于 丹

? 遼寧省大連經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)第八高級(jí)中學(xué)

平面解析幾何眾多元素的交匯與融合問(wèn)題,契合新高考考查的基本特征,是新高考命題的一大熱土,創(chuàng)新點(diǎn)多,交匯性強(qiáng),在注重?cái)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法和基本能力的基礎(chǔ)上,展示數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值,合理調(diào)控綜合程度,考查考生各方面的基本素質(zhì),具有較強(qiáng)的選拔性與區(qū)分度,備受各方關(guān)注.

1 真題呈現(xiàn)

此題以橢圓為問(wèn)題場(chǎng)景,結(jié)合定斜率的含參直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),通過(guò)這兩個(gè)交點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)所構(gòu)成的兩個(gè)不同三角形的面積之比來(lái)確定參數(shù)值.

實(shí)際解題時(shí),可以從解析幾何本質(zhì)入手,利用解析幾何法來(lái)分析與運(yùn)算;也可以從平面幾何直觀入手,利用平面幾何法來(lái)分析與數(shù)形結(jié)合;而定比分點(diǎn)公式法是一個(gè)課外拓展與提升的機(jī)會(huì).

2 真題破解

方法1：解析幾何法.

4x2+6mx+3m2-3=0.

由于直線y=x+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),則判別式Δ=36m2-16(3m2-3)>0,解得-2

故選擇答案:C.

解后反思：根據(jù)解析幾何中直線與橢圓的位置關(guān)系,聯(lián)立方程,通過(guò)消參轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的方程問(wèn)題,合理確定參數(shù)的取值范圍,為問(wèn)題的進(jìn)一步求解限定條件.而同底的兩個(gè)三角形面積的比值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)到同底所在直線的距離的比值問(wèn)題,借助點(diǎn)到直線的距離公式加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

方法2：平面幾何法.

設(shè)直線y=x+m交x軸于點(diǎn)M,則M(-m,0).

圖1

解后反思：根據(jù)平面幾何圖形的直觀性質(zhì),同底的兩個(gè)三角形的面積的比值問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)線段的比例問(wèn)題,結(jié)合坐標(biāo)軸上的線段的長(zhǎng)度計(jì)算公式來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.借助平面幾何圖形的幾何性質(zhì)與結(jié)構(gòu)特征加以數(shù)形結(jié)合,處理問(wèn)題更加直觀簡(jiǎn)捷,減少數(shù)學(xué)運(yùn)算,優(yōu)化解題過(guò)程.

方法3：定比分點(diǎn)公式法.

而△F1AB的面積是△F2AB的面積的2倍,且兩三角形同底,可知點(diǎn)M分線段F1F2的比為2.

解后反思：借助同底的兩個(gè)三角形面積的比值,轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)線段的比例關(guān)系問(wèn)題,在x軸上借助定比分點(diǎn)公式來(lái)分析與求解.定比分點(diǎn)公式是平面向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算的一個(gè)深入與拓展,在現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中并沒(méi)有涉及,只是作為一個(gè)課外知識(shí)加以補(bǔ)充與拓展,供學(xué)有余力的同學(xué)參考.

3 變式拓展

3.1 一般性拓展

基于高考真題,可以由一類定斜率的直線拓展到一般直線,也可以將兩個(gè)三角形的面積之比拓展為其他倍數(shù)關(guān)系,合理變式應(yīng)用.

(答案:C.)

3.2 規(guī)律性拓展

基于高考真題與變式1,抓住滿足條件的一般性直線的共同特征——過(guò)定點(diǎn),合理變式應(yīng)用.

以上變式1～3的解析過(guò)程,可以直接參考原高考真題的解析,這里不多加以展開(kāi)與敘述.

3.3 結(jié)論性拓展

將問(wèn)題進(jìn)一步深化,化具體的橢圓問(wèn)題為一般性的橢圓問(wèn)題,可以得到更具一般性的結(jié)論,合理歸納總結(jié).

結(jié)論1與結(jié)論2的證明,大體思維過(guò)程與原高考真題類似,留給有興趣的讀者獨(dú)立完成.這里要注意的是,在雙曲線問(wèn)題中,直線l恒過(guò)的x軸上的定點(diǎn)可以在兩焦點(diǎn)之間,也可以在兩焦點(diǎn)外側(cè)(具體位置與λ的取值有關(guān)).

4 教學(xué)啟示

4.1 掌握“通性通法”,守住知識(shí)“底線”

解析幾何思維與方法是解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題最常用的思維方法,也是破解此類問(wèn)題的“通性通法”之一.其基本思路是聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,結(jié)合函數(shù)與方程思想,借助韋達(dá)定理以及相應(yīng)的公式等來(lái)構(gòu)建對(duì)應(yīng)的關(guān)系式,進(jìn)而合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

解析幾何思維與方法是破解此類問(wèn)題的常規(guī)思維,是該模塊知識(shí)的“底線”,但數(shù)學(xué)運(yùn)算量往往比較大,因此要認(rèn)真仔細(xì).掌握相應(yīng)題型與常見(jiàn)的技巧方法,也是解題經(jīng)驗(yàn)的積累與知識(shí)的鞏固.

4.2 開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)思維,變式拓展提升

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題,要充分挖掘條件的內(nèi)涵與本質(zhì),深入理解題意條件與所求,從題設(shè)條件與所求結(jié)論等不同層面合理整合,從不同思維視角“一題多變”與拓展,發(fā)散數(shù)學(xué)思維,達(dá)到“一題多得”,真正達(dá)到融會(huì)貫通,從數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思維等層面融合,形成數(shù)學(xué)知識(shí)體系,轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)能力,得以創(chuàng)新拓展.