王克軍

? 江蘇省宿遷中學(xué)

反例是指想要說明一個(gè)數(shù)學(xué)命題為假命題時(shí),通過舉出一個(gè)例子讓它具備命題的條件,卻與命題結(jié)論不相符,這個(gè)例子則稱為反例.反例是相對于全稱命題的一個(gè)概念,在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)用非常廣泛,尤其對于高中數(shù)學(xué)而言,反例可為學(xué)生提供新的思維視角.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,學(xué)生的思維遇到障礙是常有的事,靈活應(yīng)用反例可幫助學(xué)生換個(gè)視角觀察與思考問題,提升學(xué)習(xí)效率.

1 借助反例夯實(shí)基礎(chǔ)知識

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要注重“四基”與“四能”的培養(yǎng),基礎(chǔ)知識屬于“四基”最重要的內(nèi)容,任何教學(xué)活動(dòng)都是緊緊圍繞基礎(chǔ)知識而展開的,夯實(shí)基礎(chǔ)是實(shí)現(xiàn)解題的關(guān)鍵.因此,每一位教育工作者都要關(guān)注基礎(chǔ)知識的教學(xué),只有不斷強(qiáng)化對知識基礎(chǔ)的理解,學(xué)生才能基于此基礎(chǔ)更上一層樓.為此,筆者在這方面做了大量嘗試與探索,發(fā)現(xiàn)借助反例進(jìn)行基礎(chǔ)知識的教學(xué),效果異常顯著.

案例1“直線與平面垂直的判定定理”的教學(xué)

為了深化學(xué)生對“直線與平面垂直的判定定理”的理解,強(qiáng)化“平面內(nèi)兩條直線相交”這個(gè)基本條件,教學(xué)時(shí)筆者尤其關(guān)注“相交”二字,呈現(xiàn)出如下教學(xué)過程:

圖1

問題如圖1,正方體ABCD-A1B1C1D1中AB1⊥BC,AB1⊥B1C1,但AB1⊥平面BCC1B1并不成立.

師:請大家分析這個(gè)命題結(jié)論正確的原因.

生1:因?yàn)锽C和B1C1雖同在平面BCC1B1內(nèi),但BC與B1C1并非為相交的關(guān)系.

這個(gè)簡單易理解的反例讓學(xué)生清晰地明確了“相交”這個(gè)詞在此定理中所占的分量.該反例的應(yīng)用成功展示了定理中核心詞的重要性,夯實(shí)了知識基礎(chǔ).若再次遇到這一類題型時(shí),可通過對這個(gè)反例信息的提取,避免錯(cuò)誤的發(fā)生.這個(gè)反例也從側(cè)面提醒我們在理解基礎(chǔ)知識時(shí),可從正反兩個(gè)角度去分析,這也是避免思維定式的重要方法.

2 通過反例揭露問題癥結(jié)

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)要關(guān)注學(xué)生在解題中的錯(cuò)誤,將一些錯(cuò)誤作為教學(xué)資源,可有效激活學(xué)生的思維,增強(qiáng)學(xué)生的理解能力,避免類似問題的再次發(fā)生.實(shí)踐證明,正確對待教學(xué)過程中學(xué)生暴露出來的錯(cuò)誤是不可忽略的環(huán)節(jié).因此,探尋高效教學(xué)的同時(shí)要常停下腳步,回過頭來及時(shí)復(fù)盤、反思,以便及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題并解決問題,這也是發(fā)展“四能”的關(guān)鍵步驟.實(shí)踐發(fā)現(xiàn),反例的應(yīng)用常能將問題的癥結(jié)暴露出來,讓學(xué)生正視自己的問題.

案例2“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”的教學(xué)

學(xué)生在解決有關(guān)一元二次方程根的問題時(shí),常會出現(xiàn)遺漏條件的情況,為了讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題的癥結(jié)所在,筆者設(shè)計(jì)了如下問題:

問題若方程x2+(k-3)x+k=0的兩根都小于-2,求k的取值范圍.

這種解法沒有關(guān)注到對稱軸,從而導(dǎo)致錯(cuò)誤發(fā)生.為了讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題的癥結(jié),筆者移動(dòng)了一下對稱軸,學(xué)生瞬間就明白了.

這種解法的錯(cuò)因在于忽略了“端點(diǎn)”,只要據(jù)此舉出相應(yīng)的反例,學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)大根可以大于-2,也能小于-2.

用反例來說明以上三種典型錯(cuò)誤,不僅讓學(xué)生明確每一類錯(cuò)誤的原因,還讓學(xué)生進(jìn)一步回顧基礎(chǔ)知識,感知遇到這一類問題時(shí)必須考慮周全,其中判別式、對稱軸與端點(diǎn)是三個(gè)不可或缺的因素.在此基礎(chǔ)上,學(xué)生很快自主求得本題的解為k∈[9,10)(過程略).

反例的應(yīng)用,顯著提高了教學(xué)效率,無需教師過多的闡釋,學(xué)生就從這幾個(gè)典型錯(cuò)誤中夯實(shí)了基礎(chǔ),發(fā)展了“四能”.

3 巧用反例提高解題效率

反例是提高解題效率的法寶.當(dāng)遇到一些靈活多變的問題時(shí),如果學(xué)生僅單純地從正面思考,常常會因?yàn)榭紤]不夠周全而發(fā)生失誤,若能轉(zhuǎn)換解題思路,適時(shí)應(yīng)用反例,則能從問題的另一個(gè)角度切入,實(shí)現(xiàn)解題的突破.

案例3“立體幾何”的教學(xué)

圖2

問題如圖2,已知長方體ABCD-A1B1C1D1中AB,AD,AA1的長度分別為5,4,3,動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)A出發(fā)沿著長方體的表面活動(dòng)到點(diǎn)C1處,求該動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的最短路徑.

不少學(xué)生解這道題時(shí),直接將AB,BC,CC1三條線段的長度相加,獲得“最短路徑長為12”這個(gè)結(jié)論.顯然,這種做法是錯(cuò)誤的.為了讓學(xué)生明白這種解法的錯(cuò)誤(思維過于“簡單粗暴”),筆者提出如下反例:若動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)A出發(fā),沿著AB—BC1到達(dá)點(diǎn)C1,那么運(yùn)動(dòng)的距離為10,顯然小于12.

圖3

這個(gè)反例成功激活了學(xué)生的思維,他們立刻意識到此類最短路線問題,可從長方體的側(cè)面展開圖的角度去分析,如圖3,學(xué)生自主畫圖,很快就獲得了準(zhǔn)確答案.

這個(gè)案例告訴我們,反例是激活學(xué)生思維、提高解題效率的重要方法.反例的應(yīng)用還能有效避免思維漏洞,這對提升解題效率具有重要價(jià)值.

4 應(yīng)用反例實(shí)施深入探究

課本內(nèi)容遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到新課標(biāo)提出的要求,核心素養(yǎng)背景下,學(xué)生不僅要掌握“四基與四能”,還要具備良好的探究與創(chuàng)新能力.因此,我們應(yīng)關(guān)注課本知識的延伸與拓展,以深化學(xué)生對知識的理解,為完善知識體系、建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)服務(wù).帶領(lǐng)學(xué)生借助各種教學(xué)手段探索靈活多變的教學(xué)內(nèi)容是當(dāng)下教學(xué)的關(guān)鍵任務(wù),也是發(fā)展學(xué)生探究能力的重要渠道.結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)應(yīng)用反例教學(xué)可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入靈活的探索階段,促進(jìn)思維深刻性、發(fā)散性與靈敏性的發(fā)展.

案例4“函數(shù)”的教學(xué)

問題已知f(x)=x3-ax2+3x在[1,+∞)上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,筆者舉了這樣一個(gè)反例:已知函數(shù)f(x)=x3在R上單調(diào)遞增,而f′(x)=3x2≥0恒成立,由此不難看出y=f(x)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo),據(jù)此可發(fā)現(xiàn)f′(x)>0并非f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增的充要條件.

在這個(gè)反例的引導(dǎo)下,學(xué)生瞬間就發(fā)現(xiàn)了問題出在哪里,并及時(shí)修正獲得a≤3的結(jié)論.這個(gè)案例告訴我們,反例的應(yīng)用不僅能促使學(xué)生快速發(fā)現(xiàn)問題,還能有效點(diǎn)燃學(xué)生的探索欲,驅(qū)動(dòng)學(xué)生的探究行為,為發(fā)展核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

總之,靈活應(yīng)用反例,將反例恰到好處地應(yīng)用在刀刃上,不僅能快速檢驗(yàn)教學(xué)成效,還能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,推動(dòng)學(xué)生的深度探究.因此,每位教師都應(yīng)關(guān)注反例在教學(xué)中的實(shí)用價(jià)值,將它作為提高教學(xué)成效、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的利器.