衛(wèi)福山

? 上海市松江二中

解析幾何題在高考中所占比重較大,下面通過(guò)一道解析幾何試題的命題過(guò)程的分析,希望有助于抓住解析幾何試題的特點(diǎn),便于提高解析幾何的復(fù)習(xí)質(zhì)量.

1 試題(改編)

(1)求雙曲線Γ的方程;

(3)若直線l與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)為C,D,且|AB|=λ|CD|,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

2 編寫過(guò)程

(1)求雙曲線C的方程.

(1)求雙曲線Γ的方程;

(2)求證:∠AOB為定值;

(3)求△AOB面積的最小值.

說(shuō)明1：給出點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0,y0),引導(dǎo)學(xué)生思考是用二級(jí)結(jié)論x0x+y0y=2寫出切線l的方程還是用y=kx+m表示切線l的方程?后者計(jì)算方便一些.

(1)求雙曲線Γ的方程;

(2)若|AB|=λ|OM|,求實(shí)數(shù)λ的值;

(3)求|AB|的最小值.

說(shuō)明2：將直角三角形的性質(zhì)融入其中.

(3)在(1)的條件下,求△AOB面積的最小值.

說(shuō)明3：發(fā)現(xiàn)圓的半徑與雙曲線虛半軸的關(guān)系.

圖1

(1)求雙曲線Γ的方程;

(3)求證:|AC|=|BD|.

說(shuō)明4：將雙曲線的漸近線融入其中,另外,條件|AC|=|BD|的轉(zhuǎn)化策略也是難點(diǎn).

①求雙曲線Γ的方程;

說(shuō)明5：按照全國(guó)卷解析幾何解答題的題目風(fēng)格設(shè)計(jì),同時(shí)將直角三角形性質(zhì)以向量形式呈現(xiàn),并注重研究雙曲線、圓與切線的深層次關(guān)系(借助參數(shù)).

在以上原題修改的基礎(chǔ)上,結(jié)合考情、學(xué)情分析以及上述解析幾何問(wèn)題的背景分析,改編命制了最終的題目.

3 分析

3.1 第(1)小題的分析

第(1)問(wèn)的思維導(dǎo)圖如圖2所示.

圖2

3.2 第(2)小題的分析

方法1的思維導(dǎo)圖如圖3所示.

圖3

方法2的思維導(dǎo)圖如圖4所示.

圖4

方法3的思維導(dǎo)圖如圖5所示.

圖5

方法4思維導(dǎo)圖如圖6所示.

圖6

方法5：方法1～4均是設(shè)直線方程及點(diǎn)的坐標(biāo),利用方程思想及韋達(dá)定理,將結(jié)論坐標(biāo)化再加以證明.能否只設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),將條件與結(jié)論坐標(biāo)化而證明呢?回答是肯定的,但需經(jīng)歷較復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算.此方法實(shí)質(zhì)上是利用方程組的變形技巧,需要綜合考慮題目條件及代數(shù)變形的條件等.

方法5的思維導(dǎo)圖如圖7所示.

3.3 第(3)小題的分析

第(3)問(wèn)的思維導(dǎo)圖如圖8所示

圖8

4 實(shí)測(cè)

本題通過(guò)班級(jí)測(cè)試,得分情況統(tǒng)計(jì)如表1所示:

表1

通過(guò)得分情況分析,第(1)小題考查雙曲線基本量計(jì)算問(wèn)題,學(xué)生掌握得很好,正確率很高.第(2)小題學(xué)生的個(gè)體差異逐漸顯現(xiàn),主要表現(xiàn)在以下問(wèn)題:切線方程假設(shè)形式多樣,但大多不嚴(yán)謹(jǐn)(沒(méi)討論斜率不存在的情況);切線與雙曲線方程聯(lián)立后直接用韋達(dá)定理,沒(méi)考慮方程有兩個(gè)不等實(shí)根的條件;計(jì)算問(wèn)題較嚴(yán)重,多數(shù)同學(xué)不能堅(jiān)持到底或算不出來(lái).第(3)小題遇到多點(diǎn)多線問(wèn)題較慌,沒(méi)有頭緒,不清楚題目中點(diǎn)與線的關(guān)系,不知道怎么聯(lián)立,計(jì)算能力很欠缺,根本算不出實(shí)數(shù)λ的表達(dá)式;在利用函數(shù)工具求λ的取值范圍時(shí)不嚴(yán)謹(jǐn),不會(huì)算,導(dǎo)致繁瑣的式子無(wú)法求出取值范圍.

5 體會(huì)

通過(guò)以上解析幾何試題的命制,收獲很大,歸納起來(lái)主要有以下幾點(diǎn):

(1)格式規(guī)范上有長(zhǎng)足進(jìn)步

數(shù)學(xué)是一門很嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué),通過(guò)聆聽(tīng)命題書寫格式方面的講座以及若干案例的研究,提升自己在論文寫作等方面的格式規(guī)范要求,特別是在“雙新”背景下,數(shù)學(xué)書寫與表達(dá)與以前有較大差異.

(2)加深了對(duì)命題及解析幾何的認(rèn)知深度

雖然這次只改編了一道解析幾何解答題,但對(duì)其中的酸甜苦辣體會(huì)深刻.命制一道自己滿意的好題真不容易!特別是解析幾何試題,需要經(jīng)過(guò)大量的計(jì)算去驗(yàn)證與調(diào)整,有時(shí)真的是絞盡腦汁.通過(guò)本次解析幾何題的命制,對(duì)解答解析幾何問(wèn)題有了更深入的認(rèn)識(shí):尋找線頭,建立聯(lián)系,抓住關(guān)鍵,運(yùn)算嚴(yán)謹(jǐn),方法合理,持之以恒.

(3)對(duì)日常數(shù)學(xué)教學(xué)有促進(jìn)作用

本次解析幾何試題的命制,對(duì)自己的日常教學(xué)有很好的促進(jìn)作用,比如提升了自己研究解題、發(fā)現(xiàn)好題甚至改編(原創(chuàng))命題的能力.