□文/黃麗燕

（廣州大學(xué)經(jīng)濟(jì)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 廣東·廣州）

［提要］ 本文使用日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)對(duì)PGARCH 模型進(jìn)行估計(jì)：根據(jù)日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)構(gòu)造的波動(dòng)率代表，探究PGARCH 波動(dòng)率模型的擬極大似然估計(jì)（QMLE）及其漸近分布。模擬研究和實(shí)證分析表明：基于高頻數(shù)據(jù)的QMLE 可以減小參數(shù)估計(jì)的方差，有效地提高估計(jì)效率。

引言

波動(dòng)率作為衡量標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)程度的指標(biāo)，是金融學(xué)中的重要概念。準(zhǔn)確衡量和預(yù)測(cè)波動(dòng)率的大小一直是金融市場(chǎng)的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。在傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)中，期權(quán)定價(jià)理論假設(shè)了波動(dòng)率是一個(gè)常數(shù)，Engle（1982）提出的自回歸條件異方差（ARCH）模型則打破了該假設(shè)。在此基礎(chǔ)上，為了解決ARCH 模型參數(shù)限制多和估計(jì)困難的問(wèn)題，Bollerslev（1986）提出了廣義自回歸條件方差（GARCH）模型。此后，越來(lái)越多的GARCH 族模型廣泛應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)管理、資產(chǎn)配置和投資策略等方面。例如，毛春元和余家華（2013）基于TGARCH 模型對(duì)中國(guó)石油天然氣集團(tuán)公司股票收益率進(jìn)行了風(fēng)險(xiǎn)度量。Coenraad 和Sven（2017）將GJR-GARCH 模型和EGARCH 模型應(yīng)用于南非TOP40 指數(shù)的期權(quán)定價(jià)。Nugroho（2019）應(yīng)用GARCH-M 模型對(duì)道瓊工業(yè)指數(shù)的時(shí)變波動(dòng)率進(jìn)行了建模。本文中討論的PGARCH 模型，既是對(duì)GARCH 模型在冪次項(xiàng)上的變形，也是由Hwang（2004）提出的PTGARCH（1，1）模型的一種特殊情況。PGARCH 模型增加了波動(dòng)率的冪次項(xiàng)是一個(gè)待估參數(shù)的設(shè)定，具體模型如下：

其中，待估參數(shù)δ＞0，ω＞0，α＞0，β＞0。 rn表示某標(biāo)的資產(chǎn)第n 天的日收益率。σn表示第n 天的波動(dòng)率，用于衡量資產(chǎn)波動(dòng)大小，是一個(gè)非負(fù)的不可觀測(cè)的變量。｛zn｝是一組期望為0、方差為1 的獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列，且zn獨(dú)立于σs（s＜n）。

隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展，高頻數(shù)據(jù)在金融業(yè)和其他領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。為了提高參數(shù)估計(jì)精度，Visser（2011）利用高頻數(shù)據(jù)來(lái)研究基于波動(dòng)率代表的GARCH 模型的擬極大似然估計(jì)（QMLE），這為如何使用日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)對(duì)波動(dòng)率建模提供了新途徑。Fan（2017）將日內(nèi)數(shù)據(jù)植入周期GARCH 模型用于季節(jié)性波動(dòng)研究和建模。Podobnik（2004）使用一分鐘頻率的高頻數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)ARCH-GARCH 模型建模?；谏鲜鲅芯?，本文將運(yùn)用高頻數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)造波動(dòng)率代表從而對(duì)PGARCH 模型進(jìn)行QMLE 估計(jì)，同時(shí)探究參數(shù)估計(jì)的精度是否有所提升。

一、PGARCH 模型分析

（一）尺度模型。日頻的PGARCH 模型是一個(gè)離散的隨機(jī)模型，記錄了每日的波動(dòng)率和收益率數(shù)據(jù)。為了植入高頻數(shù)據(jù)，需要建立一個(gè)連續(xù)的日內(nèi)收益過(guò)程，參考Visser（2011）構(gòu)建尺度模型：首先將交易日的交易時(shí)間單位化到區(qū)間［0，1］上，u 記為交易時(shí)間，u∈［0，1］；接著把模型（1）中的離散日收益過(guò)程拓展為連續(xù)的日內(nèi)收益過(guò)程Rn（u），記錄每天的日內(nèi)收益率；從模型（1）、模型（2），得到以下尺度模型：

可以看出，整合了高頻信息的尺度模型（3）～（4）保留了日頻PGARCH 模型（1）～（2）相似的結(jié)構(gòu)形式，并且當(dāng)u=1，Rn（1）=rn，Zn（1）=zn，尺度模型即轉(zhuǎn)化為了日頻模型（1）～（2）。Zn（u）依然是期望為0 的、方差為1 的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，并獨(dú)立于σs（s＜n）。

（二）波動(dòng)率代表。為了更好地估計(jì)參數(shù)，需要進(jìn)一步加工日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)。一種可行的方法是引入波動(dòng)率代表。波動(dòng)率代表是關(guān)于日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)的一元函數(shù)，常見(jiàn)的波動(dòng)率代表有已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率和日內(nèi)價(jià)格極差。一般來(lái)說(shuō)，波動(dòng)率代表是非負(fù)的且滿足正齊性，即存在非零常數(shù)α 和日內(nèi)收益率Rn（u）滿足：

考慮到每個(gè)交易日的波動(dòng)率是唯一確定的，可以視為常數(shù)，則由波動(dòng)率代表的正齊性及尺度模型（3）和模型（4）得：

那么，整合了高頻信息的波動(dòng)率代表模型可以寫(xiě)為：

其中，μ＞0，Z*n是經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化的獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列，E（Z*2n）=1。比較模型（1）～（2）和模型（8）～（9），二者有著相似的結(jié)構(gòu)形式。前者恰好是后者的一個(gè)特例，當(dāng)Hn=|rn|時(shí)，模型（8）～（9）可以寫(xiě)成模型（1）～（2）的形式。前者的待估參數(shù)為θ=（δ，ω，α，β）′，后者的待估參數(shù)為θ*=（δ*，ω*，α*，β*）′ ，二者之間有以下數(shù)量關(guān)系：

二、參數(shù)估計(jì)

（一）擬極大似然估計(jì)。在進(jìn)行模型（8）～（9）的估計(jì)前，記其參數(shù)真值為θ*0=（δ*0，ω*0，α*0，β*0）′ 。參考Pan（2008）和Visser（2011），對(duì)模型（8）～（9）采用擬極大似然估計(jì)，得到的擬條件對(duì)數(shù)似然函數(shù)及估計(jì)量（QLME）分別如下：

根據(jù)Pan（2008），為了證明QMLE 估計(jì)具有一致性和漸近正態(tài)性，需要做出以下基本假設(shè)：

1、Z*n服從非退化的對(duì)稱分布，且存在某些△＞0 使得E|Zn|△＜+∞和對(duì)于任何的μ＞0 有

2、參數(shù)空間Θ 是R4上的緊湊子集，θ*是Θ 的內(nèi)點(diǎn)。對(duì)于所有的θ*∈Θ，都有李雅普諾夫指數(shù)γ（θ*）＜0。

3、E（Z*2n）=1，且EZ*4n＜∞。

由此可得θ^*的漸近分布：

進(jìn)一步計(jì)算似然函數(shù)對(duì)待估參數(shù)的一階偏導(dǎo)和二階偏導(dǎo)：

由于Z*n與σ*n獨(dú)立，E（Z*2n）=1，結(jié)合式（8），矩陣A0和B0內(nèi)的元素為：

從而，漸近方差陣∑*=A-10B0A-10=Var（Z*2n）G（θ*0）-1。計(jì)算矩陣G-1中需要的參數(shù)偏導(dǎo)：

記參數(shù)θ^*=（δ^*，ω^*，α^*，β^*）′的漸近方差為（σ*2δ，σ*2ω，σ*2α，σ*2β，）′，那么模型（3）～（4）的參數(shù)θ^=（δ^，ω^，α^，β^）′的漸近分布分別為：

（二）日頻參數(shù)θ＝（δ，ω，α，β）′的估計(jì)。由QMLE 方法估計(jì)得到PGARCH 模型參數(shù)的估計(jì)值θ^*=（δ^*，ω^*，α^*，β^*）′，結(jié)合公式（10），即可得到θ的估計(jì)。此時(shí)，需要計(jì)算μ。由等式σ*n=σnμ 可得μ 的一個(gè)估計(jì)量：

使用不同的波動(dòng)率代表，估計(jì)得到的參數(shù)精度是有所差異的。針對(duì)這種情況，Visser（2011）提供了一個(gè)估計(jì)效率的判別策略：估計(jì)方法的好壞由模型的殘差項(xiàng)Z*2n決定，當(dāng)殘差項(xiàng)方差越小，參數(shù)估計(jì)的方差也越小，估計(jì)越有效。而Z*2n方差大小與MH 值的大小成正比關(guān)系。

考慮到σ*n和Z*n的獨(dú)立性，則有：

顯然，c=E（σ4n）/［E（σ2n）］2是一個(gè)常數(shù)，當(dāng)我們通過(guò)乘以常數(shù)c 并省略1 來(lái)變換方差方程（24）時(shí)，我們可以如下導(dǎo)出MH統(tǒng)計(jì)量：

由于式（24）和式（26）成正比關(guān)系，尋找參數(shù)的漸近方差最小的問(wèn)題就就轉(zhuǎn)換為最小的統(tǒng)計(jì)量MH 問(wèn)題。此時(shí)，MH 值越小，估計(jì)精度越高，估計(jì)越有效。

三、模擬研究

在本節(jié)中，通過(guò)模擬研究來(lái)檢驗(yàn)該方法的實(shí)用性：首先對(duì)PGARCH 模型進(jìn)行建模，接著對(duì)該模型采用QMLE 估計(jì)，最后將估計(jì)得到的參數(shù)結(jié)果分別從偏差（Bias）、標(biāo)準(zhǔn)差（SD）和MH統(tǒng)計(jì)量的均值（Mean.MH）的角度來(lái)評(píng)估QMLE 估計(jì)的效果。上述實(shí)驗(yàn)重復(fù)1，000 次。為了達(dá)到模擬的效果，需要模擬日內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)過(guò)程Zn（u），這里使用平穩(wěn)的Ornstein-Uhlenbeck過(guò)程建模：

其中，設(shè)置初值Rn（0）=0，日頻的PGARCH 模型則對(duì)應(yīng)波動(dòng)率代表Hn=|rn|。在模擬中，樣本量分別設(shè)置為500 天、1，000天和1，500 天。于是在一次模擬中MH 的估計(jì)值如下：

模擬結(jié)果展示在表1。從表1 可以看出，在同一樣本量下，與|rn|相比，通過(guò)高頻的波動(dòng)率代表RV 估計(jì)得到的參數(shù)偏差和標(biāo)準(zhǔn)差明顯變小，但采用不同的高頻RV 估計(jì)得到的參數(shù)偏差和標(biāo)準(zhǔn)差差異不大，無(wú)明顯變化規(guī)律。比較不同的Mean.MH，通過(guò)RV 計(jì)算的Mean.MH 值也都比|rn|小。而隨著樣本量的增大，相同高頻的RV 估計(jì)的參數(shù)偏差和標(biāo)準(zhǔn)差也逐漸減小，這符合一致性和漸近正態(tài)性的性質(zhì)，MH 均值的減小也說(shuō)明隨著樣本量的增加估計(jì)精度提高。表1 中，樣本量N=500 時(shí)，Mean.MH 最小值出現(xiàn)在RV10 的情況下，這說(shuō)明此時(shí)的估計(jì)最有效。表1 中樣本量N=1000 時(shí)，Mean.MH 最小值出現(xiàn)在RV5 的情況下，這說(shuō)明此時(shí)的估計(jì)最有效。參數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差最小時(shí)，與之對(duì)應(yīng)的Mean.MH 值也最小，說(shuō)明上一節(jié)討論的最優(yōu)波動(dòng)率代表評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)是合理的。綜合來(lái)看，引入的高頻信息并不是越多估計(jì)效果越好，但引入了高頻信息的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率（RV）比日頻信息的|rn|的估計(jì)效果好，高頻數(shù)據(jù)的使用使得PGARCH模型的估計(jì)精度有所提高。（表1）

表1 參數(shù)估計(jì)的偏差、標(biāo)準(zhǔn)差及MH 均值一覽表

四、實(shí)證分析

在本節(jié)中，將上述方法應(yīng)用到實(shí)例，數(shù)據(jù)源是2008 年4 月28 日到2013 年6 月23 日的滬深300 指數(shù)。數(shù)據(jù)包含1 分鐘間隔的收盤(pán)價(jià)格信息，每天共241 個(gè)觀測(cè)值，一共包含1，272個(gè)交易日。記價(jià)格序列｛Pn（u），u∈［0，1］，n=1，2，…，1272｝，定義第n 天u 時(shí)刻的日內(nèi)對(duì)數(shù)收益率為：

應(yīng)用QMLE 方法，采用不同頻率的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率對(duì)PGARCH 的估計(jì)結(jié)果如表2 所示。表2 展示了由不同頻率的RV 和|rn|估計(jì)得到的參數(shù)值和殘差項(xiàng)方差。由表2 可知，殘差項(xiàng)方差最小的結(jié)果是基于RV15 的結(jié)果。根據(jù)表2，對(duì)比基于|rn|和基于RV15 的擬合得到的PGARCH 模型。（表2）

表2 基于不同波動(dòng)率代表的PGARCH 模型的參數(shù)估計(jì)一覽表

波動(dòng)率代表為日收益率|rn|時(shí)，擬合的PGARCH 模型為：

波動(dòng)率代表為15 分鐘收益率時(shí)，擬合的PGARCH 模型為：

圖1刻畫(huà)了基于|rn|估計(jì)的波動(dòng)率和基于RV15 估算的波動(dòng)率代表的時(shí)序圖?？梢钥闯?，二者的走勢(shì)相同，整體上15 分鐘的波動(dòng)率比日頻的波動(dòng)率更小，但在峰值二者相差不大。這說(shuō)明涵蓋了高頻信息的波動(dòng)率既能敏銳地捕捉波動(dòng)率的急劇變化，也能穩(wěn)定地刻畫(huà)出波動(dòng)率相對(duì)平緩時(shí)期的特征。（圖1）

圖1 基于|rn|的波動(dòng)率代表與基于RV15 的波動(dòng)率代表時(shí)序圖

結(jié)語(yǔ)

在本文中，我們通過(guò)波動(dòng)率代表將高頻數(shù)據(jù)嵌入日頻的PGARCH 模型，并對(duì)模型進(jìn)行QMLE 估計(jì)，給出估計(jì)參數(shù)的漸近分布。模擬研究和實(shí)證分析證明，引入高頻信息有助于提高PGARCH 模型的估計(jì)精度。