吳志玲

? 江蘇省宜興巿丁蜀高級中學(xué)

輔助角公式是歷年高考的一個基本考點與命題熱點,是三角恒等變換及其相關(guān)應(yīng)用過程中一個非常重要且基本的技巧方法.借助三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變形與轉(zhuǎn)化,巧妙利用輔助角公式將復(fù)雜的三角函數(shù)問題化為簡單的三角函數(shù)問題,綜合應(yīng)用正弦型或余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)實現(xiàn)問題的突破與解決.而輔助角公式源于高中數(shù)學(xué)教材,教材中又沒有明確給出對應(yīng)的公式,因此要合理加以歸納總結(jié),便于綜合應(yīng)用.

1 源于教材

例題〔人教A版《數(shù)學(xué)(必修第一冊)》“5.5三角恒等變換”中第227頁例9〕求下列函數(shù)的周期,最大值和最小值:

2 公式展現(xiàn)

以上例題的處理方式就是逆用和(差)角公式,將y=asinx+bcosx(ab≠0)轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)y=Asin(x+φ)的形式,利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來分析與轉(zhuǎn)化.

這就是三角函數(shù)中的輔助角公式:

輔助角公式在現(xiàn)行教材中沒有明確說明,形如“asinx+bcosx”的三角式子是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的一類三角函數(shù)結(jié)構(gòu)式,其實際應(yīng)用非常廣泛、多變.

3 高考鏈接

一般對形如y=asinx+bcosx(ab≠0)或y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x(abc≠0)的三角函數(shù)式的化簡、求值以及變換問題,往往都需要借助三角函數(shù)的輔助角公式,巧妙將兩項或三項合為一項,再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識來分析與處理.特別在近年高考中,輔助角公式的應(yīng)用也是非常常見的一類應(yīng)用技巧與方法.

3.1 判斷性問題

A.tan(α+β)=1 B.tan(α+β)=-1

C.tan(α-β)=1 D.tan(α-β)=-1

解析：由題中條件,利用輔助角公式可得

故選擇答案:D.

點評：根據(jù)題設(shè)條件,結(jié)合三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,綜合整體思想,借助輔助角公式、兩角和與差公式等的靈活應(yīng)用,對相應(yīng)的三角關(guān)系式進行化簡與變形,進而求得對應(yīng)角的關(guān)系式的值,再進行三角函數(shù)求值與判斷.靈活應(yīng)用三角恒等變換公式,結(jié)合角的關(guān)系式的整體思維來應(yīng)用,是問題解決的關(guān)鍵.

3.2 求值問題

點評：根據(jù)題設(shè)條件,結(jié)合誘導(dǎo)公式的應(yīng)用以及等式的恒等變形,利用三角函數(shù)的輔助角公式加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,確定對應(yīng)的角的值,并利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式來分析與求解.化為同角,輔助角引入,由三角函數(shù)值求角,綜合誘導(dǎo)公式應(yīng)用,也是三角函數(shù)求值的一種常用技巧方法.

3.3 求角問題

解析：由B=150°,得A+C=180°-B=30°.

而0°

點評：在三角函數(shù)的求角過程中,經(jīng)常利用三角恒等變換公式來建立一些相關(guān)的三角函數(shù)關(guān)系式,而其中輔助角公式也是一個非常常見的工具,在三角函數(shù)與求角之間,構(gòu)建合理且巧妙的橋梁.特別地在具體求角的大小或關(guān)系時,要注意相關(guān)角的取值范圍的限制,不能盲目求解,容易產(chǎn)生錯解.

3.4 值域問題

故選擇答案:C.

點評：解決簡單一次型三角函數(shù)的最值問題,借助三角函數(shù)的有界性,可以直接轉(zhuǎn)化為閉區(qū)間[-1,1]上的一次函數(shù)的最值問題.根據(jù)題目條件,運用三角公式合理變形轉(zhuǎn)化,巧妙轉(zhuǎn)化為正弦型(或余弦型)函數(shù)是破解此類問題的關(guān)鍵所在.

3.5 開放性問題

高考真題5(2020年高考數(shù)學(xué)北京卷·14)若函數(shù)f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值為2,則常數(shù)φ的一個取值為______.

點評：涉及三角函數(shù)的最大值問題,直接聯(lián)想到正弦型或余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì),而通過三角恒等變換公式,并借助輔助角公式來轉(zhuǎn)化是破解的常見思維.此方法常規(guī),也是破解此類問題第一時間想到的.

4 教學(xué)啟示

4.1 回歸教材,高于教材

正確回歸教材,挖掘教材中涉及輔助角公式的例(習(xí))題的應(yīng)用.輔助角公式在教材中雖未以公式的形式出現(xiàn),但其應(yīng)用廣泛,常用它對三角函數(shù)關(guān)系式進行等價變形與轉(zhuǎn)化,處理三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換和解三角形等問題.

在平時數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中,在充分利用教材的同時,要合理歸納,源于教材又要高于教材,正確總結(jié)性質(zhì)與規(guī)律,以方便更進一步的綜合與應(yīng)用.

4.2 歸納類型,綜合應(yīng)用

涉及輔助角公式的應(yīng)用問題,關(guān)鍵是構(gòu)造相關(guān)的主角,利用輔助角公式,構(gòu)建與之對應(yīng)的三角函數(shù)關(guān)系式是目的,由此解決一些相關(guān)三角函數(shù)的判斷、求值、求角、最值或取值范圍以及開放性應(yīng)用等問題.其應(yīng)用廣泛,在歷屆高考中也頻頻出現(xiàn),倍受命題者青睞,因此在平時教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中應(yīng)予以高度重視.