曹 兵

? 江蘇省南通市海門第一中學(xué)

在高中必修課程體系中,判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)屬于必學(xué)內(nèi)容之一,函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷比較抽象,需要深入理解,與方程有關(guān)的根和函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的內(nèi)容主要包括兩個(gè)理論以及由這兩個(gè)理論推廣出的一個(gè)理論.

理論1：函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)?方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn).

理論2：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有f(a)f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的解.

理論3：函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有交點(diǎn)?方程g(x)-f(x)=0有解,即g(x)-f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)g(x)-f(x)=F(x)有零點(diǎn).

上面的分析以及相應(yīng)的三個(gè)結(jié)論,如果從純粹的數(shù)學(xué)知識的角度來看,屬于高中數(shù)學(xué)知識體系當(dāng)中的重要內(nèi)容.學(xué)生掌握這些內(nèi)容,一方面可以完善自己的認(rèn)知體系,另一方面可以形成較強(qiáng)的問題分析與解決能力.但筆者以為僅有這樣的認(rèn)識是不夠的,因?yàn)槔煤瘮?shù)圖象確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù),更是在一定程度上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在特點(diǎn),同時(shí)也體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用[1].其中,最典型的思想就是數(shù)形結(jié)合思想.根據(jù)筆者的調(diào)查研究發(fā)現(xiàn),盡管幾乎所有學(xué)生在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)與運(yùn)用的過程當(dāng)中都能體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想,但很多時(shí)候?qū)W生的這種體會(huì)并沒有上升為數(shù)學(xué)意識,這也就導(dǎo)致很多學(xué)生在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識或在解題的時(shí)候,難以有意識地將數(shù)形結(jié)合作為思維突破的切入口.說得直白一點(diǎn),就是學(xué)生的體驗(yàn)沒有上升為理性認(rèn)識,這顯然無助于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.因此,基于上面的分析,接下來結(jié)合實(shí)例來分析、研究函數(shù)零點(diǎn)的相關(guān)問題,融合數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思維方式,體會(huì)數(shù)形結(jié)合方法的典型性和優(yōu)點(diǎn).

圖1

例2方程log2x=-(x-1)2+2實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為______.

圖2

這道題也可以采用圖象法.設(shè)g(x)=-(x-1)2+2,f(x)=log2x在同一直角坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象,如圖2所示.根據(jù)圖象分析可以得到,兩個(gè)函數(shù)圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),因此方程log2x=-(x-1)2+2有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

評析：求方程實(shí)根的個(gè)數(shù)通常有兩條途徑.(1)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),結(jié)合函數(shù)圖象求解;(2)轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),結(jié)合零點(diǎn)存在定理求解.相較于利用零點(diǎn)存在定理,明顯結(jié)合函數(shù)圖象的方法更簡單明了.

例3求方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)(a是常數(shù))的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù).

lg[(x-1)(3-x)]=lg(a-x),

即a-x=(x-1)(3-x).

圖3

令f(x)=(x-1)(3-x)(其中1

方法2:根據(jù)題意分析可知,原方程等價(jià)于

在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中,作出函數(shù)h(x)=-3+5x-x2(1

圖4

根據(jù)圖象,可以觀察函數(shù)y=h(x)和y=g(x)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況(略).

評析：結(jié)合函數(shù)圖象求解與函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)相關(guān)的問題,不僅可以省去較為復(fù)雜的運(yùn)算,而且通過圖象可以快速得出正確的答案.

掌握確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法對于學(xué)生來說十分重要,結(jié)合圖象確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)是目前最常用、最簡便的方法之一,它要求學(xué)生有良好的計(jì)算能力和基本的作圖能力,對學(xué)生的邏輯思維有一定的要求,要求學(xué)生能全面分析問題,還要注意限制條件,作圖要盡量準(zhǔn)確.學(xué)好零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解,可以有效提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)[2].

對上述教學(xué)過程進(jìn)行概括與反思,筆者以為在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,最直接的抓手當(dāng)然是數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)與運(yùn)用,這是由當(dāng)前的考核評價(jià)機(jī)制決定的,教師的教學(xué)必須努力服務(wù)于學(xué)生思維能力的發(fā)展與解題能力的提升.與此同時(shí),教師也必須關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展和學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟.無論是核心素養(yǎng)的發(fā)展還是數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟,其實(shí)都不影響學(xué)生解題能力的提升,同時(shí)還能夠?yàn)閷W(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ).比如上面所強(qiáng)調(diào)的數(shù)形結(jié)合,是數(shù)學(xué)學(xué)科特征的直接體現(xiàn),更是高中數(shù)學(xué)教學(xué)最不能忽視的思想方法之一.對于數(shù)形結(jié)合,不僅要讓學(xué)生有實(shí)際的體驗(yàn),還要讓學(xué)生有真切的收獲.這種收獲對于學(xué)生來說應(yīng)當(dāng)是顯性的,只有當(dāng)學(xué)生明確認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合能夠反映數(shù)學(xué)學(xué)科的特征時(shí),才能夠有意識地在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)與運(yùn)用的過程當(dāng)中自動(dòng)激活數(shù)形結(jié)合思想,從而讓數(shù)形結(jié)合真正成為學(xué)生數(shù)學(xué)解題的利器[3].

在這篇文章當(dāng)中,函數(shù)圖象與零點(diǎn)個(gè)數(shù)的研究是一個(gè)突破口,只是一條明線,數(shù)形結(jié)合思想是背后的暗線,是學(xué)生領(lǐng)悟的重點(diǎn),這才是筆者想重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的.