屈建龍, 周震寰, 徐新生

(大連理工大學 工程力學系 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析優(yōu)化與CAE軟件全國重點實驗室,大連 116024)

1 引 言

隨著納米機電系統(tǒng)在航空航天、醫(yī)學和機械電子等領(lǐng)域的廣泛應用,對納米結(jié)構(gòu)的可靠性和安全性更加重視。納米板作為納米機電系統(tǒng)的基本構(gòu)件,其出現(xiàn)裂紋或損傷會直接影響系統(tǒng)的工作狀態(tài),甚至破壞[1-3]。因此,對含裂紋或損傷納米板動力學特性的深入研究是必要的[4]。由于尺寸效應,經(jīng)典的連續(xù)介質(zhì)力學理論不再適用納米結(jié)構(gòu)的相關(guān)問題[5,6]。為此,Eringen[7]提出了一種適合納米級結(jié)構(gòu)的非局部彈性理論,如納米板的彎曲問題和振動問題等[8]。非局部彈性理論假設某點的應變狀態(tài)不僅與該點的應力有關(guān),而且與域內(nèi)的應力都相關(guān)。相比于經(jīng)典的連續(xù)介質(zhì)力學理論,非局部彈性理論考慮了分子間的作用力對物體內(nèi)某一點應變狀態(tài)的影響。在納米尺度下,分子間的范德華力是不可忽略的,因而在分析含裂紋納米板的問題中,非局部彈性理論具有一定的優(yōu)勢。研究含裂紋納米板的問題時,多采用修正的偶應力理論[9]和應變梯度理論[10],并以彈簧模型[11]擬合裂紋域內(nèi)近場應力狀態(tài)[12],從而建立含裂紋納米板的控制方程。進一步得到含裂紋納米板的固有頻率和固有振型[13],結(jié)果表明,裂紋效應會導致固有頻率降低。然而,這些方法僅適用于幾種特殊的邊界條件,因而有一定的局限性。因此,采用非局部彈性理論研究含裂紋納米板的振動問題是一種嘗試。

鐘萬勰院士[14]以某一空間坐標模擬虛擬的時間,并利用守恒性,開創(chuàng)了彈性力學問題求解新體系,從而形成一整套獨特的求解系統(tǒng)。在該哈密頓體系下,將問題歸結(jié)為辛本征值和本征解問題。由于辛本征解之間滿足辛共軛正交關(guān)系,因此存在辛本征解展開定理,從而形成一種有效的方法[15-21]。本文將非局部彈性理論與哈密頓體系方法相結(jié)合,提出一種研究含裂紋納米板振動問題的思路。

2 基本問題

圖1 含裂紋納米板

(1-ξ22)σij=Cijklεkl

(i,j=1,2,3)

(1)

根據(jù)非局部本構(gòu)關(guān)系,可以將非局部彎矩用位移表示為

(2)

(3)

式中ξMx和ξNx為裂紋特征系數(shù)[23]。含裂紋納米板振動的控制方程[22]為

(4)

利用關(guān)系式(2),用位移表示的控制方程(4)為

(5)

式中D1=D+ξ2N1

D2=D(1-ξMx)+ξ2N2(1+ξNx)

D12=D(2-υξMx)+ξ2N2(1+ξNx)+ξ2N1

K0=ρhω,K1=N1-ξ2K0

K2=N2(1+ξNx)-ξ2K0。

3 導入哈密頓體系

(6)

(7)

(8)

(9)

式中H為哈密頓算子矩陣

(10)

4 辛本征值和本征解

采用分離變量方法,設Ψ(x,y)=Ψμ(y)eμx,其中μ為辛本征值,Ψμ為對應的辛本征解向量。將其代入方程(9)可得

μΨμ=HΨμ

(11)

求解式(11),可得特征方程

D2λ4+(D12μ2-K2)λ2+D1μ4-K1μ2-K0=0

(12)

記方程的四個根為λ=λk(k=1,2,3,4),其中λ2=-λ1,λ4=-λ3。方程(12)同時也給出頻率ω與辛本征值μ和特征根λ的關(guān)系。根據(jù)特征根,辛本征解可表示為

(13)

w=0,My=0

(14)

將辛本征解式(13)代入式(14),且利用非零解條件,可得

sinh(2λ1b)sinh(2λ3b)=0

(15)

(n=1,2,…)

(16)

式中λ1和λ3的關(guān)系可由方程(12)確定。由式(15)可知,待定系數(shù)A1k(k=1,2,3,4)存在相互關(guān)系。事實上,由式(12,16)可建立頻率ω與辛本征值μ的關(guān)系。

5 含裂紋納米板的固有頻率

以四邊簡支的納米板為例。滿足y=±b簡支側(cè)邊條件的特征方程(12)可表示為

D1μ4-[D12(nπ/2b)2+K1]μ2+D2(nπ/2b)4+K2(nπ/2b)2-ρhω2=0

(n=1,2,…)

(17)

式(17)給出辛本征值與固有頻率的直接關(guān)系。記滿足方程(17)的四個根為±μ1和±μ2。此時辛本征解(13)可表示為

(18)

該解也稱之為固有頻率對應的固有振型。將解(18)代入x=±a簡支條件,即w=0和Mx=0。同理存在非零解的條件為

sinh(2μ1a)sinh(2μ2a)=0

(19)

得μ1=imπ/2a或μ2=imπ/2a。對比式(17,19)的根,可得出固有頻率表達式

D12(nmπ2/4ab)2+N1(mπ/2a)2+N2γ(nπ/2b)2]

(n,m=1,2,…)

(20)

式中κnm=1/[1+ξ2(mπ/2a)2+ξ2(nπ/2b)2]和γ=1+ξNx。應該指出,其他的邊界條件也可得到對應的固有頻率表達式?？梢哉f,含裂紋納米板的固有頻率不僅與材料常數(shù)、非局部參數(shù)和裂紋特征有關(guān),而且與邊界條件和面內(nèi)載荷有關(guān)。

6 辛本征解間的辛共軛正交關(guān)系

(21)

經(jīng)過對辛本征解的辛正交歸一化并重新排序,存在辛共軛正交關(guān)系,即

(22)

在以上辛本征解的討論中,僅考慮了齊次方程和齊次邊界條件問題。對于一般問題,可將非齊次邊界條件轉(zhuǎn)化為齊次邊界條件問題,對應的方程增加一非齊次項。這樣,辛本征解線性疊加解可作為齊次方程通解,即

(23)

式中Anm和Bnm(n,m=1,2,…)為待定系數(shù)。該解加上一個特解,并滿足邊界條件即可得到問題的解。

7 數(shù)值結(jié)果分析

表1 含裂紋板的第一階固有頻率對比

表2 非局部參數(shù)和裂紋長度對振動基頻影響

圖2 裂紋長度和非局部參數(shù)對納米板振動基頻的影響

圖3 非局部參數(shù)對各階頻率的影響

圖4 納米板長寬比對基頻的影響

圖5 面內(nèi)荷載對基頻的影響

圖6 x方向面內(nèi)力與基頻的關(guān)系

圖7 y方向面內(nèi)力與基頻的關(guān)系

(n,m=1,2,…)

(24)

(nπ)2[ξMx(nπ)2+υξMx(mπ)2]}

8 結(jié) 論

借助于非局部彈性理論建立含裂紋納米板振動問題的哈密頓體系可將固有頻率和振型問題歸結(jié)為廣義辛本征值和辛本征解問題。由辛共軛正交關(guān)系,問題的解可表示為辛本征解級數(shù)的形式。結(jié)果表明,含裂紋納米板的固有頻率隨著裂紋長度的增加而降低。隨著非局部尺度參數(shù)增大,固有頻率減小。作用在納米板面內(nèi)的拉力會使得納米板的固有頻率增加,而面內(nèi)的壓力則會降低納米板的固有頻率。因而,通過調(diào)整面內(nèi)兩個方向的拉力(壓力)比例關(guān)系,可在一定范圍內(nèi)控制固有頻率的數(shù)值。研究結(jié)果可為工程應用及相關(guān)設計提供依據(jù)。