徐 玥

? 江蘇省南京田家炳高級(jí)中學(xué)

立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,是創(chuàng)新情境背景下的一類特殊問(wèn)題,主要通過(guò)空間動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化,結(jié)合一些特殊條件的限制,進(jìn)而研究與之相關(guān)的空間幾何體的一些最值或取值范圍問(wèn)題.其中空間幾何體的外接球問(wèn)題,是此類問(wèn)題中的一類熱點(diǎn)與難點(diǎn)問(wèn)題.解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是合理審題,借助一些“動(dòng)”與“不動(dòng)”的要素,認(rèn)真分析動(dòng)點(diǎn)變化特點(diǎn),尋找靜態(tài)因素與動(dòng)態(tài)因素之間的關(guān)系,從靜態(tài)因素中尋找解決問(wèn)題的突破口,以“靜”制“動(dòng)”,以“靜”帶“動(dòng)”,“動(dòng)”中尋“靜”,“動(dòng)”“靜”結(jié)合,巧妙處理.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

圖1

問(wèn)題〔2023年浙江省杭州高級(jí)中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷(5月份)〕如圖1,在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),則三棱錐M-AB1C的外接球的半徑最小值為( ).

此題以正方體為背景,結(jié)合“定底面變頂點(diǎn)”的三棱錐M-AB1C的創(chuàng)設(shè),以“動(dòng)”態(tài)形式給出場(chǎng)景,通過(guò)對(duì)應(yīng)三棱錐M-AB1C的外接球半徑的“變化”來(lái)確定其最小值問(wèn)題.問(wèn)題動(dòng)靜結(jié)合,解題時(shí),可以從兩個(gè)視角切入:

(1)幾何法,這是解決此類問(wèn)題的常規(guī)思路,首先找到外接球的球心,然后建立與外接球半徑有關(guān)的方程,解方程即可;

(2)代數(shù)法,對(duì)大部分學(xué)生而言,解決空間立體幾何問(wèn)題的通法仍然是建立空間直角坐標(biāo)系,找出與半徑有關(guān)的數(shù)量關(guān)系,建立目標(biāo)函數(shù),求得最值即可.

2 問(wèn)題破解

2.1 幾何思維

方法1：幾何法.

圖2

解析：如圖2,在正方體中易得BD1⊥平面AB1C,且BD1過(guò)正三角形AB1C的外心O1,同時(shí)O1是線段BD1的三等分點(diǎn),則三棱錐M-AB1C的外接球的球心O在線段BD1上.

又M是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),則當(dāng)三棱錐M-AB1C的外接球的半徑最小時(shí)有OM⊥DD1,此時(shí)外接球的半徑r=OM.

設(shè)D1M=t,其中t∈(0,3).

故選擇答案:D.

解后反思：利用幾何法解決空間幾何體的外接球問(wèn)題,關(guān)鍵在于確定外接球的球心,合理構(gòu)建幾何體底面截面圓的小圓與外接球直徑所在的大圓之間的位置關(guān)系,為進(jìn)一步的分析與求解提供條件.

2.2 代數(shù)思維

方法2：坐標(biāo)法1.

圖3

解析：易知三棱錐M-AB1C的外接球的球心O在線段BD1上.

設(shè)M(0,3,t),其中t∈(0,3).

設(shè)三棱錐M-AB1C的外接球的半徑為r,則有OA=OM=r,即OA2=OM2,可得

(3-3λ)2+(3λ)2+(3λ)2=(3-3λ)2+(3λ-3)2+(3λ-t)2.

下面從兩個(gè)方向來(lái)分析與求解.

方向(1):基本不等式法.

方向(2):函數(shù)與導(dǎo)數(shù)法.

方法3：坐標(biāo)法2.

又M是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),則當(dāng)三棱錐M-AB1C的外接球的半徑最小時(shí)有OM⊥DD1,此時(shí)外接球的半徑為r=OM.

解后反思：根據(jù)坐標(biāo)法解決立體幾何問(wèn)題,就是合理構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)運(yùn)算代替一些邏輯推理便于分析與求解.如果能利用幾何法知道動(dòng)點(diǎn)M的位置的話,利用坐標(biāo)法會(huì)比較快捷;反之,若不知道動(dòng)點(diǎn)M的位置,也可利用函數(shù)思想建立目標(biāo)函數(shù),借助函數(shù)的性質(zhì)或不等式思想等來(lái)求解,這對(duì)于空間感比較薄弱的學(xué)生比較友善.

3 教學(xué)啟示

3.1 剖析動(dòng)點(diǎn)變化,挖掘解題模型

立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)變化問(wèn)題,往往隱藏于該動(dòng)點(diǎn)所處的空間幾何模型中,抓住動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,挖掘?qū)?yīng)的空間幾何模型是制勝法寶.

在解題的過(guò)程中,關(guān)注空間想象以及邏輯推理的應(yīng)用,做到“胸有圖形”,“動(dòng)”中尋“寶”,構(gòu)建正確的空間圖形.具體解答時(shí),或借助邏輯推理利用幾何法定性分析,或引入?yún)?shù)利用代數(shù)法定量計(jì)算等,不同思維視角與應(yīng)用都可以很好地實(shí)現(xiàn)“動(dòng)”與“靜”的和諧統(tǒng)一與轉(zhuǎn)化.

3.2 空間最值問(wèn)題,解題技巧策略

涉及立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)最值或取值范圍問(wèn)題,正確剖析題目條件,把握問(wèn)題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì),解題的常見(jiàn)基本技巧與策略有:

(1)“動(dòng)中覓靜”思維.結(jié)合動(dòng)點(diǎn)變化過(guò)程中的不變性,抓住“動(dòng)”的過(guò)程中的一個(gè)瞬間——“動(dòng)”中取“靜”,此時(shí)是運(yùn)動(dòng)的一種特殊形式,化一般情形為特殊情形,問(wèn)題迎刃而解.

(2)降維思維.化“三維”為“二維”,將空間動(dòng)點(diǎn)變化問(wèn)題轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平面上對(duì)應(yīng)元素的運(yùn)動(dòng)與變化,巧妙降維處理,利用平面幾何的知識(shí)來(lái)分析與應(yīng)用.

(3)坐標(biāo)思維.合理構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的設(shè)置與應(yīng)用,利用空間知識(shí)來(lái)分析與處理,利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式等相關(guān)知識(shí)來(lái)分析與應(yīng)用.