葉阿平

? 江蘇省口岸中學(xué)

教學(xué)改革與理念創(chuàng)新,從根本上來說就是必須摒棄教師立場(chǎng),選擇學(xué)生立場(chǎng),體現(xiàn)以學(xué)生自主構(gòu)建與學(xué)習(xí)為中心的基本理念,而學(xué)歷案就是一個(gè)很好的嘗試與創(chuàng)新應(yīng)用.下面筆者以“空間向量基本定理”為例,就這一單元的學(xué)歷案的教學(xué)設(shè)計(jì)加以剖析與展示.

1 以生為本,明確目標(biāo)

“空間向量基本定理”一節(jié)的學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)定如下:(1)類比平面向量基本定理,理解空間向量基本定理及其意義;(2)經(jīng)歷由三個(gè)不共面且兩兩垂直的空間向量表示空間中任一向量,到任意三個(gè)不共面的空間向量表示空間中任一向量,從而得到空間向量基本定理,體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想;(3)通過兩次平面向量的正交分解得到空間向量的正交分解,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,在此過程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和直觀想象數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

學(xué)歷案中的學(xué)習(xí)目標(biāo)要明確,充分體現(xiàn)“期望學(xué)生‘學(xué)會(huì)什么’”為根本目的,其是基于教師課前對(duì)學(xué)生已有知識(shí)等方面的認(rèn)識(shí)與把握,設(shè)計(jì)“最近發(fā)展區(qū)”,使得學(xué)生更能以參與其中,目標(biāo)可測(cè)評(píng)、觀察與評(píng)價(jià),從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)來提升關(guān)鍵能力與培養(yǎng)核心素養(yǎng).

2 總體設(shè)計(jì),前置任務(wù)

本節(jié)課的評(píng)價(jià)任務(wù)設(shè)計(jì)如下:(1)回答問題1～4,從平面向量知識(shí)切入進(jìn)行復(fù)習(xí)與回顧,為思維的提升作好鋪墊;(2)回答問題5與問題6,類比思維,構(gòu)建新知識(shí)體系,進(jìn)而學(xué)習(xí)空間向量基本定理及其相關(guān)內(nèi)容;(3)結(jié)合實(shí)例應(yīng)用,依托空間向量基本定理的基本認(rèn)識(shí)與本質(zhì),加以簡(jiǎn)單初步應(yīng)用.

學(xué)歷案的評(píng)價(jià)任務(wù)是前置的,是根據(jù)教學(xué)過程前學(xué)生的實(shí)際情況設(shè)計(jì)的,能更加合理地確定學(xué)生的目標(biāo)是否達(dá)成,學(xué)習(xí)任務(wù)是否完成,等等,有助于教師從學(xué)生的視角來發(fā)現(xiàn)教學(xué)設(shè)計(jì)中的不足與改進(jìn)方向.

3 創(chuàng)設(shè)情境,落實(shí)過程

3.1 復(fù)習(xí)回顧,鋪墊引入

問題1在必修第二冊(cè)(人教A版)第六章“平面向量及其應(yīng)用”中,結(jié)合平面向量基本定理,可知平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a都可以用兩個(gè)不共線的向量e1,e2來線性表示.那么,如何表示呢?

設(shè)計(jì)說明：回顧復(fù)習(xí)平面向量基本定理,為類比空間向量、學(xué)習(xí)空間向量基本定理做好鋪墊.

問題2類似地,任意一個(gè)空間向量能否還能用兩個(gè)不共線的向量來線性表示呢?

預(yù)設(shè)答案:不能.

追問1:那么,任意一個(gè)空間向量需要用多少個(gè)向量線性表示呢?

追問2:三個(gè)滿足什么條件的向量可以線性表示空間中任意一個(gè)向量呢?只滿足不共線可以嗎?

追問3:三個(gè)不共面的向量,同學(xué)們最熟悉的是在哪個(gè)幾何體中見過?

追問4:另外,還有一個(gè)更為關(guān)鍵的問題是——在空間中,任意一個(gè)空間向量能否用任意三個(gè)不共面的向量a,b,c來線性表示呢?

教學(xué)說明：這個(gè)環(huán)節(jié)通過一系列問題串的形式,由平面向量基本定理,逐步從基底的個(gè)數(shù)、基底向量滿足的條件,以及基底法分解的可行性幾個(gè)角度過渡到研究空間中的類似結(jié)論是否成立.類比猜想,學(xué)生能猜到空間中的類似結(jié)論也是成立的!因此自然需要對(duì)這個(gè)結(jié)論在空間中成立的合理性進(jìn)行說明.

問題3請(qǐng)問大家是否記還得投影向量嗎?

設(shè)計(jì)說明：回顧平面投影向量的概念,嘗試類比空間中某個(gè)平面上的投影向量的概念,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

問題4我們能把平面內(nèi)一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影向量類比到空間中,定義一個(gè)向量在另一個(gè)平面上的投影向量嗎?

圖1

教師:下面,我們繼續(xù)來分析在空間中,任意一個(gè)空間向量能否用任意三個(gè)不共面的向量a,b,c來線性表示.先從我們最熟悉的空間中三個(gè)不共面的兩兩垂直的向量這一特殊情況入手.

3.2 推陳出新,構(gòu)建新知

教師:通過問題2的討論,下面先研究長(zhǎng)方體模型.

問題5對(duì)于長(zhǎng)方體,從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所形成的向量有什么特殊位置關(guān)系嗎?

預(yù)設(shè)答案:三個(gè)向量?jī)蓛纱怪?

教師:那我們就先討論三個(gè)兩兩垂直的不共面向量能否將空間中任意一個(gè)向量線性表示出來.

①

又在向量i,j所確定的平面即長(zhǎng)方體的底面ABCD上,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使得

②

一般地,如果i,j,k是空間三個(gè)兩兩垂直的向量,那么對(duì)于任意一個(gè)空間向量a,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得a=xi+yj+zk.其中xi,yj,zk分別為向量a在i,j,k上的分向量.

預(yù)設(shè)答案:是可以的.空間中任意一個(gè)向量均可以按照以上的方式形成以自身為對(duì)角線的長(zhǎng)方體,即可類似地得到解答.

設(shè)計(jì)說明：借助學(xué)生最熟悉也是最基礎(chǔ)的幾何體——長(zhǎng)方體模型,幫助學(xué)生理解空間中三個(gè)兩兩垂直的向量可以表示出空間任意一個(gè)向量,不僅體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,而且也給學(xué)生展示了如何用三個(gè)不共面向量去表示空間中的任一向量,為后面學(xué)生用“基底法”解題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

問題6在空間中,如果用任意三個(gè)不共面的向量a,b,c來替換空間中兩兩垂直的向量i,j,k,也能類比得出相似的結(jié)論嗎?

預(yù)設(shè)答案:答案是肯定的!空間中任意一個(gè)向量均可以按照以上類似的方式形成以自身為對(duì)角線的平行六面體,即可類似地得到解答.

設(shè)計(jì)說明：從特殊到一般,從平面到空間,引導(dǎo)出空間向量基本定理,構(gòu)建模型.

3.3 構(gòu)建模型,深化概念

空間向量基本定理:如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.

相關(guān)概念:

(1){a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底(base),a,b,c都叫做基向量.

(2)任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.

(3)如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?且長(zhǎng)度都為1,那么這個(gè)基底叫做單位正交基底,常用{i,j,k}來表示.

(4)在空間中,任意一個(gè)向量a,用三個(gè)兩兩垂直的正交基底線性表示,稱為空間向量的正交分解.

設(shè)計(jì)說明：引出空間向量基本定理,并且板書強(qiáng)化這一定理及其衍生的相關(guān)概念.由空間向量基本定理,通過三個(gè)不共面的向量把握住整個(gè)空間結(jié)構(gòu).同時(shí),對(duì)于任意向量的研究均可以轉(zhuǎn)化為三個(gè)基向量的研究,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

3.4 新知應(yīng)用,鞏固內(nèi)化

圖2

設(shè)計(jì)說明：本例為加深學(xué)生對(duì)空間向量基本定理的理解.解決本題時(shí),要引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合,觀察幾何體的結(jié)構(gòu),再結(jié)合已知與所求,將空間向量用已知的三個(gè)不共面的向量線性表示出來.

4 學(xué)后反思,發(fā)展素養(yǎng)

4.1 合理類比,分散難點(diǎn)

本節(jié)課是“空間向量與立體幾何”這一章的第二個(gè)單元內(nèi)容,是空間向量的基礎(chǔ),通過類比思維,由“二維”的平面向量基本定理上升到“三維”的空間向量基本定理的內(nèi)容.本節(jié)課是由平面的結(jié)論類比推廣到空間,在定理的理解和使用上會(huì)有一定的難度,本單元的設(shè)計(jì)就是通過問題串的形式分散難點(diǎn),幫助學(xué)生更好地理解和掌握空間向量基本定理.

4.2 過程構(gòu)建,思想引領(lǐng)

在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中,借助“二維”平面知識(shí)上升到“三維”空間知識(shí),滲透了類比推理的思想方法;空間向量的分解先是在兩兩垂直的三個(gè)不共面向量下的分解,再推廣到一般的三個(gè)不共面向量的分解,體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想;通過平面向量基本定理過渡到空間向量基本定理,巧妙轉(zhuǎn)化為基向量進(jìn)行相關(guān)向量問題研究的思想,均體現(xiàn)出了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.整個(gè)單元的教學(xué)提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和直觀想象等核心素養(yǎng).