蘇曉宇

? 浙江省杭州市第七中學(xué)

1 試題回顧

(2023全國卷Ⅰ,21)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8,由抽簽決定第1次投籃的人選,第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2次投籃的人是乙的概率;

(2)求第i次投籃的人是甲的概率;

這道題是概率和數(shù)列結(jié)合的問題.此題出現(xiàn)在次壓軸的位置,在創(chuàng)新和應(yīng)用方面都有所考查,區(qū)分度強,三個小問層層遞進,上一問均對下一問的解答有輔助作用.第(2)問深入考查了全概率公式,其本質(zhì)上是機器學(xué)習(xí)理論“馬爾可夫鏈”的模型,這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)理論的統(tǒng)一性.第(3)問本質(zhì)上是“期望的線性性質(zhì)”.

筆者對本題第(2)問和第(3)問進行了研究,一題多解,除高中的概率與數(shù)列結(jié)合的方法外,還提供了比較簡潔的高等數(shù)學(xué)方法.

2 思維導(dǎo)圖

第(2)(3)問的思維導(dǎo)圖分別如圖1、圖2所示.

圖1

圖2

3 多維視角,解法探究

3.1 第(2)問的解法探究

思路1：全概率公式,分析遞推.

在第(1)問的基礎(chǔ)上,進一步分析,發(fā)現(xiàn)第i+1次投籃的人是甲只依賴于第i次投籃的情況.第i+1次投籃的人是甲可分為兩種情況:第i次投籃的人是甲,第i+1次投籃的人也是甲;第i次投籃的人是乙,第i+1次投籃的人是甲.

根據(jù)全概率公式,有

P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi).

①

根據(jù)基本事實,第i次投籃的人不是甲就是乙,即滿足P(Bi)=1-P(Ai).

更簡單地,我們記P(Ai)=pi,則P(Bi)=1-pi.

那么,①式可寫作

pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2.

通過以上分析,可以得出數(shù)列的遞推式.問題轉(zhuǎn)化為已知一階線性遞推式求數(shù)列的通項.以下提供三種思路:

(Ⅰ)同除法

對于遞推式pi+1=0.4pi+0.2,兩邊同除以0.4i+1,可得

②

采用累加法,即

qi=q1+(q2-q1)+(q3-q2)+……+(qi-qi-1).

(Ⅱ)配湊法

(Ⅲ)作差法

pi+1=0.4pi+0.2,i∈N*,

③

pi=0.4pi-1+0.2,i≥2.

④

③-④,得

pi+1-pi=0.4(pi-pi-1).

不妨令ri=pi+1-pi,則ri=0.4ri-1,即{ri}為等比數(shù)列.

又r1=p2-p1,由(1)可知p1=0.5,p2=1-0.6=0.4,則r1=-0.1,所以ri=0.4i-1×(-0.1).

所以pi+1-pi=0.4i-1×(-0.1).

采用累加法,當(dāng)i≥2時,可得

思路2：數(shù)形結(jié)合,直觀遞推.

設(shè)第n次甲投籃的概率為an,第n次乙投籃的概率為bn.根據(jù)題意列出第n次投籃到第n+1次投籃的狀態(tài)轉(zhuǎn)移,如圖3所示.

圖3

易得到遞推關(guān)系式

an+1=0.6an+0.2bn.

⑤

結(jié)合基本事實an+bn=1,代入⑤式整理可得an+1=0.4an+0.2.之后的做法同思路1.

思路3：馬爾可夫,一招制勝.

參考《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》、《普通高中數(shù)學(xué)選修4-9》(人教版)中馬爾可夫鏈的相關(guān)知識,依據(jù)第(2)問的分析,對照相關(guān)系數(shù)寫出概率轉(zhuǎn)移矩陣

由題干信息“由抽簽決定第1次投籃的人選,第一次是甲、乙的概率各為0.5”,不難得出本題的初始狀態(tài)π(1)=(0.5 0.5).

3.2 第(3)問的解法探究

思路1：利用定義,代入公式.

由(2)得,第i次投籃是甲的概率為

表1

思路2：利用結(jié)論,突出本質(zhì).

由(2)得,第i次投籃是甲的概率為

設(shè)在第i次投籃中甲的投籃次數(shù)為Yi,則Yi服從兩點分布,且

P(Yi=1)=1-P(Yi=0)=pi.

由題干中給出的結(jié)論,則

4 追根求源,探索本質(zhì)

4.1 新教材溯源

本題源自人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三“7.1.2全概率公式”第一節(jié),上文中解題過程應(yīng)用了全概率公式的思想,它為我們確認后一個狀態(tài)與之前一個或幾個狀態(tài)之間的遞推關(guān)系提供了思路.

在新教材人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三第91頁復(fù)習(xí)參考7提供的“拓展探索”第10題中,出現(xiàn)了以下馬爾可夫鏈問題:

甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練,第1次由甲將球傳出,每次傳球時,傳球者都等可能地將球傳給另外兩人中的任何一人,求n次傳球后球在甲手中的概率.

這是一個三狀態(tài)的馬爾可夫鏈問題,為解決此問題,我們設(shè)第n次傳球后,球在甲手中的概率為an,球在乙手中的概率為bn,球在丙手中的概率為cn.由于第n次傳球后球在甲手中由兩種情況構(gòu)成:第n-1次傳球后球在乙手中,或第n-1次傳球后球在丙手中.結(jié)合全概率公式,可以列出

⑥

⑦

⑧

對比計算過程可知,三狀態(tài)的馬爾可夫鏈問題的計算用傳統(tǒng)方法非常復(fù)雜,而直接采用馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣法過程更為明確和簡潔.

4.2 過往考題溯源

2023年杭州二模概率統(tǒng)計大題摘錄:

假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲,每一局賭徒賭贏的的概率為50%,且每局賭贏可以贏得1元,每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?0%,且賭輸就要輸?shù)?元,賭徒就會一直玩下去,直到遇到如下兩種情況才會結(jié)束賭博游戲:一種是手中賭金為0元,即賭徒輸光;一種是賭金達到預(yù)期的B元,賭徒停止賭博.記賭徒的本金為A(A∈N*,A

圖4

當(dāng)賭徒手中有n元(0≤n≤B,n∈N)時,最終輸光的概率為P(n),請回答下列問題:

(1)請直接寫出P(0)和P(B)的值;

(2)證明{P(n)}是等差數(shù)列,并寫出公差d.

5 解題感悟,引導(dǎo)教學(xué)

近年來的新高考中,許多概率統(tǒng)計類題目考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力,以及創(chuàng)新應(yīng)用能力.隨著大數(shù)據(jù)時代的到來,概率與統(tǒng)計在應(yīng)用方面體現(xiàn)出獨特的價值.如近年來考查的馬爾可夫鏈實際上是人工智能與機器學(xué)習(xí)的前沿內(nèi)容.筆者通過挖掘本題的求解過程及研究近幾年新高考概率統(tǒng)計類題目,得出如下兩點教學(xué)啟示.

(1)本題源于教材,高于教材,因此在復(fù)習(xí)中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生重視教材中知識點的掌握及教材課后習(xí)題的挖掘.高考題中概率統(tǒng)計類選擇題、填空題多數(shù)為學(xué)生常見的經(jīng)典試題,因此,我們在復(fù)習(xí)中應(yīng)回歸課標(biāo)、教材,喚醒核心知識.

(2)馬爾可夫鏈?zhǔn)歉怕收摵徒y(tǒng)計學(xué)的重要模型,在實際生活中應(yīng)用廣泛,如天氣預(yù)測、股票市場分析、自然語言處理等.在高考中多次出現(xiàn)此類問題并不意味著學(xué)生要去學(xué)習(xí)大學(xué)統(tǒng)計模型,而是要讓學(xué)生體會統(tǒng)計與生活的密切聯(lián)系,教師在教學(xué)中應(yīng)滲透統(tǒng)計思想,激發(fā)學(xué)生對概率統(tǒng)計的學(xué)習(xí)興趣.通過對這類題目深入淺出的講解,適當(dāng)拓寬學(xué)生的視野,促進學(xué)生對統(tǒng)計思想的理解和掌握;也可適當(dāng)利用計算機進行編程實現(xiàn)問題求解,培養(yǎng)高中生的計算機編程能力.