曹華平

? 海南省保亭黎族苗族自治縣保亭中學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》強(qiáng)調(diào)落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),教師應(yīng)該整體把握數(shù)學(xué)課程,努力提升教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施能力,在教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)把握好數(shù)學(xué)的本質(zhì),通過(guò)創(chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情景、提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題去引發(fā)學(xué)生思考與交流.“問(wèn)題鏈”教學(xué)倡導(dǎo)教師緊密圍繞教學(xué)內(nèi)容,深度挖掘教學(xué)內(nèi)容的教育價(jià)值,按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)精準(zhǔn)設(shè)計(jì)一組環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題串,并通過(guò)這一個(gè)個(gè)問(wèn)題鏈將教材內(nèi)容融入到探究活動(dòng)中,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從知識(shí)主線到問(wèn)題主線、從問(wèn)題主線到思維主線的轉(zhuǎn)變,從而引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí).“問(wèn)題鏈”是以問(wèn)題的梯度優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu),搭建學(xué)生在已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和未知問(wèn)題探究之間的橋梁,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的強(qiáng)遷移,從而促進(jìn)深度學(xué)習(xí),為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達(dá)成提供路徑.

1 “問(wèn)題鏈”的設(shè)計(jì)要架構(gòu)問(wèn)題情境,厘清知識(shí)發(fā)展脈絡(luò),促進(jìn)有效生成,使本質(zhì)更突出

問(wèn)題引領(lǐng)師生交流對(duì)話是課堂教學(xué)中最常見(jiàn)的思考組織形式,是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)賴以發(fā)生的孵化器,更是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)得以維持的助推器.有效“問(wèn)題鏈”的設(shè)計(jì)則把問(wèn)題情境與教學(xué)目標(biāo)緊密連接到一起,在為學(xué)生提供高質(zhì)量的數(shù)學(xué)內(nèi)容的同時(shí),更是師生問(wèn)答境域中的“再次對(duì)話”,是問(wèn)題引領(lǐng)課堂的深度表現(xiàn),是對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的再接近,是對(duì)知識(shí)意藴的再挖掘.兩角和與差的余弦公式是三角函數(shù)的定義與性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式的延伸,也是平面向量知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用.對(duì)于“兩角和與差的余弦公式”的教學(xué),可以從學(xué)生的認(rèn)知與思維構(gòu)建的角度設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈(圖1).

圖1 “兩角和與差的余弦公式”問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)示意圖

“兩角和與差的余弦公式”的問(wèn)題鏈教學(xué)設(shè)計(jì),探究角α-β的三角函數(shù)與角α,β的三角函數(shù)之間的等量關(guān)系,讓各個(gè)主干問(wèn)題作為“學(xué)習(xí)入口”,很好地銜接了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn),促使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)形成發(fā)展的全過(guò)程,概覽“兩角和與差的余弦公式”推導(dǎo)的整體圖景,形成了學(xué)科的“大觀念”,有效厘清了“兩角和與差的余弦公式”的基本結(jié)構(gòu)與內(nèi)在聯(lián)系,達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)核心觀念的本質(zhì)理解和運(yùn)用,實(shí)現(xiàn)形數(shù)思維的靈活轉(zhuǎn)換,構(gòu)建出了“問(wèn)題引領(lǐng)-活動(dòng)探究-達(dá)成目標(biāo)”學(xué)習(xí)活動(dòng)體驗(yàn),使得學(xué)科知識(shí)生成自然、本質(zhì)突出.

2 “問(wèn)題鏈”的設(shè)計(jì)要搭建思維階梯,導(dǎo)引思維過(guò)程,消除認(rèn)知障礙,使推理更自然

“問(wèn)題鏈”教學(xué)的本質(zhì)就是圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí),教師通過(guò)從整體視角對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行解構(gòu)與設(shè)計(jì),確定高質(zhì)量的主干問(wèn)題及鋪設(shè)序列化子問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生由淺入深地建構(gòu)知識(shí)骨架體系,進(jìn)行層次化、遞進(jìn)化和高效化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),并通過(guò)臺(tái)階搭建,引發(fā)新的思維,獲得持續(xù)向前發(fā)展的動(dòng)力,逐步達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的,從而消除認(rèn)知障礙.

例如,在“基本不等式”新授課中,問(wèn)題鏈的情境創(chuàng)設(shè)借助第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)(圖2)——趙爽的弦圖談開(kāi)去.

圖2 基于趙爽“弦圖”下的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)

問(wèn)題1三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽利用“弦圖”中的面積相等關(guān)系巧妙地證明了勾股定理,你還能在“弦圖”中根據(jù)邊長(zhǎng)或面積找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系,從而得出一些等式或不等式嗎?

教師用幾何畫板展示圖3,幫助學(xué)生尋找“弦圖”中的一些相等關(guān)系或不等關(guān)系,激發(fā)學(xué)生的求知欲.

圖3 幾何畫板演示“弦圖”中的不等關(guān)系

師生活動(dòng):重要不等式——?a,b∈R,a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.

教師點(diǎn)評(píng)(特別指出重要不等式成立的條件以及a,b是可以用別的式子整體替換的).

設(shè)計(jì)意圖：為基本不等式的引出鋪墊,也為后續(xù)區(qū)別基本不等式成立的條件埋下伏筆.

追問(wèn)1:該式子要成立,需滿足什么條件呢?

基本不等式表明:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

追問(wèn)2:基本不等式和重要不等式在結(jié)構(gòu)和條件上有哪些不同點(diǎn),哪些相同點(diǎn)?

師生活動(dòng):a與b的范圍不同,式子的形式不同,應(yīng)用范圍不同.相比重要不等式,基本不等式形式更為簡(jiǎn)單,并且隨著后續(xù)的學(xué)習(xí),能感受到基本不等式應(yīng)用更加廣泛.相同點(diǎn)是等號(hào)成立的條件都是a,b相等.

問(wèn)題3我們知道,數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”是緊密聯(lián)系的,那么,“基本不等式”是否也是某種幾何關(guān)系的體現(xiàn)呢?

圖4

師生活動(dòng):如圖4,AB是圓O的直徑,C是AB上一點(diǎn),AC=a,BC=b,過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD,BD.你能利用這個(gè)圖形,得出基本不等式的幾何解釋嗎?

基于“基本不等式”問(wèn)題鏈的教學(xué)設(shè)計(jì),以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),創(chuàng)設(shè)直觀情境加深了對(duì)基本不等式的直觀感受,強(qiáng)化了“基本不等式”的三種表達(dá)形式,通過(guò)“數(shù)”與“形”的聯(lián)系,引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷定值與最值的探索活動(dòng)過(guò)程,進(jìn)而深層次挖掘應(yīng)用“基本不等式”求最值的本質(zhì),實(shí)現(xiàn)教法和學(xué)法的最優(yōu)秀組合.

3 “問(wèn)題鏈”的設(shè)計(jì)要探尋知識(shí)燃點(diǎn),積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),加深認(rèn)知體驗(yàn),使理解更高效

數(shù)學(xué)教材中的知識(shí)本質(zhì)多是寓于數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系之中,教師以問(wèn)題鏈為教學(xué)支架,圍繞教學(xué)目標(biāo)在知識(shí)體系的整體框架上進(jìn)行“問(wèn)題鏈”的設(shè)計(jì),將問(wèn)題的解決與目標(biāo)的指向相對(duì)應(yīng),分析已知與未知的關(guān)系,探尋知識(shí)燃點(diǎn),實(shí)現(xiàn)多元表征的轉(zhuǎn)化,從而將復(fù)雜的總目標(biāo)一層一層分解為簡(jiǎn)單的次目標(biāo).同時(shí),合理把握目標(biāo)間的難度、跨度、梯度及開(kāi)放度,再集中力量逐步攻克次目標(biāo),做到在內(nèi)容上環(huán)環(huán)相扣,在目標(biāo)上步步深入,促進(jìn)學(xué)生的思維走向縱深,從而加深認(rèn)知,積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

在“正方體截面的探究”的活動(dòng)中,教師借助實(shí)物模型的直觀和信息技術(shù)的運(yùn)用,面對(duì)生活中隨處可見(jiàn)裝液體的容器,引導(dǎo)學(xué)生觀察不同擺放位置、不同液體量時(shí)液體表面的形狀.結(jié)合探究活動(dòng),通過(guò)設(shè)置問(wèn)題鏈,引導(dǎo)學(xué)生從截面多邊形的邊數(shù)、邊界線的長(zhǎng)度、邊界線的位置關(guān)系,歸納截面圖形特征,總結(jié)分類原則,探索圖形的變化規(guī)律,加深對(duì)截面實(shí)質(zhì)的理解,形成解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的科學(xué)思維,學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本方法和常規(guī)思路,提升學(xué)生的理性思維,實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人的目的.

問(wèn)題1展示將有顏色的液體注入透明正方體容器,把水面當(dāng)成正方體的截面,引導(dǎo)學(xué)生觀察液體量不同時(shí),液面會(huì)發(fā)生怎樣的形狀變化呢?

追問(wèn)1:在液體量一定的情況下,對(duì)于正方體不同的擺放方式,觀察平靜液面的形狀變化,能畫出這些截面的示意圖嗎?

追問(wèn)2:觀察這些截面示意圖,說(shuō)一說(shuō)這些截面有幾類不同的形狀?

追問(wèn)3:在裝有顏色的液體的正方體中,觀察旋轉(zhuǎn)到不同方位的正方體內(nèi)液面的變化情況,試問(wèn)平靜液面的形狀存在多于六邊形的截面嗎?

問(wèn)題2通過(guò)正方體液面的形狀變化,說(shuō)說(shuō)截得這些形狀截面的方法.如果按照邊數(shù)進(jìn)行分類,這些截面圖形可以歸納為幾類?(如表1.)

表1 “正方體截面的探究”活動(dòng)案例截面形狀

追問(wèn)4:如果正方體截面的形狀是三角形,能截出幾類不同形狀的三角形(分別按邊、角分類)?如何截取?

追問(wèn)5:截出的三角形一定是銳角三角形嗎?試證明.

追問(wèn)6:指出截出最大面積的三角形截面,說(shuō)一說(shuō)如何截取?

追問(wèn)7:如果截面的形狀是四邊形,能截出幾類不同形狀的四邊形(分別按邊、角分類)?如何截取?

追問(wèn)8:截出的四邊形可以是直角梯形嗎?試證明.

追問(wèn)9:還能截出哪些多邊形?能截出正五邊形嗎?試證明.

追問(wèn)10:是否存在正六邊形的截面?為什么?

結(jié)合“幾何畫板”的演示,進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察、驗(yàn)證自己的猜想,歸納截面圖形特征,總結(jié)圖形分類原則,體驗(yàn)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程,積累圖形變化活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),理解數(shù)學(xué)的本質(zhì),以及邏輯性、層次性和整體性.

問(wèn)題3已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在的直線與平面α所成的角都相等,則平面α截此正方體所得截面面積的最大值為( ).

通過(guò)問(wèn)題鏈的設(shè)置,啟發(fā)學(xué)生從截面多邊形的邊數(shù)、邊界線的長(zhǎng)度、邊界線的位置關(guān)系來(lái)研究截面的性質(zhì),直觀感受正方體截面的形狀大小變化(圖5),經(jīng)歷“確定對(duì)象—探究性質(zhì)—論證判斷”的研究過(guò)程,學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本方法和常規(guī)思路,加深對(duì)截面實(shí)質(zhì)的理解,實(shí)現(xiàn)“直觀”在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的重構(gòu),從而實(shí)現(xiàn)思維的可視化.積累從具體到抽象的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),增強(qiáng)正方體模型意識(shí),初步了解如何通過(guò)運(yùn)算定量描述位置特征關(guān)系,提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).

圖5 正方體棱與平面α所成的角都相等的截面示意圖

總之,問(wèn)題是驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考、引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的重要載體,是思維的起爆器.問(wèn)題鏈因其強(qiáng)調(diào)為學(xué)生提供思維脈絡(luò)而成為促進(jìn)學(xué)生思維進(jìn)階的重要途徑.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施中,如何架構(gòu)與應(yīng)用問(wèn)題鏈,使之能有效促進(jìn)學(xué)生的思維進(jìn)階,讓學(xué)生自覺(jué)成為學(xué)習(xí)的主體,較好地起到啟學(xué)引思、導(dǎo)學(xué)導(dǎo)教的作用?這就需要在問(wèn)題鏈的教學(xué)設(shè)計(jì)中從目標(biāo)問(wèn)題出發(fā),設(shè)置探尋導(dǎo)向目標(biāo)問(wèn)題的問(wèn)題序列,解決目標(biāo)間的邏輯盲區(qū),處理好預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系,將大問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)個(gè)層次遞進(jìn)的小問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上依次突破小目標(biāo),建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu),最終實(shí)現(xiàn)教學(xué)大目標(biāo),讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生.