蔡志勤, 曹彬彬, 彭海軍,2

(1.大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系,大連 116024;2.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析優(yōu)化與CAE軟件全國重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,大連 116024)

1 引 言

近年來,由于航天任務(wù)的逐漸復(fù)雜化,航天器結(jié)構(gòu)逐漸向大型化和柔性化方向發(fā)展。空間可展桁架結(jié)構(gòu)伸展臂具有展開剛度高和展收比高等優(yōu)點(diǎn)[1],經(jīng)常用作航天器工作平臺的支撐結(jié)構(gòu)。但是在空間環(huán)境中,伸展臂會受到空間溫度變化和太陽光壓等外界因素的影響,另外在進(jìn)行位姿變化和太空作業(yè)等主動工作過程時(shí),都很容易導(dǎo)致伸展臂發(fā)生振動[2],在阻尼較低的空間環(huán)境中,結(jié)構(gòu)振動能量衰減速度很慢,如果不加以控制,可能會對整個(gè)系統(tǒng)造成不利影響。

針對伸展臂的結(jié)構(gòu)振動問題,學(xué)者們提出的振動抑制方案主要分為被動控制和主動控制。被動控制主要通過提升結(jié)構(gòu)自身的阻尼來加速振動衰減。Moshrefi-Torbati等[3]用遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)出一種具有隔振特點(diǎn)的伸展臂。但是遺傳算法在計(jì)算最優(yōu)構(gòu)型過程中計(jì)算成本很高,Wei等[4]提出混合并行遺傳算法,顯著降低計(jì)算成本的同時(shí)進(jìn)一步提高求解質(zhì)量。但是被動控制無法在復(fù)雜多變的環(huán)境干擾下實(shí)現(xiàn)靈活的控制,而且振動抑制效率偏低。

主動控制是利用傳感器得到的實(shí)時(shí)反饋信號對被控對象主動施加控制力的控制方法,可以實(shí)現(xiàn)高效率的、具有針對性的振動抑制。隨著智能材料的不斷涌出,由具有良好的形狀固定和回復(fù)性能的形狀記憶合金和碳纖維復(fù)合材料制作出的復(fù)合材料鉸鏈,可以減輕展開過程中帶來的振動[5]。Lan等[6]制備出環(huán)氧基形狀記憶聚合物以及復(fù)合材料,并基于此制備出復(fù)合材料鉸鏈,此鉸鏈能在回復(fù)率接近100%的前提下有效降低結(jié)構(gòu)的振動效應(yīng)。壓電陶瓷材料由于具有良好的承載能力也用于振動控制,可以將壓電陶瓷貼片粘貼在伸展臂上充當(dāng)傳感器來檢測結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng),也可以將壓電陶瓷材料制作壓電桿集成到伸展臂中充當(dāng)作動器來實(shí)現(xiàn)主動振動控制[7-9]。目前,壓電作動器廣泛用于控制空間結(jié)構(gòu)的振動,但其在大型結(jié)構(gòu)中的放置和布線都比較復(fù)雜。

為了對上述情況進(jìn)行改進(jìn),Lu等[10]通過PSO算法選擇出18根伸展臂上用來減小鉸鏈間隙的拉繩充當(dāng)作動器,和壓電材料充當(dāng)作動器相比,這個(gè)方法不會增加結(jié)構(gòu)的復(fù)雜度。但是由于充當(dāng)作動器的拉繩并不是串聯(lián)在一起的,所以需要在結(jié)構(gòu)的18個(gè)鉸鏈處安裝用來收放拉繩的電機(jī),這種設(shè)計(jì)會增加伸展臂的質(zhì)量。而且這些拉繩均在伸展臂每一段中的連接鉸和連接鉸之間,這也會限制優(yōu)化算法的搜索空間。

本文采用拉繩作為作動器,但并非利用的用來減小鉸鏈間隙的張力繩。這樣就解除了只能在連接鉸和連接鉸之間連接的限制,而且充當(dāng)作動器的拉繩還可以串聯(lián)在一起,進(jìn)而驅(qū)動作動繩的電機(jī)在數(shù)量上可以減少的同時(shí),也可以將電機(jī)的安裝位置轉(zhuǎn)移到基座上,進(jìn)一步降低結(jié)構(gòu)的復(fù)雜度。本文伸展臂的每一面分別有一個(gè)作動繩,通過遺傳算法尋找出每一個(gè)作動繩在當(dāng)前面的鉸鏈中的最佳串聯(lián)順序。在數(shù)值仿真中,通過模型預(yù)測控制方法對伸展臂進(jìn)行振動控制。

2 系統(tǒng)動力學(xué)模型

本文研究三棱柱式桁架結(jié)構(gòu)伸展臂[11],每段由豎梁、橫梁、張力繩以及驅(qū)動鉸和連接鉸組成,如圖1所示。在大多數(shù)空間結(jié)構(gòu)中,為了避免結(jié)構(gòu)的低頻振動,都會安裝張力繩來提高結(jié)構(gòu)的剛度。當(dāng)這些結(jié)構(gòu)發(fā)生變形時(shí),結(jié)構(gòu)中的拉繩會隨著變形產(chǎn)生拉力。但是從圖1可以看出,張力繩均是在連接鉸之間,而且每段之間相互獨(dú)立。如果將張力繩充當(dāng)作動器,除了無法利用驅(qū)動鉸外,也需要根據(jù)優(yōu)化結(jié)果在連接鉸安裝電機(jī),影響伸展的質(zhì)量以及穩(wěn)定性。

對于本文研究的伸展臂,產(chǎn)生極大幅度的非線性振動需要相當(dāng)極端的條件,所以大部分振動仍處于線性范圍內(nèi)。換言之,線性振動的主動控制更具有實(shí)際意義?；谶@些因素,在進(jìn)行振動控制分析時(shí),將伸展臂視為線性系統(tǒng)。值得注意的是,雖然可以在線彈性范圍內(nèi)考慮結(jié)構(gòu)振動,但這種振動仍然會嚴(yán)重影響伸展臂的正常工作。因此,發(fā)展一種合適的振動控制方法是必要的。

圖1 伸展臂

基于有限元法建立的結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程為

(1)

式中M,C和K分別為整體質(zhì)量陣、阻尼陣和剛度陣。Fu為作動器的控制力,H為作動器分布矩陣,Fe為干擾外力向量。

模態(tài)分析是分析結(jié)構(gòu)動力性能最成熟的線性分析技術(shù),主要是將結(jié)構(gòu)系統(tǒng)從物理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為模態(tài)坐標(biāo),使得方程解耦,從建立的有限元模型中可以獲得結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)信息。模型的前p階模態(tài)振型和模態(tài)坐標(biāo)可以表示為

x=Φq

(2)

式中Φ為前p階振型組成的矩陣,q為對應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo),將式(2)代入式(1),并且統(tǒng)一左乘ΦT,則動力學(xué)方程可以寫為

(3)

再將模態(tài)空間的動力學(xué)方程(3)改寫為狀態(tài)空間的形式為

(4)

(5,6)

3 作動器位置優(yōu)化及控制率設(shè)計(jì)

首先通過遺傳算法計(jì)算出三根作動繩上鉸鏈的最優(yōu)串聯(lián)順序。以此為基礎(chǔ),再通過模型預(yù)測控制方法對三根作動繩上的拉力進(jìn)行控制,抑制伸展臂的振動。

3.1 作動器位置優(yōu)化

基于系統(tǒng)可控性的優(yōu)化準(zhǔn)則和遺傳算法,對作動繩上鉸鏈的串聯(lián)順序進(jìn)行優(yōu)化分析。根據(jù)文獻(xiàn)[10,12],系統(tǒng)的可控性Gramian矩陣可以表示為

(7)

且滿足Lyapunov方程

AWc+WcAT+BBT=0

(8)

文獻(xiàn)[13]定義了優(yōu)化準(zhǔn)則

(9)

本文采用遺傳算法尋找出每一個(gè)作動器串聯(lián)的鉸鏈數(shù)量以及最優(yōu)串聯(lián)順序。從圖2可以看出,伸展臂每一面有18個(gè)鉸鏈,按圖2所示的順序依次對伸展臂的所有面的鉸鏈進(jìn)行編號。作動器1所連鉸鏈的編號范圍為1～18,作動器2所連鉸鏈的編號范圍為19～36,作動器3所連鉸鏈的編號范圍為37～54。定義一個(gè)向量v1×54,其中1～18元素表示作動器1的連接順序,元素取值范圍(1,18),19～36元素表示作動器2的連接順序,元素取值范圍為(19,36),37～54元素表示作動器3的連接順序,元素取值范圍為(37～54)。由于作動器無法在同一個(gè)鉸鏈連續(xù)串聯(lián)兩次,所以在算法迭代過程中每次對v中連續(xù)相同的元素進(jìn)行合并。

圖2 作動繩上鉸鏈串聯(lián)

在遺傳算法中考慮上述條件作為約束條件。綜上所述,該優(yōu)化問題的表達(dá)式為

(10)

3.2 控制率的設(shè)計(jì)

一般來說,桁架結(jié)構(gòu)伸展臂,在展開過程中張力繩處于松弛狀態(tài),以確保結(jié)構(gòu)的順利展開。在展開完成后,對拉繩進(jìn)行張緊,以提高結(jié)構(gòu)的剛度,減少低頻振動的發(fā)生。對于本文的伸展臂,結(jié)構(gòu)中布置的作動繩是影響結(jié)構(gòu)振動的主要因素,在控制律的設(shè)計(jì)中必須考慮拉繩的特點(diǎn),即單邊約束和飽和特性。綜上所述,本文做出以下假設(shè)[10]。

(1) 作動繩的控制力大小范圍,u∈[0,umax]。

(2) 在施加主動控制力之前,所有拉繩的張力均為零。

(3) 振動引起的變形比結(jié)構(gòu)本身的尺寸小很多。

在模型預(yù)測控制器的設(shè)計(jì)過程中,通常會根據(jù)受控對象的特點(diǎn)建立一個(gè)模型,用于預(yù)測受控對象未來的變化趨勢,并基于這個(gè)模型來制定相應(yīng)的控制策略[15]。同時(shí),模型預(yù)測控制器具備反饋校正的能力,能夠確保控制器在不同工況下都能表現(xiàn)出良好的穩(wěn)定性和魯棒性。模型預(yù)測控制方法還能夠方便地引入對控制輸入的約束,以滿足系統(tǒng)的操作限制。所以,本文主要采用模型預(yù)測控制方法調(diào)節(jié)3個(gè)作動繩的控制力。

首先,對系統(tǒng)狀態(tài)方程(4)進(jìn)行離散化,可寫為

x(k+1)=As(k)x(k)+Bs(k)u(k)

y(k)=Cs(k)x(k)

(11)

式中 采樣周期為ts,k為第k個(gè)采樣周期,As,Bs和Cs分別為由連續(xù)狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換為離散狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣。

為了求解預(yù)測控制問題,在狀態(tài)空間表達(dá)式中必須計(jì)算被控變量的預(yù)測值。其可由當(dāng)前狀態(tài)的最佳估計(jì)值以及假設(shè)的未來輸入計(jì)算。假設(shè)當(dāng)前時(shí)刻為第k個(gè)采樣周期,根據(jù)式(9)可以預(yù)測未來l個(gè)時(shí)間步的狀態(tài)值為

(12)

式中 式(12)的項(xiàng)分別為

(13,14)

(15)

(16)

(17)

在滿足約束條件下,模型預(yù)測控制器找到控制輸入的最優(yōu)序列,使得目標(biāo)函數(shù)J最小化,即

(18)

式中umax為由3個(gè)作動繩拉力最大值組成的列向量,J為系統(tǒng)性能指標(biāo),可以表示為

(19)

式中rk為期望軌跡,在本文則為所有節(jié)點(diǎn)的位移,所以rk=0;Q和R為控制權(quán)矩陣。結(jié)合式(12),目標(biāo)函數(shù)J可以寫為

(20)

模型預(yù)測控制問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題中的二次規(guī)劃優(yōu)化問題,利用二次規(guī)劃方法求解可以得到最優(yōu)解。

4 數(shù)值仿真

以一個(gè)由4個(gè)單元組成的伸展臂為例進(jìn)行數(shù)值仿真。研究對象如圖2所示,假設(shè)該伸展臂的左端固定,右端自由,考慮到伸展臂在工作中的負(fù)載情況,在有限元建模過程中,伸展臂右端A,B,C,D,E和F節(jié)點(diǎn)上分別添加質(zhì)量為20kg的質(zhì)量塊。表1列舉了該結(jié)構(gòu)的幾何尺寸和材料特性。采用ANSYS對結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模,伸展臂中所有長梁均劃分為10個(gè)空間梁單元(BEAM188),模型的前6階模態(tài)頻率列入表2。

表1 結(jié)構(gòu)幾何尺寸及材料參數(shù)

表2 伸展臂前6階固有頻率

基于上述信息,對作動繩在鉸鏈上的串聯(lián)順序進(jìn)行優(yōu)化分析。遺傳算法中種群染色體數(shù)為1000,交叉和變異概率分別為0.8和0.1。最大迭代次數(shù)設(shè)為1000,算法迭代到300步,最大適應(yīng)度值達(dá)到穩(wěn)定。最終優(yōu)化結(jié)果列入表3,連接效果如圖3所示。

表3 作動繩上鉸鏈串聯(lián)順序優(yōu)化結(jié)果

圖3 作動繩上鉸鏈的最佳串聯(lián)順序

在伸展臂右端節(jié)點(diǎn)A(圖2)上施加100N沿y軸的力(Fy),以產(chǎn)生伸展臂的初始變形。t=0時(shí),移除外力作用。模型預(yù)測控制器中采樣周期為0.1 s,預(yù)測步長為100,控制步長為5,對模型的前4階模態(tài)進(jìn)行控制。

在umax=1時(shí),進(jìn)行仿真計(jì)算。圖4(a)表示在伸展臂有無控制的情況下,節(jié)點(diǎn)A在y方向位移的對比結(jié)果。這些結(jié)果表明,在施加控制力后,由振動引起的節(jié)點(diǎn)A的位移在10 s內(nèi)控制在1×10-3m左右。與沒有主動控制的曲線相比,振動衰減時(shí)間大大縮短。在初始變形狀態(tài)下,所有節(jié)點(diǎn)y方向位移向量的均方根為0.0134 m,在應(yīng)用主動控制10 s后這些節(jié)點(diǎn)的均方根降低到6.4×10-4m,這個(gè)結(jié)構(gòu)幾乎恢復(fù)了平穩(wěn)。控制力-時(shí)間曲線如圖4(b)所示,清楚地表明有源電纜上的所有控制力都滿足預(yù)設(shè)的0≤u≤umax范圍。輸出控制力可以滿足單邊約束和飽和約束。

為了應(yīng)對不同工況,將施加在節(jié)點(diǎn)A上的力Fy增加到200 N。圖5(a)展示了有無控制的情況下,節(jié)點(diǎn)A在y方向的位移對比結(jié)果。在施加控制力后,節(jié)點(diǎn)A的位移在10 s內(nèi)降低到2.2×10-3m左右。在初始變形狀態(tài)下,所有節(jié)點(diǎn)y方向位移的均方根為0.027 m,在應(yīng)用主動控制10 s后這些節(jié)點(diǎn)的均方根降低到1.3×10-3m。而且作動繩的控制力仍然保持在設(shè)置的范圍內(nèi)(圖5(b))?？梢钥闯?提出的作動繩串聯(lián)的方法可以在不同初始條件下,有效控制伸展臂的振動。

圖4 Fy=100 N時(shí)的仿真結(jié)果

圖5 Fy=200 N時(shí)的仿真結(jié)果

5 結(jié) 論

為了解決以拉繩作為作動器的伸展臂的振動控制問題,提出了拉繩串聯(lián)伸展臂部分鉸鏈的方式,將需要控制的電機(jī)從文獻(xiàn)中的18個(gè)降低到3個(gè),而且驅(qū)動拉繩的電機(jī)的安裝位置也從鉸鏈上移動到基座上,進(jìn)一步降低伸展臂的復(fù)雜度和提高伸展臂的穩(wěn)定性。在數(shù)值模擬中,首先,建立了由4個(gè)單元組成的伸展臂結(jié)構(gòu)模型,然后通過遺傳算法尋找出3個(gè)作動繩上鉸鏈的最優(yōu)串聯(lián)順序,結(jié)合優(yōu)化結(jié)果對具有初始彎扭變形條件下的伸展臂的振動控制進(jìn)行數(shù)值模擬,驗(yàn)證了提出的作動繩布置方式以及控制率可以有效地抑制結(jié)構(gòu)的振動,同時(shí)滿足控制力的單邊約束和飽和約束,可以保證伸展臂迅速恢復(fù)到滿足精度要求的狀態(tài),這對伸展臂的正常工作具有重要意義。