程俊杰

重慶交通大學(xué)機(jī)電與車(chē)輛工程學(xué)院,重慶 400074

0 引言

齒輪在現(xiàn)代工業(yè)中起著十分重要的作用,具有效率高、結(jié)構(gòu)緊湊、動(dòng)態(tài)精度高的特點(diǎn),因此,齒輪系統(tǒng)在航空航天、交通運(yùn)輸和海洋等領(lǐng)域,具有重要的作用[1]。齒輪系統(tǒng)由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜且經(jīng)常在惡劣環(huán)境下工作,較容易發(fā)生故障,嚴(yán)重時(shí)會(huì)影響設(shè)備的正常運(yùn)轉(zhuǎn)。為此,研究含裂紋直齒輪副的時(shí)變嚙合剛度,分析裂紋對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響具有重要意義。

時(shí)變嚙合剛度的計(jì)算和裂紋齒輪的動(dòng)態(tài)特性分析已被國(guó)內(nèi)外較多學(xué)者所研究。孫宇夢(mèng)[2]基于齒輪嚙合理論和牛頓定律,構(gòu)建8自由度齒輪軸承耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,并通過(guò)仿真分析研究不同裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度對(duì)齒輪軸承系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響規(guī)律;祝赫鍇 等[3]通過(guò)建立齒輪嚙合的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)仿真,得知了齒根最大應(yīng)力節(jié)點(diǎn)處最容易萌生裂紋,并發(fā)現(xiàn)了裂紋轉(zhuǎn)角度會(huì)隨著加載位置的下移而減小;代鵬 等[4]通過(guò)應(yīng)用勢(shì)能法,構(gòu)建齒輪副的齒根裂紋模型,并推導(dǎo)出其在局部故障發(fā)生后的時(shí)變嚙合剛度的計(jì)算解析式,同時(shí),對(duì)齒輪副在不同工況下的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換,以分析其在不穩(wěn)定工況下的振動(dòng)特性。

在上述研究成果的基礎(chǔ)上,本文利用勢(shì)能法推導(dǎo)出了裂紋直齒輪副時(shí)變嚙合剛度的改進(jìn)算法,為了減小誤差,將輪齒齒根簡(jiǎn)化為一個(gè)懸臂梁結(jié)構(gòu)。為接近實(shí)際的工況,本文考慮了在基圓與齒根圓不重合的情況下,同時(shí)計(jì)算齒根裂紋區(qū)的裂變情況。通過(guò)分析不同的裂紋參數(shù),可了解其對(duì)齒輪系統(tǒng)的影響規(guī)律。

1 齒輪裂紋時(shí)變嚙合剛度模型建立

1.1 時(shí)變嚙合剛度模型

齒輪根裂紋模型(見(jiàn)圖1)給出了計(jì)算初始直裂紋齒輪副嚙合剛度的簡(jiǎn)化懸臂梁模型,該齒輪副的主動(dòng)輪齒存在裂紋故障。其中,齒廓曲線可分為過(guò)渡曲線CD、漸開(kāi)曲線BC和齒頂曲線AB;Rr為齒根圓的半徑;Rb為基圓半徑;α1、α2、αg分別為嚙合點(diǎn)的端面壓力角、過(guò)渡線點(diǎn)C到中心線OY的壓力角、嚙合點(diǎn)B基圓切線的壓力角。

圖1 裂紋故障齒輪懸臂梁模型[5]

本文假設(shè)裂紋出現(xiàn)在點(diǎn)CD段,此處q1為裂紋深度;v為齒根裂紋與故障輪齒中心線所形成的夾角;hx為任意嚙合點(diǎn)x距齒輪中心線的距離。由于CD段是過(guò)渡曲線函數(shù),而B(niǎo)C段為漸開(kāi)線函數(shù),因此hx為參數(shù)x到中心線oy的坐標(biāo)值。由BC段的漸開(kāi)線性質(zhì)可以得到如下函數(shù)。

hx=

(1)

式中:a1為齒輪滾刀頂圓角距中線距離;d1為過(guò)渡線CD兩點(diǎn)的距離;r為分度圓半徑;rρ為齒輪滾刀頂圓角半徑;γ為變參數(shù),α0≤γ≤π/2,α0為壓力角。

因此,考慮輪齒的彎曲勢(shì)能Ub、剪切勢(shì)能Us、徑向壓縮勢(shì)能Ua、赫茲接觸勢(shì)能Uh,采用勢(shì)能法計(jì)算齒輪副嚙合剛度。齒輪勢(shì)能計(jì)算公式如下[6]。

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中:F為嚙合力;Fb為周向力;kb為彎曲剛度;ks為剪切剛度;Fa為徑向力;ka為徑向壓縮剛度;kh為赫茲接觸剛度;kf為齒輪基體剛度;E為彈性模量;G為剪切模量;h為嚙合點(diǎn)與輪齒中心線的距離;d為嚙合點(diǎn)到齒輪齒根的距離;x為基圓到嚙合點(diǎn)之間任意一點(diǎn)到基圓的距離;L為齒寬;v為泊松比;δf為齒輪基礎(chǔ)體受載荷產(chǎn)生的變形;Ix為基圓到嚙合點(diǎn)之間任意一點(diǎn)到基圓的距離為距離齒根圓x處齒輪截面慣性矩;Ax為截面面積。

由上述可知,每個(gè)單對(duì)直齒輪齒輪副總嚙合剛度,公式如下[7]。

(8)

式中:下標(biāo)中1代表主動(dòng)輪、2代表從動(dòng)輪。

1.2 齒輪裂紋剛度計(jì)算

本文采用勢(shì)能法對(duì)直齒輪的時(shí)變嚙合剛度進(jìn)行建模。根據(jù)國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究,當(dāng)齒輪嚙合區(qū)域發(fā)生齒根裂紋故障時(shí),齒輪整體就會(huì)發(fā)生變形,而單個(gè)輪齒的截面積Ax和慣性矩Ix也將發(fā)生變化,從而導(dǎo)致齒輪副的剪切剛度Ks、彎曲剛度Kb和徑向壓縮剛度Ka發(fā)生變化,但對(duì)齒輪基礎(chǔ)體受載荷產(chǎn)生的變形和泊松比的變化不大,所以齒輪基體剛度和赫茲接觸剛度影響很小,可以忽略不計(jì)。

Ix和Ax為輪齒慣性矩和截面積,可由下式計(jì)算。

他從未見(jiàn)天葬師有過(guò)那樣的表現(xiàn)。面前這個(gè)已不知活了多大年歲的神權(quán)者，經(jīng)歷過(guò)了太多的事情，本已對(duì)一切變得麻木，卻在與神明的溝通中，首次露出了絕望的表情。

(9)

(10)

式中:Ax1、Ix1為齒輪的正常面積矩和輪齒慣性矩;Ax2、Ix2為含有裂紋的面積矩和輪齒慣性矩。

利用Tian的結(jié)論,由式(9)(10)化簡(jiǎn)后,可得到齒輪副裂紋的彎曲剛度Kb為:

(11)

裂紋的剪切剛度Ks為:

(12)

裂紋的徑向壓縮剛度Ka為:

(13)

根據(jù)上述建立了齒輪副裂紋故障嚙合剛度計(jì)算模型。

2 裂紋參數(shù)對(duì)直齒輪嚙合剛度影響因素分析

通過(guò)調(diào)整裂紋參數(shù)的深度q、長(zhǎng)度Lc、角度v值來(lái)研究不同齒根裂紋對(duì)直齒輪副時(shí)變嚙合剛度的影響,本算例中主動(dòng)輪的輸入轉(zhuǎn)速為1 600 r/min,其主要的參數(shù)設(shè)置與參數(shù)變化如表1所示。

表1 裂紋齒輪副計(jì)算參數(shù)

由表1可知,設(shè)定v為30°,Lc為10 mm,q為0,針對(duì)q為1、2、3 mm共3種不同裂紋深度情況對(duì)齒輪副時(shí)變嚙合剛度進(jìn)行計(jì)算,其計(jì)算結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同裂紋深度的嚙合剛度

設(shè)定裂紋角度v為30°,裂紋深度q為3 mm,q0為 0,針對(duì)裂紋長(zhǎng)度Lc為5、10、15 mm共3種不同裂紋長(zhǎng)度情況對(duì)齒輪副時(shí)變嚙合剛度進(jìn)行計(jì)算,求解結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同裂紋長(zhǎng)度的嚙合剛度

設(shè)定裂紋深度q為2 mm,裂紋長(zhǎng)度Lc為15 mm針對(duì)裂紋角度v變化15°、30°及45°的3種不同裂紋角度情況對(duì)嚙合剛度進(jìn)行計(jì)算,其計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同裂紋角度的嚙合剛度

3 結(jié)論

本文采用簡(jiǎn)化齒輪為懸臂梁的方式,利用勢(shì)能法計(jì)算齒輪的時(shí)變嚙合剛度,再根據(jù)改進(jìn)后的時(shí)變裂紋剛度模型并通過(guò)MATLAB編程對(duì)不同深度、長(zhǎng)度、角度的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整得到結(jié)果。結(jié)果表明:不同的齒輪副裂紋深度對(duì)嚙合剛度有較大的影響,隨著裂紋深度的增加,嚙合剛度降低,且降低幅度變小;當(dāng)裂紋為5mm時(shí),齒輪副根部裂紋對(duì)綜合嚙合剛度的影響較小,嚙合剛度隨裂紋長(zhǎng)度的增加而降低,且降低幅度明顯增大;不同的裂紋角對(duì)齒輪副的嚙合剛度影響不大,嚙合剛度隨裂紋角的增大略有增加。

本文討論了單對(duì)齒輪的裂紋故障,后續(xù)研究中會(huì)考慮研究齒輪動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中多對(duì)齒輪副的時(shí)變嚙合剛度的變化影響。