葉超，蔣漢軍，劉富豪，王文明，張介祿

（1.青島理工大學 機械與汽車工程學院，山東 青島 266520；2.山東溫嶺精鍛科技有限公司，濟南 271104；3.江蘇泰隆減速機股份有限公司，江蘇 泰州 255400）

滾動軸承是旋轉機械中起支承、旋轉作用的重要部件，具有摩擦阻力小、轉速高、結構緊湊和精度高等特點，廣泛應用于諸多工程領域［1］。在軸承實際運行過程中，滾動體與滾道之間的接觸條件會發(fā)生變化，導致滾動體承受的載荷受其接觸變形的影響。文獻［2］利用赫茲接觸理論計算了雙列軸承鋼球與溝道接觸時的應力與變形，并進行了靜力學分析；文獻［3］研究了加速工況下游隙、內圈質量和角加速度對滾動體動態(tài)載荷的影響；文獻［4］分析了不同工況下油膜和滾動體離心力對軸承徑向剛度的影響。為使振動特性的結果更接近于實際，許多學者將滾動體承受的載荷引入動力學模型以分析其對振動特性的影響［5?6］。

同時，軸承不可避免會出現(xiàn)各種故障，導致軸承振動的變化和噪聲的產(chǎn)生，對設備造成極大影響，對軸承故障的研究也格外重要。文獻［7?8］在考慮加工精度影響的基礎上研究了制造誤差和內、外圈滾道波紋度對軸承振動特性的影響；文獻［9?11］研究了內、外圈滾道和保持架磨損對軸承振動特性的影響；文獻［12?13］使用Volterra 核函數(shù)法研究了鋼球磨損對軸承時、頻域振動的影響；文獻［14?15］研究了內、外圈滾道和滾動體的局部剝落、點蝕對軸承振動特性的影響。

上述研究未考慮內圈中心偏移和滾動體均勻磨損對軸承振動特性的影響，因此，本文以深溝球軸承為例，基于赫茲接觸理論推導考慮內圈中心偏移影響的軸承總接觸變形，建立考慮鋼球均勻磨損影響的滾動軸承動力學模型，并分析單一鋼球在不同磨損程度下對軸承振動特性的影響。

1 考慮軸承內圈中心偏移與鋼球均勻磨損的滾動軸承動力學模型

1.1 考慮內圈中心偏移影響的鋼球接觸變形

如圖1 所示，在徑向力作用下，軸承內圈將沿水平和豎直方向產(chǎn)生振動位移x和y，兩者的共同作用會導致內圈中心發(fā)生偏移，并使赫茲接觸法線圍繞鋼球和外圈接觸點A轉動一定的角度φj′。

圖1 考慮軸承內圈中心偏移影響的鋼球接觸變形Fig.1 Contact deformation of steel ball considering influence of center offset of bearing inner ring

通常，第j個鋼球在任意位置角φj處的總接觸變形為

軸承內圈在實際運轉過程中受到振動的影響，中心將由點O移動到點O1，（1）式仍以點O為基準計算接觸變形是不準確的。因此，本文以第j個鋼球為研究對象進行受力分析，則考慮軸承內圈中心偏移的總接觸變形為

式中：Gr為軸承徑向游隙；Dw為球徑；F，E分別為軸承內、外溝道的直徑；Z為鋼球數(shù)；cj為內圈發(fā)生振動位移后內圈中心與鋼球和外圈接觸點A的實際距離；a為初始條件下軸承中心O與鋼球和外圈接觸點A的距離；b為總振動位移；φj為鋼球在t時刻的轉動角度；γ為總振動位移方向與水平方向的夾角；φ0為鋼球初始位置角；ωc為保持架角速度。

1.2 鋼球的承載

結合鋼球的接觸變形，根據(jù)軸承動力學分析和赫茲接觸理論，在準靜態(tài)條件下將承載區(qū)中鋼球所受到的載荷相加即可得到軸承在變形方向上的總載荷。滾動軸承任意一個鋼球在水平、豎直方向所承受的載荷分別為

式中：Ks為鋼球與內、外溝道之間的總接觸剛度，取決于材料的接觸幾何形狀和彈性接觸；Ki，Ke分別為鋼球與內、外溝道之間的接觸剛度；k為橢圓參數(shù)；Γ，Ψ 分別為第一、第二類完全橢圓積分；E*為等效彈性模量；∑ρ為鋼球與內、外溝道接觸副的曲率和［16］；H（δj）為Heaviside 函數(shù)；βj為鋼球總接觸變形方向與水平方向的夾角。

在傳統(tǒng)模型中，βj近似等于鋼球在t時刻的轉動角度φj，由于軸承內圈中心偏移會導致其與鋼球之間的中心距發(fā)生變化，進而導致赫茲接觸法線方向圍繞鋼球和軸承外圈接觸點A轉動一定的角度φj′。如圖1 所示，設鋼球H 為以O為原點的坐標系[γ，γ+ π]內的任一鋼球，βH=φH+φH′；而鋼球G 為位于該坐標系[γ?π，γ]內的任一鋼球，βG=φG?φG′。當y≥0時，

當y＜0時，

則赫茲接觸法線方向圍繞鋼球與外圈接觸點A轉動的角度φj′可表示為

綜上，所有鋼球在水平、豎直方向承受的總載荷為

1.3 考慮均勻磨損鋼球的承載

以第j個鋼球為研究對象，當其發(fā)生均勻磨損且磨損量為δw時，該鋼球的實際直徑為

其在任意位置角φj處的總接觸變形為

則發(fā)生均勻磨損的第j個鋼球在水平、豎直方向上所承受的載荷為

鋼球發(fā)生均勻磨損后，軸承所有鋼球承受的總載荷為

式中：n為載荷?變形指數(shù)，對于球軸承，n=1.5。

2 滾動軸承動力學模型

綜合考慮滾動軸承的內部阻尼、振動特性以及鋼球均勻磨損影響，假設鋼球等距分布在軸承內部進行純滾動運動，不考慮潤滑油膜的作用，將鋼球與內、外溝道間的接觸簡化為彈簧?阻尼系統(tǒng)，建立如圖2所示的滾動軸承動力學模型。

圖2 滾動軸承的集中彈簧?質量模型Fig.2 Concentrated spring?mass model of rolling bearing

根據(jù)滾動軸承的集中彈簧?質量模型建立兩自由度滾動軸承系統(tǒng)的動力學方程，即

式中：m為軸承內圈和軸的總質量；c為軸承的阻尼系數(shù)；?，?分別為軸承內圈在水平、豎直方向的振動加速度；x?，y?分別為軸承內圈在水平、豎直方向的振動速度；Fx，F(xiàn)y分別為軸承內圈在水平、豎直方向所承受的徑向力。

3 結果分析

基于考慮軸承內圈中心偏移的滾動軸承動力學模型，以6008 型深溝球軸承為例研究鋼球均勻磨損對軸承系統(tǒng)振動特性的影響。選取軸承系統(tǒng)水平、豎直方向的徑向力Fx＝3 kN，F(xiàn)y＝5 kN，轉速ns＝1000 r/min，軸承的相關參數(shù)見表1。為研究軸承系統(tǒng)振動特性的影響，采用龍格?庫塔方法求解軸承系統(tǒng)動力學方程。令tb為一個鋼球從初始位置移動到下一個鋼球初始位置所需的時間，則量綱一化的時間T=t/tb。

表1 6008型深溝球軸承的相關參數(shù)Tab.1 Relevant parameters of 6008 deep groove ball bearing

3.1 模型對比

考慮軸承內圈中心偏移影響的模型與傳統(tǒng)模型［7］的振動位移、振動加速度和內圈中心軌跡的對比如圖3—圖5 所示：本文所建模型的振動位移大于傳統(tǒng)模型，而振動加速度則略小于傳統(tǒng)模型，這是由于考慮內圈中心偏移影響后得到的實際總接觸變形大于傳統(tǒng)模型，導致軸承在水平、豎直方向上所有鋼球承受的總載荷增大，基于力的平衡原理，本文所建模型的振動加速度振幅略?。涣硗?，由于內圈偏移產(chǎn)生了夾角φj′，由本文模型得到的內圈中心軌跡發(fā)生了更大的偏移。

圖3 兩種模型的振動位移對比Fig.3 Comparison of vibration displacement between two models

圖4 兩種模型的振動加速度對比Fig.4 Comparison of vibration acceleration between two models

圖5 兩種模型的內圈中心軌跡Fig.5 Inner ring center trajectory of two models

3.2 鋼球均勻磨損對軸承振動特性的影響

通過改變軸承中某個鋼球的磨損量δw，將發(fā)生鋼球磨損的軸承與正常軸承進行對比，分析鋼球均勻磨損對滾動軸承振動特性的影響。

某個鋼球發(fā)生均勻磨損的情況下，軸承的振動位移、振動速度分別如圖6、圖7 所示：當發(fā)生均勻磨損的鋼球進入承載區(qū)時，水平、豎直方向上的振動位移分別呈現(xiàn)先凸后凹和先凹后凸的趨勢，鋼球離開承載區(qū)后，振動位移的振幅才恢復正常，這是由于軸承受內圈振動的影響，在磨損鋼球進入、離開承載區(qū)時會受到較大的沖擊，導致振動位移變化較大；同理，當磨損鋼球進入、離開承載區(qū)時，振動速度也產(chǎn)生了較大的波動。

圖6 考慮鋼球均勻磨損對于軸承振動位移的影響Fig.6 Influence of uniform wear of steel ball on vibration displacement of bearing

圖7 考慮鋼球均勻磨損對于軸承振動速度的影響Fig.7 Influence of uniform wear of steel ball on vibration velocity of bearing

考慮均勻磨損鋼球的軸承系統(tǒng)的振動速度頻域圖如圖8 所示：當鋼球無磨損時，頻域圖中主要存在鋼球通過頻率fb及其倍頻；當鋼球存在均勻磨損時，會導致故障頻率（保持架轉動頻率fc）及其倍頻的出現(xiàn)；同時，由于保持架轉動頻率的調制作用，鋼球通過頻率附近會出現(xiàn)明顯的邊頻帶，如fb?fc和fb+fc等。

圖8 考慮鋼球均勻磨損對于軸承振動速度影響的頻域圖Fig.8 Influence of uniform wear of steel ball on frequency domain diagram of vibration velocity of bearing

軸承某個鋼球所承受載荷的變化如圖9所示：由于鋼球所承受載荷的方向變化和振動位移的影響，當鋼球進入承載區(qū)時，其在水平、豎直方向上所承受的載荷分別呈現(xiàn)由凸到凹和由凹到凸的變化趨勢，并且載荷方向為負的時間在經(jīng)過整個承載區(qū)的時間中占比較少。

圖9 單一鋼球所受到的載荷變化Fig.9 Changes of loads acting on single steel ball

3.3 不同磨損程度的鋼球對軸承振動特性的影響

不同磨損程度鋼球與內、外溝道之間接觸剛度的變化如圖10所示：隨著鋼球磨損量的增加，發(fā)生均勻磨損的鋼球的直徑減小，導致鋼球在軸承徑向和軸向平面的主曲率增大，進而導致Ki，Ke和Ks減小，因此接觸剛度呈線性減小的趨勢。

圖10 鋼球不同磨損程度的接觸剛度的變化Fig.10 Changes of contact stiffness under different wear degrees of steel ball

鋼球不同磨損程度時，軸承振動位移的幅值變化如圖11 所示：隨著鋼球磨損量的變化，水平、豎直方向上振動位移的最大值逐漸增大，最小值則逐漸減??；當磨損量達到15 μm 時豎直方向振動位移的最小值不再減小，當磨損量超過16 μm時水平方向振動位移的最小值也不再減少，即該鋼球在載荷為負值的承載區(qū)（圖9）時不再與內圈接觸；當磨損量分別超過25，27 μm 時，該鋼球在水平、豎直方向上不再與內圈接觸并承載，即鋼球磨損量超過27 μm時失去了支承作用。

圖11 鋼球不同磨損量下振動位移的幅值變化Fig.11 Amplitude changes of vibration displacement under different wear amounts of steel ball

4 結論

在考慮內圈中心偏移和鋼球均勻磨損的影響下，提出了深溝球軸承鋼球接觸變形的計算方法并建立了綜合考慮滾動軸承內部阻尼、振動特性和鋼球均勻磨損影響的滾動軸承動力學模型，通過分析鋼球均勻磨損對軸承振動特性的影響并與傳統(tǒng)模型進行對比，可得出以下結論：

1）與傳統(tǒng)模型相比，考慮軸承內圈中心偏移影響模型的振動位移更大，得到的軸承內圈中心軌跡也發(fā)生了更大的偏移。

2）軸承某個鋼球發(fā)生均勻磨損會導致承載區(qū)內的振動位移振幅增大，振動速度也隨之發(fā)生變化，磨損鋼球所承受的載荷會減小，同時導致故障頻率及其倍頻以及鋼球通過頻率兩側邊頻帶的出現(xiàn)。

3）隨著鋼球磨損量的增大，鋼球與內、外溝道的接觸剛度和總接觸剛度呈線性減小的趨勢，滾動軸承振動位移的幅值也隨之增大，當鋼球磨損量達到一定程度后不再與內圈發(fā)生接觸并承載。