林建軍,王驤予涵,班曉軍

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院,哈爾濱 150000;2.哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院,哈爾濱 150001)

0 引言

無源偵察定位技術(shù)具有作用距離遠(yuǎn)、機(jī)動性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn),在軍事上存在著巨大的潛在價(jià)值。與有源定位不同,無源定位不需要向?qū)Ψ桨l(fā)射探測信號,具有隱蔽性良好、生存能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。因此,隨著電子干擾技術(shù)、反偵察技術(shù)的發(fā)展,其在軍事領(lǐng)域的研究價(jià)值日益凸顯。無源定位的方法較多[1-2],根據(jù)定位原理的不同可分為測向定位法、信號強(qiáng)度定位法、到達(dá)時(shí)間定位法、到達(dá)時(shí)間差定位法、多普勒頻率定位法等。機(jī)載快速定位技術(shù)是由搭載各式傳感器的無人駕駛飛行器(unmanned aerial vehicle,UAV)取代傳統(tǒng)的固定基站,對目標(biāo)進(jìn)行定位跟蹤的一項(xiàng)技術(shù)。根據(jù)UAV 的數(shù)量可以分為單站定位與多站定位。單站定位始終只有一架UAV 工作不需要受到其他限制,具有機(jī)動性強(qiáng)、靈活性高的優(yōu)點(diǎn),但單次測量時(shí)存在信息量不足,無法對目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)完全估計(jì);而多站定位觀測信息雖然較豐富,對運(yùn)動形式要求較少,但不同平臺之間的數(shù)據(jù)同步與數(shù)據(jù)融合都有著嚴(yán)格的限制,使得觀測系統(tǒng)的機(jī)動性和獨(dú)立性有所降低[3]。因此,單站定位技術(shù)具有更為巨大的研究潛力。

基于三維到達(dá)角對目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)的技術(shù)稱為3D-AOA(three-dimensional angle of arrival)目標(biāo)跟蹤,諸多學(xué)者對該技術(shù)進(jìn)行了研究,按照狀態(tài)估計(jì)方法大致可以分為非線性濾波法與偽線性濾波法。偽線性濾波方法是通過對具有非線性性質(zhì)的角度量測方程進(jìn)行偽線性化得到[4],具有計(jì)算復(fù)雜度低、初值不敏感的優(yōu)點(diǎn),文獻(xiàn)[5]曾對EKF、偽線性濾波以及粒子濾波在二維條件下的性能進(jìn)行了比較,結(jié)果表明偽線性濾波方法與粒子濾波的性能接近,但其算法復(fù)雜度遠(yuǎn)低于粒子濾波。但偽線性濾波在噪聲較大時(shí),存在嚴(yán)重的有偏性問題[6],為此,Dogancay等[7-8]對偏差進(jìn)行了分析并設(shè)計(jì)了誤差補(bǔ)償方法,并將輔助變量法也應(yīng)用到偽線性濾波上。偏差補(bǔ)償偽線性卡爾曼濾波(bias-compensated pseudo-linear Kalman filter,BC-PLKF)與輔助變量偽線性卡爾曼濾波(instrumental variable pseudolinear Kalman filter,IV-PLKF)是其中比較有代表性的方法,但I(xiàn)V-PLKF受限于BC-PLKF,當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)機(jī)動時(shí)很可能在BC-PLKF時(shí)就出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象,嚴(yán)重影響IV-PLKF性能;郭戈等[9]則對傳感器不確定性進(jìn)行了考慮,對過程噪聲的不確定性進(jìn)行了建模,提出了遞推輔助變量偽線性卡爾曼濾波(recursive instrumental variable Kalman filter,RIVKF);而Pang等[10]則考慮了觀測平臺自身位置估計(jì)誤差造成的影響,對該部分誤差進(jìn)行了補(bǔ)償,文獻(xiàn)[11-12]則是采用了一種添加約束條件的方法來達(dá)到漸進(jìn)無偏的效果。Huang等[13]將噪聲項(xiàng)與真值分離的方法適用于二維條件的具有無偏性的UB-PLKF(unbiased pseudolinear Kalman filter),從原理上實(shí)現(xiàn)了算法的無偏性,并通過仿真實(shí)驗(yàn)表明該方法能夠較好地解決機(jī)動目標(biāo)的跟蹤問題。

然而,在基于角度信息的目標(biāo)跟蹤中,大多數(shù)方法適用于二維條件下的近距離目標(biāo),且研究對象主要為勻速運(yùn)動目標(biāo),而對于大場景下的遠(yuǎn)距離機(jī)動目標(biāo)研究較少。本文將在此基礎(chǔ)上,將適用于二維場景下的UB-PLKF 方法推廣到三維條件下,并設(shè)計(jì)EKF 作為角度濾波器對其進(jìn)行輔助得到3DUBKF(three dimensional unbiased Kalman filter),使其適用于遠(yuǎn)距離場景下機(jī)動目標(biāo)跟蹤,并保持較高的定位精度。

1 基于3D-AOA的目標(biāo)定位模型

1.1 基于3D-AOA的運(yùn)動模型

對于機(jī)動目標(biāo),其運(yùn)動軌跡呈現(xiàn)為曲線形式,在文獻(xiàn)[14]就將目標(biāo)軌跡假設(shè)為服從關(guān)于時(shí)間t的N次多項(xiàng)式,而根據(jù)樣條插值理論,可以選擇一次函數(shù)作為樣條插值的基函數(shù),該情況正對應(yīng)了目標(biāo)勻速運(yùn)動。因此,將勻速運(yùn)動模型作為機(jī)動目標(biāo)的運(yùn)動模型具有一定的合理性。

定義目標(biāo)在k時(shí)刻的位置用pk=[xT,k,yT,k,zT,k]T表示,速度vk=[vx,k,vy,k,vz,k]T,xk為目標(biāo)在k時(shí)刻的狀態(tài)變量,其狀態(tài)空間模型可由如下形式表示

其中,xk=;Fk為k時(shí)刻的目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;wk表示k時(shí)刻的過程噪聲,其自相關(guān)矩陣,

其中,T表示采樣時(shí)間間隔;q表示噪聲的功率譜密度(m2/s3);I表示單位矩陣。

1.2 基于3D-AOA 的量測模型

基于3D-AOA 的目標(biāo)跟蹤,其量測模型具有非線性。定義觀測平臺的位置uk= [xo,k,yo,k,zo,k]T,觀測平臺對目標(biāo)的方位角與俯仰角的觀測方程可表示為

其中,δk=[nk,mk]T;nk,mk為相互獨(dú)立的高斯白噪聲,標(biāo)準(zhǔn)差分別為σθ,k,σφ,k;E{δkδTk}=Rk=。

該模型進(jìn)行偽線性化可以得到新的系統(tǒng)狀態(tài)方程

式中

1.3 偽線性卡爾曼濾波

根據(jù)1.2節(jié)的結(jié)果,將卡爾曼濾波算法應(yīng)用到該偽線性系統(tǒng)中,得到如下的偽線性卡爾曼濾波算法

(1)狀態(tài)預(yù)測階段

(2)更新階段

對卡爾曼濾波進(jìn)行偏差分析,將式(12),(13),(14)代入到式(15)中,并利用矩陣求逆引理可以得到

令

于是,對式(17)求取期望可以得到偽線性卡爾曼濾波估計(jì)的偏差為

也就是說,對于偽線性卡爾曼濾波而言,其原理性偏差由Bk與Ck兩部分組成。Bk是由目標(biāo)的過程噪聲引起,當(dāng)過程噪聲較小時(shí),該部分可近似為0,即E{Bk}≈0;而Ck是由于系統(tǒng)偽線性化使得量測矩陣Hk與ηk存在相關(guān)性引起的,二者之間的相關(guān)性不可忽略,是偽線性卡爾曼濾波存在有偏性的根本原因。Ck的大小與角測量噪聲大小有關(guān),當(dāng)噪聲較小時(shí)并不明顯,而當(dāng)角測量噪聲增大時(shí),將會快速增大使得狀態(tài)估計(jì)結(jié)果迅速發(fā)散。因此為了保證目標(biāo)跟蹤的精度,必須對偏差進(jìn)行處理。

2 3D-UBKF

2.1 3D-UBKF算法原理

為了消除偽線性卡爾曼濾波的偏差,目前的解決思路主要分為對偏差進(jìn)行估計(jì)再補(bǔ)償以及消除量測矩陣Hk與ηk之間相關(guān)性兩種[7]。而根據(jù)偏差補(bǔ)償?shù)慕鉀Q思路,只適用于角測量為小噪聲的情況,當(dāng)噪聲較大時(shí)去偏效果嚴(yán)重下降,如BC-PLKF;消除量測矩陣Hk與ηk之間相關(guān)性卻能從原理上解決算法的有偏性問題,如IV-PLKF。但是,該方法的輔助變量卻是通過BC-PLKF 進(jìn)行構(gòu)造,受限于BC-PLKF的性能。為了消除Hk與ηk之間相關(guān)性,本文通過將噪聲項(xiàng)從量測矩陣中分離出來,提出了一種適用于三維場景且具有無偏性能的3D-UBKF算法。然而,將該方法應(yīng)用到遠(yuǎn)距離場景下時(shí),發(fā)現(xiàn)該方法易出現(xiàn)估計(jì)發(fā)散的情況,為此,本文還設(shè)計(jì)了EKF作為角度濾波器幫助3D-UBKF 來改善該問題。

在小噪聲條件下,假設(shè)cosnk≈cosmk≈1,sinnk≈nk,sinmk≈mk,將其代入偽線性量測矩陣Hk中

將式(22)與式(23)代入式(6)得到

式中

將式(24)兩邊同乘對角陣diag([1/mk1,1/mk2]),于是得到

據(jù)式(21)的結(jié)果可知,此時(shí)原理性偏差

由于ˉHθ,k與ˉHφ,k分別與角測量噪聲nk、mk無關(guān),因此E{Ck}=0,即該算法具有無偏性。整理3D-UBKF算法如表1所示。

表1 基于3D-UBKF的目標(biāo)跟蹤步驟Tab.1 Target tracking steps based on 3D-UBKF

在實(shí)際應(yīng)用過程中,由于dk以及觀測真值θk,φk未知,無法直接得到Gk以及參數(shù)mk1,mk2,可以采用估計(jì)值代替,這個(gè)思想與輔助變量法具有一定的相似之處。而根據(jù)輔助變量法的收斂條件,需要保證估計(jì)矩陣^Gk與真值Gk具有較強(qiáng)的相關(guān)性,若直接采用該方法的角度估計(jì)值作為真值輸入,那么很容易在前期由于估計(jì)不夠準(zhǔn)確而使得與真值Gk不相關(guān),使得目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)估計(jì)發(fā)散。EKF 是一種不具有原理性偏差的非線性濾波算法,且計(jì)算量小,對角度的估計(jì)較穩(wěn)定,因此,采用EKF方法后驗(yàn)估計(jì)的方位角與俯仰角作為該算法的角度真值輸入,從而得到

于是,總結(jié)3D-UBKF 算法的工作流程如圖1所示。

圖1 3D-UBKF工作流程Fig.1 3D-UBKF workflow

2.2 基于EKF的角度估計(jì)

EKF適用于非線性高斯模型,應(yīng)用十分廣泛。根據(jù)第一章的模型,可以得到該系統(tǒng)模型為

EKF采用泰勒公式展開將非線性模型近似為線性模型,將其應(yīng)用到系統(tǒng)(35)中,對于表2中Jk可由式(36)得到

表2 基于EKF的角度估計(jì)步驟Tab.2 AOA estimation steps based on EKF

式中

3 仿真分析

本章通過仿真實(shí)驗(yàn)對算法的性能進(jìn)行測試,選擇EKF,CKF(cubature Kalman filter)[15],3DIVKF(3D-instrumental variable based Kalman filter)[8]作為對比對象,分別對具有單一運(yùn)動模型的目標(biāo)以及組合運(yùn)動模型的目標(biāo)(勻速運(yùn)動模型+協(xié)同轉(zhuǎn)彎模型)進(jìn)行了比較。

3.1 單一運(yùn)動模型目標(biāo)仿真分析

仿真場景一:仿真時(shí)間長720 s,采樣時(shí)間間隔0.2 s,蒙特卡羅仿真200次。觀測平臺的出發(fā)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),起始速度為(0 m/s,250 m/s,0 m/s)T。為了保證觀測平臺對目標(biāo)具有較高的可觀性,過程中采用協(xié)同轉(zhuǎn)彎與勻速直線運(yùn)動的組合形式,無天向運(yùn)動,最終設(shè)計(jì)觀測平臺的第一階段的機(jī)動策略如表3所示,重復(fù)該過程9次。

表3 航行軌跡參數(shù)Tab.3 Navigation trajectory parameters

水平面上的機(jī)動軌跡如圖2所示,起始點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。

圖2 觀測平臺X-Y 平面運(yùn)動軌跡Fig.2 Observation platform X-Y plane motion trajectory

目標(biāo)的起始點(diǎn)位置為(60 km,80 km,10 km)T,速度為(-330 m/s,-170 m/s,1.21 m/s)T,將過程噪聲Q中的過程譜密度噪聲設(shè)置為qx=2 m2/s3,qy=2 m2/s3,qz=0.2 m2/s3。另外,設(shè)置濾波器初始值。由于估計(jì)過程中假設(shè)無先驗(yàn)信息,只能通過傳感器探測范圍來確定,將濾波器初值設(shè)為1.5倍真值,初始協(xié)方差設(shè)置為625,625,6.25,6.25,6.25]),觀測噪聲協(xié)方差矩陣R與過程噪聲矩陣Q此處均設(shè)置為真值,3D-IVKF中的閾值設(shè)置為3σ。

圖3比較了目標(biāo)在做勻速直線運(yùn)動條件下,在不同角測量誤差條件下的算法,其中,圖3(a)對比了不同算法在500～720 s時(shí)間內(nèi)的絕對位置誤差(absolute position error,APE),該指標(biāo)可一定程度反映算法的收斂速度,圖3(b)對比了采樣結(jié)束時(shí)不同算法的APE,此時(shí)目標(biāo)與觀測平臺距離為342 km。通過圖3(a)與圖3(b)可以看出當(dāng)角測量誤差從0.1°變化到0.5°時(shí),各算法誤差逐漸增大,而3D-UBKF與3D-IVKF 方法的誤差變化較小,但角測量誤差從0.1°到0.25°的變化過程中,CKF與EKF方法的誤差均顯著低于其他兩種基于偽線性量測方程的方法;當(dāng)角測量誤差達(dá)到0.3°時(shí),由于3D-UBKF以及3D-IVKF 對角測量誤差相對不敏感,此時(shí)3DUBKF在500～720 s時(shí)間內(nèi)的時(shí)均APE 達(dá)到最小,而3D-IVKF 的誤差則與EKF,CKF 十分接近,這說明此時(shí)3D-UBKF 的收斂速度較快;而當(dāng)角測量誤差達(dá)到0.5°時(shí),3D-UBKF 的算法優(yōu)勢進(jìn)一步擴(kuò)大,此時(shí)從精度與收斂速度上均為最優(yōu)。圖4展示了算法在0.5°角測量噪聲時(shí)的跟蹤效果。

圖3 目標(biāo)勻速時(shí)算法在不同角測量誤差條件下的誤差對比圖Fig.3 Error comparison of algorithm under different angular measurement error conditions when the target speed is constant

圖4 勻速目標(biāo)跟蹤態(tài)勢圖Fig.4 Situation map of uniform motion target tracking

因此,根據(jù)上述仿真結(jié)果可以看出,在勻速條件下,EKF,CKF的誤差指標(biāo)接近,在角測量誤差小于0.3°時(shí)均表現(xiàn)出優(yōu)異的定位跟蹤性能,但當(dāng)角測量誤差大于0.3°時(shí),對算法的收斂速度影響較大;基于偽線性量測方程推導(dǎo)的3D-IVKF 與3DUBKF在小噪聲條件下定位跟蹤性能上則稍微差一些,但收斂速度與跟蹤精度對角測量誤差相對不敏感,當(dāng)角測量誤差達(dá)到0.5°時(shí),3D-UBKF 能達(dá)到同時(shí)兼顧精度與收斂速度的目的。

3.2 組合運(yùn)動模型目標(biāo)仿真分析

仿真場景二:觀測平臺的運(yùn)動軌跡與仿真場景一保持一致,目標(biāo)的起始點(diǎn)位置為(60 km,80 km,10 km)T,初始速度為(-330 m/s,-170 m/s,1.21 m/s)T,過程噪聲Q中的過程譜密度噪聲設(shè)置為qx=2 m2/s3,qy=2 m2/s3,qz=0.2 m2/s3。在采樣前300 s保持勻速直線運(yùn)動,之后z方向高度不變,產(chǎn)生在水平方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的勻速圓周運(yùn)動,角速度為1(°)/s,持續(xù)30 s,之后繼續(xù)保持勻速直線運(yùn)動。濾波器參數(shù)設(shè)置保持不變。

圖5 比較了目標(biāo)在機(jī)動條件下,不同算法在不同角量測誤差條件下的誤差表現(xiàn),其中,圖5(a)對比了不同算法在500～720 s時(shí)間內(nèi)的時(shí)均APE,圖5(b)對比了采樣結(jié)束時(shí)不同算法的APE,此時(shí)目標(biāo)與觀測平臺之間距離為305 km。在目標(biāo)發(fā)生機(jī)動的條件下,可以看到各算法的性能表現(xiàn)仍大致保持一致。通過圖5 可以看到,非線性濾波的EKF,CKF在角測量誤差小于0.3°時(shí),性能十分接近,優(yōu)于偽線性濾波的3D-IVKF 與3D-UBKF,但隨著角測量誤差增大,誤差的變化速度也高于這兩種算法。圖5(a)可以看到,角測量誤差從0.1°到0.25°的變化過程中,CKF與EKF方法的誤差較小;當(dāng)角測量誤差達(dá)到0.3°時(shí),3D-UBKF 的誤差指標(biāo)開始與EKF,CKF接近;而角測量誤差為0.35°時(shí),EKF,CKF的誤差指標(biāo)則與3D-IVKF接近。再觀察角測量誤差為0.5°時(shí)各算法的誤差指標(biāo),可以看到,EKF,CKF的各項(xiàng)誤差指標(biāo)均高于3D-IVKF 以及3DUBKF;其中,3D-UBKF達(dá)到了最佳的跟蹤效果,在整個(gè)角測量誤差增大的過程中,3D-UBKF的絕對位置誤差以及采樣結(jié)束時(shí)刻APE均幾乎不發(fā)生變化。圖6為角測量噪聲為0.5°時(shí)各算法的跟蹤情況。

圖5 目標(biāo)機(jī)動時(shí)算法在不同角測量誤差條件下的誤差對比圖Fig.5 Error comparison of algorithm under different angular measurement error conditions during target maneuvering

圖6 機(jī)動目標(biāo)跟蹤情況Fig.6 Maneuvering target tracking situation

根據(jù)算法對機(jī)動目標(biāo)的仿真結(jié)果來看,在機(jī)動條件下,EKF,CKF在角測量誤差小于0.3°時(shí)仍能表現(xiàn)出優(yōu)異的定位跟蹤性能,但當(dāng)角測量誤差大于0.3°時(shí),對算法的收斂速度影響較大;基于偽線性量測方程推導(dǎo)的3D-IVKF 與3D-UBKF 在小噪聲條件下,定位跟蹤性能上則稍微差一些,其中,3DUBKF由于結(jié)合了EKF 的后驗(yàn)結(jié)果,在小噪聲條件下保持住了EKF 的優(yōu)良性能,跟蹤精度略低于EKF,而明顯優(yōu)于3D-IVKF;除此之外,由于偽線性濾波對角測量誤差相對不敏感,當(dāng)角測量誤差達(dá)到0.3°～0.5°時(shí),3D-UBKF 與3D-IVKF 的跟蹤精度逐漸超過EKF 與CKF,而在大噪聲條件下,3DUBKF又表現(xiàn)出優(yōu)于3D-IVKF 的跟蹤性能,性能指標(biāo)在各算法中最優(yōu)。

進(jìn)一步對各算法的運(yùn)行效率進(jìn)行統(tǒng)計(jì),以EKF一次蒙特卡羅仿真的時(shí)間作為單位時(shí)間,將其他算法的一次蒙特卡羅仿真時(shí)間與之相除作為各算法的運(yùn)行時(shí)間,得到各算法相對運(yùn)行時(shí)間如表4所示。可以看出,在小噪聲條件下,EKF 同時(shí)兼顧了運(yùn)算速度快、定位估計(jì)精度高的優(yōu)點(diǎn)。而基于偽線性濾波改進(jìn)的3D-IVKF 與3D-UBKF 由于添加了其他運(yùn)算,使得運(yùn)行效率有所下降,但仍明顯優(yōu)于點(diǎn)估計(jì)形式的CKF。3D-UBKF通過犧牲一定的運(yùn)行速度和小噪聲條件下的定位估計(jì)精度,達(dá)到了運(yùn)行速度相對較快,且對噪聲具有較強(qiáng)抗干擾能力的特點(diǎn)。

表4 算法相對運(yùn)行時(shí)間對比Tab.4 Comparison of algorithm relative running times

4 結(jié)論

本文通過仿真實(shí)驗(yàn)表明:

1)基于非線性濾波理論的EKF,CKF 在小噪聲條件下性能穩(wěn)定,定位估計(jì)精度高,兩種算法效果十分接近;但噪聲較大時(shí),這兩種算法均會出現(xiàn)目標(biāo)跟蹤精度迅速下降的問題,對角測量噪聲敏感。本文提出的3D-UBKF 相比于EKF,CKF,具有更強(qiáng)的抗干擾能力。

2)基于偽線性濾波的3D-IVKF 與3D-UBKF均有效改善了普通3D-PLKF 的有偏性問題,具有對角測量誤差不敏感的優(yōu)點(diǎn),當(dāng)角測量誤差較大時(shí),具有比EKF,CKF 更加良好的目標(biāo)跟蹤性能,尤其是本文提出的3D-UBKF,相比于3D-IVKF 具有更高的目標(biāo)跟蹤精度。對于百公里級別的目標(biāo),當(dāng)角測量誤差從0.1°變化到0.5°,算法在仿真時(shí)間結(jié)束時(shí)均能將絕對位置誤差降低至10 km 以內(nèi)。

3)3D-UBKF由于利用了EKF 對角度測量值預(yù)先進(jìn)行了處理,增大了運(yùn)算量,其運(yùn)行效率介于3D-IVKF與CKF之間,具有與EKF同一個(gè)量級的運(yùn)行速度。

綜上所述,3D-UBKF 同時(shí)兼顧了目標(biāo)定位跟蹤精度、抗干擾能力以及運(yùn)行速度,可以為遠(yuǎn)距離場景下的目標(biāo)跟蹤提供有效方法。