劉 海

? 江蘇省曲塘高級(jí)中學(xué)

平面解析幾何中的最值(或取值范圍)問(wèn)題,往往以“壓軸題”的形式出現(xiàn)在高考選擇題、填空題或解答題中的對(duì)應(yīng)位置,成為高考命題乃至自主招生、競(jìng)賽中的“?？汀敝?更是各類(lèi)模擬考試中?？嫉幕绢}型之一.此類(lèi)問(wèn)題,除了可以很好地考查平面解析幾何的基本知識(shí),還可以巧妙融合平面幾何、函數(shù)與方程、三角函數(shù)、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等其他相關(guān)知識(shí),契合“在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題”的命題理念,同時(shí)又能很好考查學(xué)生基本的數(shù)學(xué)思想方法和核心素養(yǎng)等,創(chuàng)新新穎,花樣翻新,難度較高,但其基本解題思路與技巧方法仍然有章可循,有法可依.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

此題以?huà)佄锞€(xiàn)、圓為綜合問(wèn)題載體,結(jié)合直線(xiàn)與拋線(xiàn)物、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,以及坐標(biāo)原點(diǎn)與交點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積,通過(guò)兩個(gè)不同三角形的面積的比值創(chuàng)設(shè),進(jìn)而確定相應(yīng)的最值問(wèn)題.

本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)建兩個(gè)不同三角形面積的表達(dá)式,合理引入?yún)?shù)是根本所在.可以通過(guò)設(shè)線(xiàn)法、設(shè)點(diǎn)法或參數(shù)方程法等多思維視角切入,利用三角形面積公式的不同形式來(lái)確定對(duì)應(yīng)的面積表達(dá)式,為進(jìn)一步確定面積比值的最值提供解題依據(jù)與基礎(chǔ).

2 問(wèn)題破解

方法1：設(shè)線(xiàn)法.

圖1

解析：由題意可知,直線(xiàn)AB的斜率不為0,故設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=my+4.

如圖1所示,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4).

將直線(xiàn)AB的方程代入圓E的方程,消去參數(shù)x并整理,可得(m2+1)y2-12=0.

利用韋達(dá)定理,可得

解后反思：設(shè)線(xiàn)法是處理直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系問(wèn)題中比較常用的一種“通性通法”,巧設(shè)直線(xiàn)方程,與圓錐曲線(xiàn)的方程聯(lián)立,利用函數(shù)與方程思想,通過(guò)韋達(dá)定理構(gòu)建相應(yīng)交點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系式,為進(jìn)一步分析與探究提供條件.設(shè)線(xiàn)法往往要結(jié)合直線(xiàn)的斜率是否存在、是否為零等信息加以創(chuàng)新設(shè)置,其目的是回避分類(lèi)討論,優(yōu)化解題過(guò)程.

方法2：設(shè)點(diǎn)法.

以AB為直徑的圓E的方程為

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

整理,可得x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0=x2-8x+y2+4.

所以x1+x2=8,y1+y2=0,x1x2+y1y2=4.

解后反思：設(shè)點(diǎn)法也是處理直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系問(wèn)題中比較常用的一種“通性通法”,借助點(diǎn)的坐標(biāo)的設(shè)置,可以建立直線(xiàn)方程、構(gòu)建坐標(biāo)參數(shù)所滿(mǎn)足的關(guān)系式等,結(jié)合題設(shè)條件可以合理“串聯(lián)”起不同坐標(biāo)之間的關(guān)系,以方便問(wèn)題的進(jìn)一步分析與解決.設(shè)點(diǎn)法往往抓住點(diǎn)所在的直線(xiàn)、圓錐曲線(xiàn)等加以合理設(shè)置,盡量減少參數(shù)的個(gè)數(shù),以方便后繼的數(shù)學(xué)運(yùn)算與綜合解題.

方法3：參數(shù)方程法.

解后反思：參數(shù)方程法是處理直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系問(wèn)題中比較常用的一種“巧技妙法”,借助直線(xiàn)、圓、圓錐曲線(xiàn)等參數(shù)方程的設(shè)法,對(duì)應(yīng)直線(xiàn)或曲線(xiàn)上相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),通過(guò)參數(shù)的變化進(jìn)一步分析與求解實(shí)際問(wèn)題.參數(shù)方程法的應(yīng)用過(guò)程中,要注意點(diǎn)參、線(xiàn)參、角參等取值范圍的限制,要合理挖掘題設(shè)條件,正確加以確定,這對(duì)后繼的數(shù)學(xué)運(yùn)算與解題起到至關(guān)重要的作用.

3 教學(xué)啟示

3.1 歸納總結(jié)方法,養(yǎng)成解題習(xí)慣

求解平面解析幾何中的最值(或取值范圍)問(wèn)題時(shí),要抓住直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系等場(chǎng)景,巧妙選取合理的參數(shù),如點(diǎn)參、線(xiàn)參、角參等,同時(shí)結(jié)合題設(shè)條件或隱含條件等確定對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值范圍.

在設(shè)參的基礎(chǔ)上,借助直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系等切入,巧妙建立關(guān)于相應(yīng)參數(shù)的目標(biāo)函數(shù),進(jìn)而利用圓錐曲線(xiàn)自身的幾何性質(zhì),或借助二次函數(shù)、基本不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等來(lái)分析與求解對(duì)應(yīng)的最值(或取值范圍)問(wèn)題.

3.2 “一題多解”思維,深入研究拓展

解平面解析幾何的最值(或取值范圍)問(wèn)題時(shí),由于參數(shù)選擇的形式多樣,根據(jù)題設(shè)合理選擇點(diǎn)參、線(xiàn)參、角參等,這就為解決此類(lèi)問(wèn)題提供了更加豐富多彩的思維視角,是實(shí)現(xiàn)多種方法解題的根本,可以很好實(shí)現(xiàn)“一題多解”的巧妙應(yīng)用,同時(shí)對(duì)不同的技巧方法加以對(duì)比、分析,從中合理優(yōu)化,提升能力.

基于此類(lèi)問(wèn)題的“一題多解”,可合理對(duì)問(wèn)題條件、問(wèn)題結(jié)論,以及問(wèn)題的求解方法、求解過(guò)程等加以深入研究與分析,從而合理拓展與應(yīng)用,達(dá)到“一題多思”“一題多變”“一題多得”等方面的良好效果,對(duì)于全面提升數(shù)學(xué)解題能力以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都有益處.