(gòu)的輸運(yùn)測(cè)量中，揭示了這些螺旋邊緣態(tài)的特征，使QSHI 成為一個(gè)很有前途的研究拓?fù)涑瑢?dǎo)體平臺(tái)。傳統(tǒng)的超導(dǎo)體連接到這種邊緣態(tài)可以通過(guò)近鄰效應(yīng)[7]誘導(dǎo)出拓?fù)涑瑢?dǎo)性，并且拓?fù)涑瑢?dǎo)體在與拓?fù)淦接箙^(qū)域的界面處能產(chǎn)生馬約拉納束縛態(tài)（MBSs）。正如傅亮和C.Kane 提出在拓?fù)浣^緣體表面態(tài)上耦合常規(guī)超導(dǎo)體可以實(shí)現(xiàn)拓?fù)涑瑢?dǎo)[8]，在該系統(tǒng)中出現(xiàn)了MBSs。

MBSs 的一個(gè)顯著特征是分?jǐn)?shù)約瑟夫森效應(yīng)[9]。在傳統(tǒng)的約瑟夫森結(jié)中，超電流在電流?相位關(guān)系中是2π周期的[10]。實(shí)驗(yàn)方面，在HgTe/超導(dǎo)體雜化物中觀(guān)察到缺失的奇數(shù)Shapiro 臺(tái)階。相比之下，兩個(gè)超導(dǎo)體之間的MBSs 可以產(chǎn)生4π 周期的超電流和受到拓?fù)浔Ｗo(hù)的4π 周期的Andreev 束縛態(tài)[11?12]。這種效應(yīng)在平衡約瑟夫遜實(shí)驗(yàn)中很難觀(guān)察到，因?yàn)槌谠C(jī)制普遍存在，2π 周期性通常會(huì)被恢復(fù)。兩個(gè)拓?fù)涑瑢?dǎo)體之間的電壓偏置約瑟夫森結(jié)可以表現(xiàn)出異常的電流?電壓特性，這正是MBSs 的表現(xiàn)。在傳統(tǒng)的約瑟夫森結(jié)中，施加偏置電壓，會(huì)在電壓Vn=2Δ/(en)處產(chǎn)生一系列共振電導(dǎo)峰[13?14]，其中n為整數(shù)，Δ為超導(dǎo)能隙。這是由于多重Andreev反射（MAR）[15?17]引起的亞諧隙結(jié)構(gòu)（SGS）[18?19]。對(duì)于拓?fù)涑瑢?dǎo)體，由于馬約拉納束縛態(tài)的出現(xiàn)，在能隙中間為準(zhǔn)粒子的輸運(yùn)提供了新的通道，因此共振電導(dǎo)峰出現(xiàn)在Vn=Δ/(en)處。

在這項(xiàng)工作中，研究了在QSHI 邊緣處的約瑟夫森結(jié)中MAR 的輸運(yùn)性質(zhì)，沿量子自旋霍爾邊緣的S 波超導(dǎo)體/正常金屬/S 波超導(dǎo)體結(jié)的示意圖如圖1 所示。

圖1 S 波超導(dǎo)體/正常金屬/S 波超導(dǎo)體結(jié)的示意圖

圖1 底部為每個(gè)區(qū)域的能譜，虛線(xiàn)表示無(wú)磁場(chǎng)的狄拉克型能帶，μ是從狄拉克點(diǎn)測(cè)量到的化學(xué)勢(shì)。在平面外磁場(chǎng)B中，能譜中一個(gè)2mz的磁隙打開(kāi)。

在超導(dǎo)體一側(cè)，考慮到近鄰誘導(dǎo)的S 波超導(dǎo)能隙，通過(guò)接近鐵磁絕緣體或施加平面外磁場(chǎng)可以得到與螺旋態(tài)的交換場(chǎng)耦合。前人對(duì)于MAR 的研究主要集中在分離的鐵磁[20]和超導(dǎo)區(qū)域之間有疇壁，本文假設(shè)磁場(chǎng)強(qiáng)度延伸到整個(gè)系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)了不尋常的SGS，這與Badiane、Houzet 和Meyer[21]的工作相一致。值得注意的是，本文系統(tǒng)中的SGS 可以很容易地通過(guò)磁場(chǎng)強(qiáng)度調(diào)整。這一結(jié)果與拓?fù)渎菪龖B(tài)中超導(dǎo)和鐵磁序之間的相互作用相對(duì)應(yīng)。

1 模型與計(jì)算

為了清楚地表示QSHI 的邊緣上的一個(gè)SNS 結(jié)，標(biāo)記左側(cè)超導(dǎo)體所在區(qū)域?yàn)镾1，右側(cè)超導(dǎo)體所在區(qū)域?yàn)镾2。均勻磁場(chǎng)下，沿量子自旋霍爾邊緣的超導(dǎo)體（S1）?正常金屬（N）?超導(dǎo)體（S2）約瑟夫森結(jié)的示意圖如圖2 所示。圖中坐標(biāo)原點(diǎn)為超導(dǎo)體S1和N 的交界處，磁場(chǎng)沿z方向。

圖2 約瑟夫森結(jié)的示意圖

圖2 中，約瑟夫森結(jié)中正常金屬區(qū)N 區(qū)的寬度為L(zhǎng)，假設(shè)其比超導(dǎo)相干長(zhǎng)度ξ以及超導(dǎo)體中的彈性和非彈性散射長(zhǎng)度要小得多。在基矢中，系統(tǒng)的BdG 哈密頓量為：

式中：U=μ(Θ(-x)+Θ(x-L))代表?yè)诫s程度，μ為化學(xué)勢(shì)；是自旋（Numbu）空間中的泡利矩陣；交換場(chǎng)M在磁場(chǎng)中是均勻的；對(duì)勢(shì)Δ由Δ=Δ0(Θ(-x)+Θ(x-L))給出，假設(shè)Δ0?Mz。設(shè)置?=1，得到系統(tǒng)的BdG 方程為：

利用BdG 方程和BTK 理論，可求得超導(dǎo)體中電子型粒子的波函數(shù)和空穴型粒子的波函數(shù)分別為：

準(zhǔn)經(jīng)典近似下，Ze1≈Ze2，準(zhǔn)粒子波函數(shù)Ψe1、Ψe2、Ψh1、Ψh2化簡(jiǎn)為：

因此，當(dāng)電子型準(zhǔn)粒子垂直入射時(shí)，在S1/N/S2結(jié)構(gòu)中，S1區(qū)的波函數(shù)為：

在正常金屬區(qū)，波函數(shù)為：

超導(dǎo)體S2區(qū)的波函數(shù)：

在勢(shì)壘x=0 和x=L處利用波函數(shù)連續(xù)性條件，同時(shí)利用散射矩陣：

連接不同區(qū)域的準(zhǔn)粒子波函數(shù)，可以得到：

得到散射系數(shù)An、Bn的遞推關(guān)系：

根據(jù)電流守恒定律得到了平均電流：

式中：

本文只關(guān)注直流部分，即k=0 時(shí)的電流，它在實(shí)驗(yàn)中與長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的平均電流為：

2 結(jié)果分析

計(jì)算約瑟夫森結(jié)中的電流和電導(dǎo)，其隨電壓變化的趨勢(shì)如圖3所示。

圖3 電流和電導(dǎo)隨電壓eV 變化的關(guān)系曲線(xiàn)

S/N/S 結(jié)在均勻磁場(chǎng)下，根據(jù)式（21），透明度D分別取0.3、0.5 和0.7，費(fèi)米溫度為0.2Δ，Δ=0.01，化學(xué)勢(shì)μ=0.1，磁場(chǎng)強(qiáng)度Mz分別取Mz=0.2μ和Mz=0.5μ，得到了超導(dǎo)體結(jié)在均勻磁場(chǎng)下的電流、電導(dǎo)隨電壓eV之間的關(guān)系。

可以觀(guān)察到SGS中，其特征是電流在電壓為Δ/n（n為整數(shù)）時(shí)會(huì)發(fā)生明顯躍變，在Δ/n處出現(xiàn)了零偏壓電導(dǎo)峰，并且隨著透射率D增大，電流躍變程度減弱。在電導(dǎo)圖中可以很明顯地看到這一現(xiàn)象：當(dāng)D=0.3 時(shí)，位于同一電壓處的電導(dǎo)峰是最尖銳的；隨著D的增大，如D=0.5、D=0.7，電導(dǎo)峰逐漸平緩。

進(jìn)一步，固定透明度D=0.5，通過(guò)調(diào)節(jié)磁場(chǎng)強(qiáng)度Mz與化學(xué)勢(shì)μ的比值(r=Mz/μ)來(lái)改變磁場(chǎng)強(qiáng)度Mz，其他參數(shù)不變，研究電流與電壓的關(guān)系，如圖4 所示。圖4 為S/N/S 結(jié)在均勻磁場(chǎng)下，固定透明度D=0.5，費(fèi)米溫度為0.2Δ，Δ=0.01，化學(xué)勢(shì)μ=0.1，r分別為0.2、0.5 和0.8時(shí)的電流特性。為了更明顯地看到不同情況下的電流特性，在圖中進(jìn)行了人為平移，正如圖中的r=0.5 曲線(xiàn)和r=0.8曲線(xiàn)分別人為地增加了1個(gè)單位和2個(gè)單位。

圖4 電流與電壓的關(guān)系

結(jié)果表明，當(dāng)透明度D不變，磁場(chǎng)強(qiáng)度Mz發(fā)生變化時(shí)，仍然出現(xiàn)亞諧隙結(jié)構(gòu)，而且亞諧隙結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的位置隨磁場(chǎng)的變化而變化，這說(shuō)明亞諧隙結(jié)構(gòu)受磁場(chǎng)的調(diào)控，為今后在磁場(chǎng)中研究隧道結(jié)提供了新的思路。

3 結(jié)語(yǔ)

本文研究了基于量子自旋霍爾絕緣體邊緣的約瑟夫森結(jié)中的輸運(yùn)性質(zhì)，分析了電流?電壓關(guān)系。結(jié)果表明：在該系統(tǒng)中，S 波超導(dǎo)體/正常金屬/S 波超導(dǎo)體結(jié)的隧道譜中存在亞諧隙結(jié)構(gòu)，透明度只影響超導(dǎo)結(jié)的零偏壓電導(dǎo)值的大小，并不會(huì)影響亞諧隙結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的位置。但是在磁場(chǎng)的作用下，亞諧隙結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，不再固定地出現(xiàn)在Δ/n處，這是因?yàn)橥負(fù)渎菪龖B(tài)中超導(dǎo)和鐵磁序之間的相互作用，因此磁場(chǎng)是形成馬約拉納束縛態(tài)的必要條件。