摘 要：

研究新高考實施后高考幾何試題，對完善和優(yōu)化試題命制、指導(dǎo)教學(xué)實踐有重要意義.本文基于新高考政策大規(guī)模實施的最初兩年（2020-2021年）教育部考試中心統(tǒng)一命制的14套全國卷，從考查內(nèi)容、題型、頻數(shù)、分值、設(shè)問特點和新高考改革導(dǎo)向幾個方面對“幾何”試題統(tǒng)計分析.結(jié)果發(fā)現(xiàn)，高考考試內(nèi)容基于新課標(biāo)，基礎(chǔ)考點多、考查范圍廣、涉及卷面所有題型；考查形式相對穩(wěn)定、分值分配均勻、各題型考查知識有偏重，注重考查邏輯推理能力；試題命制銜接初等幾何和大學(xué)幾何；側(cè)重直觀想象素養(yǎng)，弱化單一知識點的考查；試題具有精確的區(qū)分度，兼顧“綜合性和基礎(chǔ)性”；新舊高考試題在考查內(nèi)容、形式和設(shè)問特點上均有顯著差異，新高考注重考查對核心概念的深刻理解.最后基于研究結(jié)論，本文對高中數(shù)學(xué)教學(xué)和高考試題優(yōu)化提出了建議.

關(guān)鍵詞：

新高考；幾何；試題分析；數(shù)學(xué)思辨；高中數(shù)學(xué)

中圖分類號：G633.6 "文獻標(biāo)識碼：A "文章編號：1673-9329（2024）06-0115-10

1 問題提出

黨的十九大與全國教育大會對我國教育體系與制度改革提出了明確的要求，強調(diào)高考試題不僅承載著選拔人才的重要功能，還肩負(fù)著育人的使命.因此，維護和增強高考在人才培養(yǎng)中的核心地位，是當(dāng)前教育改革與發(fā)展的一項重要任務(wù)[1].同時高考是指揮棒，直接決定中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的方向.所以，高考的內(nèi)容和形式均需要花大力氣改革[2].為此，2018年全國印發(fā)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》從課程改革的角度服務(wù)選才并指導(dǎo)教學(xué)[3]，2019年教育部考試中心制定《中國高考評價體系》對新高考試題進行規(guī)范和要求，并印發(fā)《中國高考評價體系說明》細(xì)致解讀高考評價體系[4-5].而新高考試卷的真正啟用是2020年，分別在山東?。ㄐ赂呖糏卷）和海南省（新高考II卷）兩個試點省份開始實施，到2021年實施范圍拓寬到10個省份.新高考啟動后，由于試題在內(nèi)容、形式和水平上均有變化[6]，所以新高考改革后試題命制和數(shù)學(xué)教學(xué)的新方向成為學(xué)者們關(guān)注和研究的重點.例如，教育部考試中心團隊從命題立意上對試題進行解讀[5-7]；王芝平[8]、覃創(chuàng)和彭耐霞[9]等基于高考評價體系對試題進行分析；柯躍海[10]、趙軒[11]、劉靜和周思波[6]分別從情境創(chuàng)設(shè)、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、考查要求落實路徑和試題難度分析等方面對試題進行剖析；李亞瓊和徐文彬[12]統(tǒng)計分析試題中概率統(tǒng)計特點并提出教學(xué)建議；葛麗婷和郭玉峰[13]研究了近十年高考立體幾何試題，發(fā)現(xiàn)其對直觀想象素養(yǎng)的考查主要集中在“借助幾何直觀理解和分析問題”及“建立形與數(shù)的聯(lián)系構(gòu)建直觀模型”.

以上研究多為從試卷整體內(nèi)容和結(jié)構(gòu)或者基于知識模塊的變化趨勢等方面分析試題特點，沒有專門針對新高考卷啟用之后，幾何模塊考查特點、命題立意和改革動向的研究.然而，幾何內(nèi)容作為培養(yǎng)學(xué)生六大核心素養(yǎng)之邏輯推理和直觀想象兩大素養(yǎng)的最好載體，在歷年高考中一直占重要比重.不僅如此，幾何從古至今一直被人們尊為數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性典范，特別是19世紀(jì)后，幾何學(xué)更顯示出其強大的威力，促進了群論、集合論和代數(shù)學(xué)中眾多分支的發(fā)展[14].那么，在此背景下高中數(shù)學(xué)教學(xué)該做何調(diào)整、高考試題又該如何優(yōu)化和完善，才能更好地彰顯高考“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能？為回答這些問題，文章以定量研究和定性探索的方式，利用EXCEL和統(tǒng)計軟件SPSS 20.0分別從考查內(nèi)容、題型、頻數(shù)、分值、試題設(shè)問特點和新高考改革導(dǎo)向幾個方面，對新高考政策最初實施后的兩年間（2020-2021年）全國高考數(shù)學(xué)試卷中的幾何試題進行系統(tǒng)的統(tǒng)計分析，以期為高考數(shù)學(xué)試題的命制工作以及高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供一定的參考與借鑒.

2 研究設(shè)計

2.1 研究對象

為明確新高考啟動后，數(shù)學(xué)全國卷的試題命制特點，研究以2020年大規(guī)模實施新高考后的教育部考試中心統(tǒng)一命制的14套全國卷作為研究對象，包括2020年的全國I、II、III卷（含文理科），新高考I、II卷（不分文理科）和2021年的全國甲、乙卷（含文理科），新高考I、II卷（不分文理科）.

2.2分析框架

研究分別對每份試卷中的幾何試題逐題統(tǒng)計（含空間向量、立體幾何和平面解析幾何），梳理出14套幾何試題的考查內(nèi)容、分值、題型、題目設(shè)問特點、每個知識點考查頻數(shù)和新高考的命題導(dǎo)向，并以這6部分構(gòu)建分析框架，以探查“幾何”試題的特點和隱藏在試題背后的命題立意.

2.3分析程序

根據(jù)分析框架，由于試題考查內(nèi)容所屬知識點并非顯性特征，所以需要對高考數(shù)學(xué)幾何試題進行細(xì)致研讀.為確保編碼的科學(xué)性，考查內(nèi)容的編碼由長期從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)的高級數(shù)學(xué)教師和研究者分別編碼，并進行一致性分析.針對編碼不同的部分，通過重新解讀的方式形成最終編碼（編碼過程為對每道題進行解答，并與標(biāo)準(zhǔn)答案對比，以確認(rèn)考查內(nèi)容所屬知識點）.

3 研究結(jié)果

通過對新高考啟動以來所有全國數(shù)學(xué)卷幾何試題的統(tǒng)計分析，得出幾何試題的考查內(nèi)容、題型、頻率、知識點分值比重及對幾何總分值的影響情況、題目設(shè)問類型、新高考考查導(dǎo)向等結(jié)論.

3.1試題考查內(nèi)容和考查題型統(tǒng)計分析

基于新課標(biāo)和考試大綱，為統(tǒng)一規(guī)范幾何試題考查知識點名稱，研究從所有考查的知識點中提煉出圓錐曲線定義、圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程、弦長公式、離心率、漸近線、準(zhǔn)線、直線方程（含斜率）、點到點和點到線的距離、線線線面面面夾角或位置關(guān)系、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或直線與圓位置關(guān)系、極坐標(biāo)與參數(shù)方程、空間向量四則運算、三視圖、立體圖形表面積和體積公式、棱柱棱錐及球的性質(zhì)15個知識點.對每套試題考查的知識點及其所占分值統(tǒng)計如圖1所示.結(jié)果顯示，試題考查內(nèi)容基本覆蓋新課標(biāo)中對幾何模塊學(xué)業(yè)要求的所有內(nèi)容[3]，既包括空間向量與立體幾何中的空間的應(yīng)用，也包括平面解析幾何中的直線、圓、圓錐曲線及它們的方程和選修內(nèi)容極坐標(biāo)與參數(shù)方程.然而，對帶星號內(nèi)容“平面解析幾何的形成與發(fā)展”在考題中未曾出現(xiàn)，從側(cè)面反映出考題與新課標(biāo)的一致性[15].幾何試題一共考查15個知識點，但并不是15個知識點在每套試題中都同時出現(xiàn)，在一套試題中出現(xiàn)知識點數(shù)最多的試卷分別為2020年全國I卷（文科）、2020年全國II卷（理科）、2020年全國III卷（文科）、2021年全國甲卷（文科）、2021年全國乙卷（文科）、2021年全國乙卷（理科），都考查了9個知識點，考查知識點最少的是2020年新高考I卷和II卷，僅考查6個知識點.

對各知識點考查的題型統(tǒng)計如圖2所示，在試題中，填空題、選擇題（含單選題和多選題）和解答題（含必考題和選考題）幾個類型的題目中均包含幾何內(nèi)容，但是每個知識點考查的題型略有差異.例如，圓錐曲線定義、圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、直線方程（含斜率）、點到點、點到線的距離、線線線面面面夾角或位置關(guān)系、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或直線與圓位置關(guān)系、空間向量四則運算、立體圖形表面積、體積公式、棱柱棱錐球的性質(zhì)10個知識點在單選、多選、填空、解答四種類型的題目中都有出現(xiàn)，而弦長公式、漸近線、準(zhǔn)線、

注：A=圓錐曲線定義; B=圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程; C=弦長公式; D=離心率; E=漸近線; F=準(zhǔn)線; G=直線方程（含斜率）; H=點到和點到線的距離; I=線線線面面面夾角或位置關(guān)系; J=圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或直線與圓位置關(guān)系; K=極坐標(biāo)與參數(shù)方程; L=空間向量四則運算; M=三視圖; N=立體圖形表面積和體積公式; O=棱柱棱錐球的性質(zhì).圖形編碼解釋： 例如A（5）代表考查圓錐曲線知識點， 考查分值為5分， 其他編碼類似.

三視圖4個知識點只在選擇和填空題中考查，極坐標(biāo)與參數(shù)方程僅作為選考題的形式呈現(xiàn).所考查的知識點中，線線線面面面夾角或位置關(guān)系考查總分值最高，高達(dá)178分，而準(zhǔn)線和弦長公式分值最低，僅有10分，說明試題弱化單一知識點考查.與此同時，試題加大直觀想象能力的考查力度，如將線線線面面面夾角或位置關(guān)系作為每套試題必考知識點，可有效訓(xùn)練學(xué)生空間想象能力，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用平面幾何、向量計算、坐標(biāo)與立體幾何知識的能力，如此命題取向，使機械練習(xí)和生搬硬套不再奏效，體現(xiàn)高考命題突出考查關(guān)鍵能力的目的[1].

3.2各知識點考查頻數(shù)統(tǒng)計分析

15個考查知識點在14套試卷中的考查頻率如表1所示，統(tǒng)計結(jié)果顯示，線線線面面面夾角或位置關(guān)系、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或直線與圓位置關(guān)系、圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程、空間向量四則運算、立體圖形表面積、體積公式為高頻核心考點，考查頻數(shù)高達(dá)15次以上，圓錐曲線定義、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或直線與圓位置關(guān)系、極坐標(biāo)與參數(shù)方程出現(xiàn)的頻率也不低.14套試卷中，共考查52道選擇題，其中，考查頻數(shù)較多的知識點分別是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或直線與圓位置關(guān)系和空間向量四則運算，高達(dá)6次，圓錐曲線定義、線線線面面面夾角或位置關(guān)系、三視圖、立體圖形表面積、體積公式、棱柱、棱錐、球的性質(zhì)5個知識點出現(xiàn)5次.在考查的28道填空題中，空間向量四則運算出現(xiàn)的次數(shù)最多，高達(dá)7次，其次是立體圖形表面積、體積公式4次和線線線面面面夾角或位置關(guān)系3次，說明空間向量運算為選填題高頻考點.在考查的38道解答題（一道解答題有時會考查兩個知識點）中，全國卷（共10套，含文理科）均以2道解答題加1道選考題的形式出現(xiàn)，而在新高考卷（共4套，不分文理科）中，則去掉了選考題，僅考查2道解答題.解答題考查內(nèi)容主要集中在線線、線面、面面夾角或位置關(guān)系、圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和極坐標(biāo)與參數(shù)方程.由此可看出，幾何知識在考卷中的出現(xiàn)題型相對穩(wěn)定，分布均勻.

除了體現(xiàn)高考的選拔功能和育人功能，試題的命制還有意識地銜接中學(xué)數(shù)學(xué)知識與大學(xué)數(shù)學(xué)知識，同時蘊含知識生成和發(fā)展的歷史背景.如2021年全國乙卷理科第21題，初步觀察題目，這是一道普通的圓錐曲線求最值問題.但仔細(xì)推敲后發(fā)現(xiàn)既可以從幾何的角度，用圓錐曲線的定義結(jié)合平面幾何來求最值；也可以從代數(shù)的視角出發(fā)，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)或者二次函數(shù)求最值問題，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性、有界性及基本不等式給出解答.這種代數(shù)幾何相互轉(zhuǎn)化的思想，是高等數(shù)學(xué)中解決幾何與代數(shù)問題的基本思想，體現(xiàn)新課標(biāo)對《代數(shù)與幾何》部分的目標(biāo)要求，同時還與圓錐曲線的身世相吻合，因為古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯最初研究圓錐曲線就是從純幾何的角度出發(fā)，后來笛卡兒和費馬坐標(biāo)系的發(fā)明，才實現(xiàn)了用代數(shù)方法來研究圓錐曲線，甚至費馬發(fā)明坐標(biāo)系的初衷都是為恢復(fù)阿波羅尼斯的著作《論平面軌跡》.

3.3考查分值統(tǒng)計分析

3.3.1描述性統(tǒng)計分析

對14套試題考查知識點及其所占的分值統(tǒng)計如表2所示，統(tǒng)計結(jié)果表明，2020年全國I卷（理科卷）考查分值最高，高達(dá)69分（占比46%），考查分值為64分（占比42.7%）、59分（占比39.3%）、54分（占比36.0%）的試卷套數(shù)分別為2套、6套、5套.對試題考查的15個知識點在14套考卷中所占分值進行匯總（詳見表2），得出平均分（總分：14分）分值分布如圖3所示，從圖3中可看出，線線、線面、面面夾角或位置關(guān)系均分最高（12.71分），其次是極坐標(biāo)與參數(shù)方程（7.14分），圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（6.21分），空間向量四則運算（5.93分）和立體圖形表面積體積公式（5.36分），而弦長公式和準(zhǔn)線所占分值最低，僅有0.71分.由此可見，部分知識點考查頻數(shù)和所占分值多為雙高的形式，如：線線、線面、面面夾角或位置關(guān)系考查頻數(shù)和分值都是最高的.但除了考查頻數(shù)，考查題型也可影響知識點分值占比，如極坐標(biāo)與參數(shù)方程只以選考題的形式出現(xiàn)，出現(xiàn)頻數(shù)僅為10次，但均分卻位列第二，比考查頻數(shù)為15次的立體圖形表面積、體積公式所占均分高出33.21%（1.78分）.

從考查形式看，立體幾何和平面解析幾何各占一道大題，在試題中極少以直接計算的方式考查，除了幾何知識，還會聯(lián)合不等式、三角函數(shù)和向量，甚至導(dǎo)數(shù)等知識點一起出現(xiàn)，注重挖掘隱藏在知識背后的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)高考應(yīng)考查的“學(xué)科素養(yǎng)”和“關(guān)鍵能力”素質(zhì)教育目標(biāo)[1].

3.3.2各知識點分值與幾何分值的相關(guān)性分析和回歸模型分析

根據(jù)知識點及所占分值統(tǒng)計結(jié)果（詳見表2），構(gòu)建“試卷編號×幾何知識點”的二維表格，得到“14×15”的二維表格.運用表格數(shù)據(jù)建立模型進行Person相關(guān)性分析，模型輸出結(jié)果如表3所示.根據(jù)表3可知，除了幾何與離心率（0.582）、極坐標(biāo)與參數(shù)方程（0.665）分值間的相關(guān)系數(shù)分別在0.05水平（雙側(cè)）和0.01水平（雙側(cè)）上顯著相關(guān)；圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程與圓錐曲線定義（-0.556）與線線線面面面夾角或位置關(guān)系（0.550），極坐標(biāo)與參數(shù)方程與直線方程（含斜率）（-0.611）與三視圖（0.632），線線線面與面面夾角或位置關(guān)系與立體圖形表面積體積公式（-0.542），棱柱棱錐球的性質(zhì)與準(zhǔn)線（0.629）分值間的相關(guān)系數(shù)在0.05水平（雙側(cè)）上顯著相關(guān)；圓錐曲線定義與線線線面與面面夾角或位置關(guān)系（-0.719）分值間的相關(guān)系數(shù)在0.01水平（雙側(cè)）上顯著相關(guān)；其他各知識點對幾何總分值及知識點分值間并不顯著相關(guān).

由上述分析知，幾何與離心率、極坐標(biāo)與參數(shù)方程跟幾何總分值有顯著相關(guān)關(guān)系，所以分別以離心率分值、極坐標(biāo)與參數(shù)方程分值作為自變量，幾何總分值作為因變量建立一元線性回歸模型，離心率和極坐標(biāo)與參數(shù)方程所占分值均對幾何分值具有顯著影響（Plt;0.05），它們對幾何總分值的解釋率分別為33.90%和44.2%.

3.4題目試問特點統(tǒng)計分析

研究者通過對14套幾何試題題目設(shè)問特點的統(tǒng)計結(jié)果進行分類歸納，提煉出如表4所示的題目設(shè)問類型、每種設(shè)問類型的考查頻數(shù)和考查題型.統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，14套試題考查題目數(shù)量波動不大，考查題量為7-10題，其中有9套試題考查題目數(shù)量為9題.一共考查150道小題（1道解答題含2道小題），根據(jù)新課標(biāo)和考試大綱，可將題目設(shè)問類型提煉為如表4所示的12種類型，其中求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程或求圓錐曲線性質(zhì)的相關(guān)結(jié)論的設(shè)問方式考查次數(shù)最多，高達(dá)28次，證明或求點線面間的位置關(guān)系也是常出現(xiàn)的提問類型，考查27次，接下來分別是求面積或面積、夾角、距離的最值（20次），求點到點、點到直線的距離（16次），求立體圖形表面積、體積（14次），求直線、圓的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程（11次），向量運算（10次）；求比值和弦長問題出現(xiàn)的頻數(shù)最低，僅為2次.大多數(shù)設(shè)問方式覆蓋所有題目類型，只有求弦長或比值問題和立體圖形三視圖判斷問題僅以選填題型出現(xiàn)，求角或二面角的三角函數(shù)只在解答題中考察.

由此可見，常考的題型包括最值問題、參數(shù)范圍、距離問題，求立體圖形的表面積、體積，三視圖的判斷，向量數(shù)量積、求軌跡、曲線的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程等.新高考啟動以來，新高考卷的結(jié)構(gòu)有所調(diào)整，不僅題目的開放性設(shè)問數(shù)量有所增加，還注重考查學(xué)生對核心概念的掌握情況.解答題主要以求夾角及其三角函數(shù)，幾何證明，探究性問題、求軌跡等方式提問，設(shè)問采取循序漸進的方式，第一問通常考查基礎(chǔ)知識，第二問側(cè)重多知識點的融合與計算能力的考查，用以區(qū)分成績中等生和優(yōu)等生，體現(xiàn)高考試題的區(qū)分度[6]和“選拔性”功能[1].

3.5新高考試題改革導(dǎo)向分析

2020年新高考啟動以來，全國卷命制落實高考改革的要求和立德樹人的根本任務(wù)[5，7].從試題結(jié)構(gòu)上看，全國卷（含文理科）還是持續(xù)原全國卷的選擇題（12題）＋填空題（4題）＋解答題（5道必考題和2道選考題）的結(jié)構(gòu)，共23題.新高考在試題結(jié)構(gòu)上做了調(diào)整，包括單選題（8題，40分）＋多選題（4題，20分）＋填空題（4題，20分）＋解答題（6道解答題，70分）的結(jié)構(gòu)，共22題.除了引進開放性問題，試題還引入結(jié)構(gòu)不良問題，以有效考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，實現(xiàn)知識習(xí)得向解決問題和選擇策略的轉(zhuǎn)化[7].從考查內(nèi)容上看，應(yīng)關(guān)注普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2017年版和實驗版兩個版本的公共內(nèi)容[7]，從統(tǒng)計結(jié)果來看，新高考試題考查內(nèi)容在傳統(tǒng)全國試題考查內(nèi)容的基礎(chǔ)上，刪除了對離心率、極坐標(biāo)與參數(shù)方程和三視圖3個知識點的考查.從試題難度上看，劉靜和周思波的已有研究表明，新高考卷的難度系數(shù)比傳統(tǒng)卷要高[6]，難度系數(shù)增高背后的原因之一為新高考較傳統(tǒng)高考數(shù)學(xué)試題的知識含量顯著升高，對學(xué)生邏輯能力的要求明顯增強.

4 研究結(jié)論

通過以上分析，新高考實施以來高考數(shù)學(xué)中幾何試題的考查有如下特點.

4.1考試內(nèi)容基于國家課程標(biāo)準(zhǔn)，基礎(chǔ)考點多、考查范圍廣、涉及卷面所有題型

從試題內(nèi)容分布上看，一共考查平面向量及其運用和立體幾何初步2個大的模塊，含15個小知識點，考查范圍基本覆蓋新課標(biāo)中對幾何模塊內(nèi)容的要求.考查平均分值為58.64分，占比39.1%.考查題型包括選擇題（含單選和多選）、填空題和解答題（含必考和選考），其中10個知識點在單選、多選、填空、解答中皆有出現(xiàn).基礎(chǔ)知識點較多，如弦長公式、準(zhǔn)線、三視圖等多次出現(xiàn)在試題中.

4.2幾何知識在考卷中的考查形式相對穩(wěn)定、知識點和分值分配均勻、每種題型考查的知識點各有偏重，注重考查邏輯推理能力

對14套全國數(shù)學(xué)試題的統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，幾何共考查選擇題、填空題和解答題的題量分別為52題、28題、38題，考查分值在54分到69分之間，中位數(shù)為59分.考查知識點范圍為如圖2所示的15個知識點，但是，每種題型考查的知識點各有偏重，如選考題固定考查高中選修內(nèi)容極坐標(biāo)與參數(shù)方程，解答題?？嫉闹R點有線線線面面面的夾角或位置關(guān)系、圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率和立體圖形表面積和體積.對考生邏輯推理能力有明確要求，如2021年新高考I卷第21題的第二小問，題目需求兩直線斜率之和，這是一個求定值問題.需要通過邏輯推理（分情況討論斜率是否存在）再進行計算，并在此過程中消去變量從而得到定值.這種通過“大膽猜測（邏輯推理、假設(shè)）、小心求證（計算）”的解題方式正是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育中“數(shù)學(xué)直覺與數(shù)學(xué)思辨”的數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)[2].

4.3 試題的命制有意識地銜接高中幾何和大學(xué)幾何，發(fā)揮高考改革在基礎(chǔ)教育和高等教育改革的橋梁作用

由統(tǒng)計數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，在考查頻數(shù)為15次以上的知識點中，線線線面面面夾角或位置關(guān)系和空間向量知識點是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中《空間解析幾何》《微分幾何》等科目的基礎(chǔ)；理解立體圖形表面積和體積的幾何構(gòu)造，熟練掌握它們的計算公式，對利用微積分計算立體圖形體積和表面積有明顯優(yōu)勢.還發(fā)現(xiàn)，在2020年和2021年14套全國卷（含新舊高考卷）中，求最值問題出現(xiàn)頻數(shù)超過10次.解決此類問題既可以從純幾何的角度出發(fā)，借助幾何圖形判定最值的位置，再用代數(shù)計算出最值；也可以從代數(shù)方法入手，借助三角函數(shù)或二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合坐標(biāo)系、基本不等式內(nèi)容，從而解決問題.代數(shù)與幾何相互轉(zhuǎn)化思想方法的優(yōu)勢雖然在中學(xué)階段僅是初見端倪，但到大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)會顯示出其強大的威力，也是17世紀(jì)以來變量數(shù)學(xué)快速發(fā)展的條件之一[16]，由此反映試題命制貫徹高考評價體系中“應(yīng)通過高考改革與基礎(chǔ)、高等教育改革的協(xié)同推進，實現(xiàn)以考促教、以考促學(xué)”的理念[1]，體現(xiàn)高考命題的水平.

4.4 弱化單一知識點的考查，側(cè)重考查直觀想象素養(yǎng)，體現(xiàn)高考考查“學(xué)科素養(yǎng)”和“關(guān)鍵能力”的考試目標(biāo)

在新高考啟動以來的全國卷中，需要建立直觀模型（題目中并未給出圖形）的知識點分值占比高，如線線線面面面夾角或位置關(guān)系均分高達(dá)12.71分，這類題目雖然難度系數(shù)不算大，但需要學(xué)生根據(jù)已知條件建立幾何模型方能進行求解，對考生直觀想象素養(yǎng)要求高.雖然僅有2個知識點離心率、極坐標(biāo)與參數(shù)方程分值對幾何總分值有顯著相關(guān)關(guān)系，但是他們對幾何總分值的解釋率都高于30.0%，分別為33.9%和44.2%.從統(tǒng)計學(xué)意義上說，雖然各知識點分值分布具有靈活性，不拘泥于固定模式，但離心率、極坐標(biāo)與參數(shù)方程分值的變化會對幾何總分值的變化有顯著影響.試題減少對單一知識點的考查，如弦長公式和準(zhǔn)線僅出現(xiàn)2次，均分在幾何均分中的占比最低，只有0.71（1.2%）分.在每套試題中，立體幾何和平面解析幾何各占一道大題，在試題中極少以直接計算的方式考查，除了幾何知識，還會聯(lián)合不等式、三角函數(shù)、向量，甚至導(dǎo)數(shù)等知識點一起出現(xiàn)，注重挖掘隱藏在知識背后的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)數(shù)學(xué)高考試題“學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力”的考查.

4.5 試題具有精確的區(qū)分度，兼顧“綜合性和基礎(chǔ)性”，體現(xiàn)高考的選拔功能

試題統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，向量運算、求直線與圓的方程等基礎(chǔ)知識點各自出現(xiàn)的頻數(shù)高達(dá)10次以上，以保證基礎(chǔ)試題在考卷中的占比.在題目的試問上，解答題采取循序漸進的設(shè)問方式，第一問通?？疾榛A(chǔ)知識，第二問側(cè)重多知識點的融合與計算能力的考查，用以區(qū)分成績中等生和優(yōu)等生.如2021年新高考I卷第20題，利用常規(guī)知識便可證明第一小問的線面垂直問題，但第二小問的解決，不僅需要建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量知識求出線面夾角的正弦值表達(dá)式，還需要分類討論最終確定正弦的最值.思路雖不算復(fù)雜，但計算量較大，考生若沒有較好的綜合運用知識能力和計算能力，很難拿到滿分.再如在新高考卷中加入多選題，基礎(chǔ)較好的考生可選出全部正確答案，獲得5分，而基礎(chǔ)弱的卻只能獲得2分或0分.體現(xiàn)高考試題應(yīng)具有精確的區(qū)分度[6-7]，深化高考試題內(nèi)容應(yīng)兼顧“綜合性和基礎(chǔ)性”的命題原則和高考的“選拔性”功能.

4.6 新舊高考試題在考查內(nèi)容、形式和設(shè)問特點上均有顯著差異，新高考注重考查學(xué)生對核心概念的深入理解

新高考卷考查重點內(nèi)容出自新舊課標(biāo)中的重疊部分，對14套全國試題統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，在試題涉及的15個知識點中，新高考卷刪除離心率、極坐標(biāo)與參數(shù)方程和三視圖3個知識點內(nèi)容的考查.在考查形式上，新舊高考卷最大的區(qū)別是新高考增加了開放性試題和結(jié)構(gòu)不良試題[11].題型的變化是引入多項選擇題，去除解答題中的選考題.在考查的150道小題中，求圓錐曲線方程、性質(zhì)相關(guān)結(jié)論的設(shè)問方式考查次數(shù)高達(dá)28次，證明或求位置關(guān)系考察27次，求面積、夾角、距離及最值考查20次.新高考卷對開放性設(shè)問數(shù)量有所增加，還注重考查學(xué)生是否對核心概念深入理解.如2020年新高考II卷的第10題（多選題），學(xué)生需要對二次曲線和直線的概念深刻掌握、理解，才能從四個選項中辨析出ACD都是正確答案，獲得題目滿分，這與2020年之前選填題的設(shè)問方式有較大區(qū)別.

5 建議

高中數(shù)學(xué)教學(xué)和高考試題優(yōu)化基于文章開篇提出的問題，根據(jù)研究結(jié)論的啟示，結(jié)合新課標(biāo)和高考評價體系，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)和高考試題優(yōu)化提出如下建議.

5.1高中數(shù)學(xué)教學(xué)建議

5.1.1 靈活使用教材、注重核心概念的教學(xué)

目前高考試題多次考查核心概念，僅針對圓錐曲線部分，在統(tǒng)計的14套試題中，有28小題涉及圓錐曲線核心概念的深刻理解.如 2020年新高考II卷的第10題、2020年新高考I卷第9題、2021年新高考I卷第14題等，均考查考生對二次曲線概念的深刻理解，而教材由于知識編排的系統(tǒng)性和篇幅的有限等原因，很難面面俱到地梳理清楚某個知識點的來龍去脈.教師如果想在教學(xué)中講清楚概念及承載在概念背后的數(shù)學(xué)思想，既要基于教材，又不能拘泥于教材，做到靈活使用[17].以圓錐曲線中的橢圓概念課教學(xué)為例，課堂中最難處理的部分是如何向?qū)W生解釋清楚為什么“動點到兩定點的距離之和為常數(shù)”，怎么找到這兩個定點的，教材里沒有答案，需要教師熟悉圓錐曲線的歷史起源、發(fā)展過程及應(yīng)用背景.教學(xué)不妨從圓錐曲線的歷史出發(fā)，結(jié)合其在光學(xué)中的應(yīng)用，并畫出圖形來進行解釋，以實現(xiàn)讓學(xué)生對橢圓及其相關(guān)核心概念的直觀和深刻理解.

5.1.2 加強“直觀想象”素養(yǎng)的培養(yǎng)，形成數(shù)學(xué)直覺和數(shù)學(xué)思辨的能力

統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，高考試題改革以來，試題側(cè)重直觀想象素養(yǎng)的考查，強調(diào)知識的遷移，以發(fā)揮學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯和數(shù)學(xué)直覺的作用，這也是高考評價體系的命題理念.已有研究系統(tǒng)分析近10年大樣本容量的高考試題發(fā)現(xiàn)，幾何試題中對直觀想象素養(yǎng)考查水平漸趨于利用數(shù)形結(jié)合解決問題的水平[13]，進一步表明課堂教學(xué)需增強對學(xué)生“直觀想象”素養(yǎng)的培養(yǎng).以下方案或許是可行的，例如：由于求解幾何問題最大的困難是難以想象在立體圖形中點線面的準(zhǔn)確位置關(guān)系，所以在立體幾何教學(xué)時，可借助幾何實物模型展示或動態(tài)軟件演示，同時鼓勵學(xué)生將立體圖形中的線線、線面、面面關(guān)系從幾何體中抽離出來，形成清晰精確的平面圖，并加強這方面的訓(xùn)練.當(dāng)然，這個過程并不容易，需要一定的數(shù)學(xué)直覺和數(shù)學(xué)思辨，在幾何模塊尤其是立體幾何部分，思辨能力顯得尤為重要，在教學(xué)中應(yīng)引起重視.如果想對思辨有進一步了解，不妨翻閱弗賴登塔爾的《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書，他在書中對思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)做了清楚的解釋[14]，還給出了著名的紅白酒勾兌求濃度問題，體現(xiàn)思辨數(shù)學(xué)對思維培養(yǎng)的重要性.

5.2高考試題優(yōu)化建議

5.2.1 可豐富幾何試題的問題情境，增強試題的開放性

新課標(biāo)在高考命題建議模塊指出：“命題時應(yīng)有一定數(shù)量應(yīng)用題，問題情境的設(shè)置應(yīng)自然、合理”[3].高考數(shù)學(xué)試題改革中，已強調(diào)對于應(yīng)用性的考查[11].但統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，在問題情境設(shè)置上，相比概率與統(tǒng)計、函數(shù)和數(shù)學(xué)建模等模塊的豐富多彩，幾何試題略顯微欠缺.其實，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的幾何問題大多來源于生活實際，跟其他學(xué)科也有著千絲萬縷的關(guān)系，擁有大量豐富的應(yīng)用背景，試題不妨在問題情境的設(shè)置上多做些嘗試.以向量內(nèi)容為例，可將其在物理學(xué)中力系平衡概念的應(yīng)用作為承載向量計算的問題情境[18].同時，高考命題建議還提出“命題應(yīng)包括開放性問題和探究性問題，考查學(xué)生思維過程、實踐能力和創(chuàng)新意識”，以實現(xiàn)高考試題的“四翼”功能[3]，所以在試題中增強開放性有據(jù)可循.試題在這方面做了積極的探索，如在新高考卷中加入結(jié)構(gòu)不良試題，但力度仍有待加強.或許可在設(shè)問方式上做些調(diào)整，以考查頻數(shù)5次的“證明線面垂直”為例，命題可以是“如果直線與平面的一條線垂直，是否可以判斷它們之間的關(guān)系？”還可以是“由線面垂直你能想到什么？”這樣的題對不了解幾何思想的高中生來說也許太難了.前者分情況討論，便能給出統(tǒng)一的答案，后者則沒有標(biāo)準(zhǔn)答案，答案的質(zhì)量完全取決于考生的知識面、歸納、推理、發(fā)散乃至創(chuàng)新能力.

5.2.2 加大對初、高等教學(xué)之間的銜接力度，更好地落實評價體系中的“以考促教和以考促學(xué)”

高考評價體系在“關(guān)鍵能力”模塊中明確指出，高考要檢測出即將進入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者必備能力.說明高考不僅要關(guān)注基礎(chǔ)教育階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容，對后續(xù)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也要清楚，扮演好橋梁作用.14套試題中，盡管體現(xiàn)代數(shù)與幾何之間相互轉(zhuǎn)化思想的求最值問題考查頻數(shù)高于10次，但針對進一步體現(xiàn)初等幾何背后蘊含的高等數(shù)學(xué)思想，尋求一般處理方法的題目并不多見.可借鑒莫里斯·克萊因在高觀點下的初等數(shù)學(xué)（第二卷）《幾何》一書中用高觀點對初等幾何的處理方式來有選擇性地命制難度中等偏上的題目[19].例如，針對試題中幾何體的面積和體積等高頻考點，通過引入直角坐標(biāo)系，綜合考慮在直線上、平面內(nèi)和空間中的對應(yīng)變量，就能將初等幾何中必須依照圖形呈現(xiàn)的不同而需分多種情況討論的現(xiàn)象，用幾個簡單的一般定理概括.如此，不僅可以更好地理解初等幾何，體會幾何的美麗，還可以更好地銜接初高等教育，促進高考試題引導(dǎo)教學(xué).

6 結(jié)束語

高考是指揮棒，直接決定中小學(xué)教育的方向和未來大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根基強弱.新高考啟動后，試題在考試內(nèi)容和考查形式上都做了積極的探索，發(fā)揮高考“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的作用.未來高考數(shù)學(xué)試題改革要堅守“選拔和育人”的初衷，確保試題能測試出考生的思維、分析、歸納、推理以及計算能力.同時，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)變革課堂教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)形式，在新高考政策實施的背景下為國家培養(yǎng)棟梁之才.

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[責(zé)任編輯：劉紅霞]

Analysis and Inspiration of Geometry test Questions in the New College Entrance Examination：A Study based on 14 Sets of Test Papers

HUANG Wantao， XIA Tijing

（Kaili University， Kaili， Guizhou， 556011， China）

Abstract：

The analysis of geometry test questions from the college entrance examination， conducted following the implementation of the new college entrance examination， is of great significance in improving and optimising the test questions and guiding teaching practice. This study analyses the geometry test questions from the Examination Centre of the Ministry of Education， which produced 14 sets of national papers in 2020-2021. The analysis considers the following aspects： examination content， question types， frequency， score， questioning characteristics and the orientation of the reform of the new college entrance examination. It can be seen that the examination content is based on the new curriculum standard， with a significant number of basic test points， a wide range of questions， and a comprehensive coverage of all types of questions on the paper. The examination format is relatively stable， with a well-balanced distribution of scores and a focus on specific types of knowledge. The logical reasoning ability of the examinees is tested through questions formulated to connect elementary and university geometry. Intuitive and imaginative literacy， rather than the examination of a single point of knowledge， is given particular attention. Furthermore， questions are designed to differentiate levels of comprehension， with the objective of ensuring comprehensive and basic coverage of the syllabus. The new and old examination formats differ significantly in terms of content， format and questioning characteristics. The new format is designed to assess deep understanding of core concepts. Based on the conclusions of the study， recommendations are made for optimising the examination questions and for teaching high school mathematics.

Key words：

New college entrance examination; Geometry; test question analysis; mathematical thinking; high school mathematics