朱鴻旭

(西安開放大學(xué),西安 710048)

0 引言

脈沖星是一種具有超高的密度、溫度與壓力,極強(qiáng)磁場,且自旋超穩(wěn)定等特質(zhì)的自然天體,被譽(yù)為天文和物理研究的天然實(shí)驗(yàn)室。通常來說,脈沖星具有射電波段到Gamma射線的波段的電磁輻射。由于脈沖星自旋非常穩(wěn)定,故可以將它的自旋情況作為一個(gè)穩(wěn)定的頻率源。由于計(jì)時(shí)需要一個(gè)穩(wěn)定的頻率源,故脈沖星所具有的特質(zhì)非常適合用于計(jì)時(shí),并進(jìn)一步地用來導(dǎo)航。

Crab脈沖星是研究脈沖星計(jì)時(shí)與導(dǎo)航相當(dāng)重要的一顆脈沖星。它是公元1054年超新星爆發(fā)的產(chǎn)物[1],相較于毫秒脈沖星,Crab脈沖星比較年輕,目前仍在不斷發(fā)生各種內(nèi)部物理過程,導(dǎo)致其自旋相對不穩(wěn)定,需要按月更新自旋參數(shù)。但Crab 脈沖星具有流量很強(qiáng)的全波段輻射,即使是微小衛(wèi)星也可用Crab脈沖星作定軌[2],更便于在脈沖星計(jì)時(shí)與導(dǎo)航的理論驗(yàn)證階段觀測、分析。故國內(nèi)外的X射線脈沖星導(dǎo)航試驗(yàn)都將其作為重要的觀測源進(jìn)行觀測研究,例如我國的X 射線脈沖星導(dǎo)航試驗(yàn)衛(wèi)星(X-ray pulsar navigation-1,XPNAV-1)即將其作為主要的探測目標(biāo)[3]。

由于脈沖星信號(hào)是自然天體輻射的頻率源信號(hào),相較于衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng),其信號(hào)不易受到人為干擾,更有利于近地和深空的自主導(dǎo)航需求[4]。在地外由于幾乎不存在光電離,同時(shí)小面積探測載荷即可探測X射線輻射光子,因此利用X 射線信號(hào)進(jìn)行脈沖星導(dǎo)航具有更強(qiáng)的可行性。近年來,美國國家航空航天局(National Aeronautics and Space Administration,NASA)的X 射線計(jì)時(shí)和導(dǎo)航技術(shù)站探測器(Station Explorer for X-ray Timing and Navigation Technology,SEXTANT)團(tuán)隊(duì)利用其中子星內(nèi)部組成探測器(Neutron Star Interior Composition Explorer,NICER)對X 射線脈沖星展開為期2 年的計(jì)時(shí)觀測,其得到的長穩(wěn)計(jì)時(shí)精度目前已達(dá)到10-14量級(jí),已經(jīng)接近原子鐘的長穩(wěn)水平[5]。若展開進(jìn)一步觀測,脈沖星的計(jì)時(shí)精度有望進(jìn)一步提升1～2個(gè)數(shù)量級(jí),超過了常見原子鐘的計(jì)時(shí)精度,充分顯示出X 射線脈沖星在計(jì)時(shí)與導(dǎo)航領(lǐng)域的巨大潛力。其他一些國家也進(jìn)行了地外脈沖星觀測實(shí)驗(yàn)[6-8]。與此同時(shí),我國的“天極”伽瑪暴偏振探測儀POLAR,XPNAV-1,硬X 射線調(diào)制望遠(yuǎn)鏡(hard Xray modulation telescope,HXMT)等都進(jìn)行了X 射線脈沖星導(dǎo)航試驗(yàn)[9-11]。以上試驗(yàn)均取得了扎實(shí)而豐碩的成果,從各個(gè)層面不斷驗(yàn)證了X 射線脈沖星計(jì)時(shí)及導(dǎo)航應(yīng)用的原理。最近我國的龍蝦眼X 射線探測衛(wèi)星成功在軌運(yùn)行,也必將為X 射線脈沖星導(dǎo)航的未來發(fā)展注入新的動(dòng)能[12-13]。

對于我國已進(jìn)行的脈沖星計(jì)時(shí)與導(dǎo)航觀測試驗(yàn)而言,HXMT與XPNAV-1衛(wèi)星具有一定的代表性。“慧眼”(Insight)硬X 射線調(diào)制望遠(yuǎn)鏡(HXMT)衛(wèi)星是我國首個(gè)空間天文衛(wèi)星,自升空以來,對黑洞、脈沖星等高能天體與伽馬射線暴等天文現(xiàn)象展開了一系列的重要科學(xué)觀測。該衛(wèi)星搭載了HE,ME,LE(高、中、低能)三個(gè)主要載荷用于展開觀測,探測器總面積超過6 000 cm2,觀測能段為1～250 keV。XPNAV-1是由中國空間技術(shù)研究院(China Acadency of Space Technology,CAST)設(shè)計(jì)研制。XPNAV-1的發(fā)射解決了中國研制的探測器“看得見”脈沖星的問題。該衛(wèi)星搭載了掠入射Wolter-I聚焦型X 射線探測器,探測器面積為30 cm2,觀測能段為0.5～10 ke V。顯然,面積更大的探測器更有利于獲得更好的觀測數(shù)據(jù)。但對于脈沖星導(dǎo)航在未來航天任務(wù)中的實(shí)際應(yīng)用而言,考慮到衛(wèi)星上其他載荷的存在,X 射線探測器要符合低成本、輕量化的需求,難以通過持續(xù)增大探測器面積的方式提升觀測效果[14]。在觀測面積上的不足可部分通過算法彌補(bǔ),如武達(dá)亮[15]提出利用超分辨率匹配估計(jì)檢測脈沖星觀測輪廓的畸變和相移的方式改善輪廓信噪比;王奕迪等[16]提出單探測器也可通過分時(shí)段觀測不同脈沖星的方式作脈沖星導(dǎo)航,提高了導(dǎo)航性能;楊嘉慧等[17]提出利用基于變分模態(tài)分解的改進(jìn)容積卡爾曼濾波的方式進(jìn)行脈沖星導(dǎo)航,一定程度上規(guī)避了測量噪聲不確定帶來的影響;李璟璟等[18]提出可以利用脈沖星作分布式導(dǎo)航,更好地利用弱脈沖星信號(hào)和小面積探測器。因此,小面積探測器作脈沖星計(jì)時(shí)導(dǎo)航試驗(yàn)同樣具有重要現(xiàn)實(shí)意義。分析隨機(jī)誤差對不同面積的探測器X 射線脈沖星計(jì)時(shí)觀測的影響,對于驗(yàn)證X 射線脈沖星計(jì)時(shí)與導(dǎo)航原理有著同樣重要的積極作用。

脈沖星自身自旋極其穩(wěn)定,若脈沖星信號(hào)在宇宙?zhèn)鞑ミ^程中遇到的干擾均被精確量化,到達(dá)時(shí)間(time of arrival,TOA)轉(zhuǎn)換模型足夠完善,歸算過程采用的太陽系星歷表與獲得脈沖星星歷采取的星歷表相同且精度也足夠高,同時(shí)接收機(jī)的噪聲溫度非常低,那么衡量脈沖TOA 測量精度的量——脈沖TOA 測量誤差應(yīng)當(dāng)極小,甚至趨近于0[19]。顯然,上述情況在實(shí)際計(jì)時(shí)與導(dǎo)航觀測中難以出現(xiàn),需要提供高精度歷表或及時(shí)更新有關(guān)參數(shù)?？紤]到脈沖星導(dǎo)航技術(shù)將來主要用于探月[20]、探火[21]以及其他深空自主導(dǎo)航環(huán)境[22],或特殊情況下的自主導(dǎo)航,因此地面上注數(shù)據(jù)有限,需要衛(wèi)星在空間自主維持時(shí)間尺度,自主更新脈沖星星歷參數(shù)。目前有關(guān)算法研究較為豐富,如王禹淞等[23]、劉勁等[24]、王奕迪等[25]分別提出可利用太陽或其他恒星輔助脈沖星導(dǎo)航;武達(dá)亮等[26]采用復(fù)合測速的方法充分利用脈沖星信息,提升了導(dǎo)航精度;熊凱等[27]提出可以充分利用星間鏈路與脈沖星觀測信息作組合導(dǎo)航。以上算法均取得了良好的預(yù)期效果。

然而,上述脈沖星自主計(jì)時(shí)導(dǎo)航算法需要優(yōu)質(zhì)的觀測數(shù)據(jù)與高精度的脈沖星星歷先驗(yàn)數(shù)據(jù)作支撐。由于星載空間有限,難以無限制地通過加大觀測面積的方式實(shí)現(xiàn)計(jì)時(shí)與導(dǎo)航需求,而脈沖星計(jì)時(shí)導(dǎo)航觀測也無法無限制地通過增長觀測時(shí)間的方式達(dá)到預(yù)期效果[28],脈沖星星歷誤差的存在同樣會(huì)顯著降低探測器的觀測效果。故需要盡可能在脈沖星全自主計(jì)時(shí)、導(dǎo)航前上注高精度的脈沖星星歷,同時(shí)合理安排載荷模塊,使得在允許的觀測誤差條件下盡可能將載荷小型化。因此,為了對后續(xù)觀測的載荷模塊提出更科學(xué)的指標(biāo)性需求,有必要對脈沖TOA 估計(jì)中的誤差進(jìn)行量化分析,以便更好地實(shí)現(xiàn)在空間利用脈沖星自主維持時(shí)間基準(zhǔn)、自主導(dǎo)航的遠(yuǎn)期目標(biāo)。

對脈沖TOA 估計(jì)過程具有影響的誤差源種類多樣,如太陽系天體位置、轉(zhuǎn)換模型、脈沖星的位置等[29]。而在誤差源中光子TOA 的測量誤差與脈沖星自轉(zhuǎn)頻率的誤差對脈沖TOA 估計(jì)具有直接而重要的影響。為確定二者對脈沖TOA 測量精度的影響,本文首先將仿真生成含有不同大小隨機(jī)誤差的太陽系質(zhì)心(solar system barycenter,SSB)處Crab脈沖星光子到達(dá)時(shí)間(光子TOA)的脈沖光子,采用含有不同大小自轉(zhuǎn)頻率隨機(jī)誤差的Crab脈沖星星歷,通過歷元折疊建立積分脈沖輪廓。將積分脈沖輪廓與標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓作互相關(guān),得到含有不同仿真誤差的脈沖TOA。將含有誤差的脈沖TOA 與不含有誤差的Crab 脈沖星模型參數(shù)預(yù)報(bào)的脈沖TOA 作差得到脈沖TOA 測量誤差。分析不同大小的光子TOA 隨機(jī)誤差與Crab脈沖星自轉(zhuǎn)頻率誤差帶來的Crab脈沖星脈沖TOA 測量誤差,并進(jìn)一步評價(jià)估計(jì)其對Crab脈沖星計(jì)時(shí)與導(dǎo)航可能帶來的影響。

1 帶有隨機(jī)誤差的光子TOA建模

探測器在SSB處接收X 射線脈沖星輻射光子的過程,可數(shù)學(xué)抽象為一個(gè)具有時(shí)變速率的非齊次泊松過程[30]。令Crab 脈沖星的流量密度函數(shù)為λ(t),λ(t)即為該非齊次泊松過程的強(qiáng)度函數(shù),可表示為

式(1)中,λb表示背景光子流量密度,λs表示Crab脈沖星光子流量密度,h(φdet(t))表示標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓,上述參數(shù)可由仿真條件確定;φdet(t)表示探測相位,其中φ∈(0,1]。則此時(shí)在一個(gè)時(shí)間間隔Δt內(nèi)探測到一個(gè)光子的概率為

探測到多個(gè)光子事件的概率為

其中Mt代表(0,t)收到的光子總數(shù)。在確定的時(shí)間間隔(ts,tr)內(nèi)對λ(t)作積分,即為該段時(shí)間內(nèi)探測器接收光子數(shù)量服從的泊松分布參數(shù),令λ=,則

由于該過程具有獨(dú)立增量,其均值和方差皆為λ,同時(shí)在一個(gè)周期內(nèi)λ(t)均為已知量,且光子TOA 關(guān)于強(qiáng)度函數(shù)(即λ(t))服從均勻分布,因此一個(gè)周期內(nèi)的光子TOA 均可由泊松抽樣獲得。但結(jié)合實(shí)際觀測[31]可知,探測器在Crab脈沖星的一個(gè)周期內(nèi)甚至未必能探測到一個(gè)光子事件。由于Crab脈沖星的自轉(zhuǎn)存在緩變,在10 min量級(jí)內(nèi)可對相位函數(shù)φ(t)作二階泰勒展開,即由

計(jì)算得出[32],其中υ0代表初始頻率,t0代表仿真起始時(shí)刻,ο(·)表示高階無窮小。式(5)能較好擬合Crab脈沖星的自轉(zhuǎn)相位。而λ(t)與φ(t)具有直接的函數(shù)關(guān)系,故在若干個(gè)周期內(nèi)對λ(t)作積分、抽樣,同樣能夠獲得符合光子探測過程的仿真光子。在仿真觀測時(shí)間內(nèi)不斷重復(fù)抽樣過程,即可獲得一段時(shí)間內(nèi)的光子TOA 仿真數(shù)據(jù)。為提高抽樣效率,本文選取的抽樣時(shí)間間隔固定為1 s,此時(shí)抽樣與積分產(chǎn)生的誤差不會(huì)對光子TOA 精度帶來明顯影響。上述過程所得到的光子TOA 為不含有隨機(jī)誤差的光子TOA。

由上述過程模擬生成時(shí)間間隔(ts,tr)內(nèi)光子TOA 的步驟如下:

1)計(jì)算仿真ts的脈沖星自轉(zhuǎn)相位φ(t)與自轉(zhuǎn)頻率υ(t);

2)以ts的自轉(zhuǎn)速率計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓一個(gè)bin所代表的時(shí)長Δt與(ts,tr)內(nèi)bin的個(gè)數(shù)n;

3)按式(1)計(jì)算ts至tr內(nèi)所有bin起點(diǎn)的λ(t),在(ts,tr)內(nèi)求級(jí)數(shù)(離散積分):λ=,其中λ(t)i代表第i個(gè)bin起點(diǎn)的λ(t);

4)以λ為參數(shù)作泊松抽樣,確定(ts,tr)內(nèi)的光子個(gè)數(shù)k;

5)光子對應(yīng)的λ(t)此時(shí)服從均勻分布U(0,λ),作k次抽樣后獲得每個(gè)光子對應(yīng)的λ(t),再內(nèi)插獲得光子TOA。

在實(shí)際的光子TOA 的測量過程中,其時(shí)刻記錄一定存在系統(tǒng)誤差與偶然誤差。系統(tǒng)誤差是由于測量或觀測過程中的固有偏差或系統(tǒng)偏移引起的。它通常是由于儀器的缺陷、校準(zhǔn)問題以及環(huán)境條件等因素導(dǎo)致的。對于光子TOA 測量而言,系統(tǒng)誤差通常包括星載原子鐘誤差、探測器靈敏度、最小分辨率(如:時(shí)間分辨率)誤差、探測器讀出時(shí)間延遲、探測器本底噪聲、探測效率、量化誤差(±1)、舍入誤差等[33],其對光子TOA 測量結(jié)果產(chǎn)生持續(xù)性的偏離,即每個(gè)光子TOA 測量值都相對真值有一個(gè)固定偏差。星載原子鐘誤差往往具有不對稱性或者其他非均勻分布特征,但在星載原子鐘誤差得到上注信息校正,且觀測時(shí)間較短時(shí),系統(tǒng)誤差可認(rèn)為由原子鐘誤差之外的其他因素累加引起。系統(tǒng)誤差具有復(fù)雜的隨機(jī)性,難以準(zhǔn)確描述和建模。但由于系統(tǒng)誤差往往表現(xiàn)為在一定范圍內(nèi)變化,為簡化數(shù)據(jù)處理和統(tǒng)計(jì)分析的數(shù)學(xué)模型,其對測量結(jié)果產(chǎn)生的固有偏差或系統(tǒng)偏移影響可假設(shè)為無偏且服從均勻分布,以便于后續(xù)對其進(jìn)行進(jìn)一步的數(shù)據(jù)分析與參數(shù)估計(jì)[34]。光子TOA 測量時(shí)產(chǎn)生的偶然誤差則是由衛(wèi)星在空間中受到的外部干擾(如:電磁干擾、太陽風(fēng)、稀薄大氣)、衛(wèi)星的位置偏差、光子TOA 記錄算法誤差、儀器記錄過程中產(chǎn)生的誤差等多個(gè)不確定隨機(jī)因素疊加引起。根據(jù)中心極限定理,當(dāng)許多獨(dú)立隨機(jī)變量相互作用時(shí),它們的和趨于正態(tài)分布。而探測器的裝配誤差項(xiàng)既包含系統(tǒng)誤差,又包含偶然誤差[35]。為控制變量,分別量化分析系統(tǒng)誤差與偶然誤差對輪廓與脈沖TOA 測量精度帶來的影響,現(xiàn)將tMi加入服從均勻分布U(-EU,EU)的誤差tEU,或加入服從正態(tài)分布的誤差tEN。對于第i次仿真觀測,得到的第j個(gè)無額外誤差的光子TOA 為tMij。 加入系統(tǒng)誤差的光子TOA 為

對于第m次仿真觀測,得到的第n個(gè)加入隨機(jī)誤差的光子TOA 為

本文系統(tǒng)誤差參數(shù)EU與偶然誤差參數(shù)EN的取值范圍均為{0,1,10,100,500,1 000}(單位:μs)。

2 Crab脈沖星X 射線脈沖TOA 誤差分析過程

2.1 生成流量密度函數(shù)

要生成光子TOA,首先需要標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓來提供高精度的脈沖星流量密度函數(shù)。NASA 發(fā)射的羅西X射線計(jì)時(shí)探測器(Rossi X-ray Timing Explorer,RXTE)衛(wèi)星提供了Crab 脈沖星標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓數(shù)據(jù),被認(rèn)為是Crab脈沖星觀測的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)[36]。該輪廓由多年累積數(shù)據(jù)獲得,平滑程度好,信噪比高,適用于提供流量密度函數(shù),生成光子TOA 仿真數(shù)據(jù),如圖1所示。

圖1 RXTE提供的Crab脈沖星標(biāo)準(zhǔn)積分輪廓Fig.1 Crab pulsar standard pulse profile provide by RXTE

圖1中,橫軸代表子相位間隔(bin),表示將一個(gè)自旋周期平均分成M份構(gòu)成的相位間隔。對于RXTE提供的Crab脈沖星標(biāo)準(zhǔn)積分輪廓而言,M=1 000?？v軸代表落在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的光子個(gè)數(shù),這里用百萬光子表示。

仿真同時(shí)需要確定觀測條件。作為我國典型的兩顆X 射線脈沖星觀測衛(wèi)星,HXMT 的探測器總面積約是XPNAV-1的200倍。而對于實(shí)際觀測數(shù)據(jù)而言,HXMT 的有效光子探測效率同樣約為XPNAV-1的200 倍,且背景光子占比略低于XPNAV-1[37],更有利于得出更高質(zhì)量的科學(xué)觀測數(shù)據(jù)。但對于脈沖星導(dǎo)航的遠(yuǎn)期實(shí)際應(yīng)用而言,小型化的載荷更具有實(shí)用價(jià)值,便于探測器展開深空自主導(dǎo)航。故對于兩種類型的探測器的分析同樣重要。鑒于此,本文參考HXMT 與XPNAV-1 的硬件參數(shù)[31]與實(shí)測數(shù)據(jù)設(shè)定仿真采用的硬件條件與光子流量,旨在模擬不同探測器觀測Crab脈沖星時(shí)的性能和誤差特性。

脈沖星的自轉(zhuǎn)頻率存在緩慢的變化,甚至有時(shí)會(huì)出現(xiàn)自轉(zhuǎn)突變(glitch)現(xiàn)象,導(dǎo)致脈沖星自轉(zhuǎn)角速度突然增大,故脈沖星信號(hào)并不是嚴(yán)格的周期信號(hào)。尤其是模擬光子數(shù)量較大且模擬觀測時(shí)間較長時(shí),不能認(rèn)為脈沖星信號(hào)是理想的周期平穩(wěn)信號(hào)。模擬脈沖星信號(hào)的頻率緩變特性,對于周期折疊、周期搜索、脈沖TOA 估算和長時(shí)間導(dǎo)航等算法的驗(yàn)證具有重要意義。在不考慮glitch現(xiàn)象時(shí),確定脈沖星自轉(zhuǎn)頻率的一、二階導(dǎo)數(shù)即可獲得較好的模擬效果,這里參照文獻(xiàn)[38]設(shè)定仿真采用的Crab脈沖星星歷參數(shù)。

假設(shè)衛(wèi)星同時(shí)搭載了大面積探測器a與小面積探測器b,在參考?xì)v元時(shí)刻衛(wèi)星接收到了上注數(shù)據(jù),獲得了最新的脈沖星星歷,部分校正了星載原子鐘鐘差,與此同時(shí)兩個(gè)探測器同時(shí)對Crab脈沖星展開觀測。由于仿真起始時(shí)刻鐘差、星歷得到了地面上注數(shù)據(jù)的校正,故可認(rèn)為衛(wèi)星仿真觀測時(shí)的測量誤差都是無偏的。采用的仿真條件如表1所示。

表1 仿真條件Tab.1 Simulation conditions

2.2 考慮自轉(zhuǎn)頻率誤差的積分脈沖輪廓折疊

通過光子TOA 序列獲得脈沖TOA 的方法,整體而言可分為歷元折疊與非歷元折疊兩大類[39]。由于本文的仿真條件已知Crab脈沖星星歷,且具有一定的光子流量。故通過歷元折疊與時(shí)域相關(guān)的方式計(jì)算脈沖TOA 效率最高。進(jìn)行歷元折疊時(shí),需要將光子累積到同一周期后得到積分脈沖輪廓,再與標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓進(jìn)行互相關(guān)處理方能得到該組觀測的脈沖TOA。通常歷元折疊的方法又可分為兩種,一是搜尋到脈沖星自轉(zhuǎn)頻率后,逐個(gè)計(jì)算光子TOA 對應(yīng)的相位并歸算到所在的bin,統(tǒng)計(jì)每個(gè)bin中的光子數(shù),構(gòu)造直方圖獲得脈沖輪廓;二是直接利用精確的脈沖星星歷,折疊出以脈沖星星歷的參考?xì)v元時(shí)刻tepoch為相位起點(diǎn)的脈沖輪廓。由于仿真條件包括了脈沖星的自轉(zhuǎn)頻率及tepoch,故采取第二種方法作歷元折疊。具體做法為在對某組仿真觀測進(jìn)行歷元折疊時(shí),將該次觀測第一個(gè)光子SSB處TOA 時(shí)刻作為起點(diǎn)(即積分脈沖輪廓的相位零點(diǎn)),利用式(5)與公式

可以計(jì)算出該組觀測每個(gè)光子SSB處的TOA時(shí)刻,同時(shí)可得到對應(yīng)的Crab脈沖星自旋相位φi1,φi2,…,φij,…。其中i表示第i次觀測,j表示該次觀測的第j個(gè)光子。將該次觀測的所有光子的相位都減去該次第一個(gè)光子相位φi1,去掉整周期后獲得了歸一化自旋相位的小數(shù)值,即為該光子所對應(yīng)積分脈沖輪廓的相位值。根據(jù)文獻(xiàn)[40],脈沖星計(jì)時(shí)與導(dǎo)航宜取bin的個(gè)數(shù)為2的次冪。即將一個(gè)自旋周期等分為若干份,獲得若干個(gè)長度相等的子相位間隔。本文分別采取bin 數(shù)為M1=256,M2=512進(jìn)行計(jì)算,以期獲得更精確的脈沖TOA 測量誤差。將子相位間隔與該次觀測所有光子的相位值建立輪廓關(guān)系,即為無Crab脈沖星自轉(zhuǎn)頻率誤差的積分脈沖輪廓。

如前文所述,由于Crab脈沖星的內(nèi)部仍有一定的物理過程[41],同時(shí)還存在著長期演化現(xiàn)象[42]。這些物理過程可能導(dǎo)致脈沖星的自轉(zhuǎn)頻率漂移、自轉(zhuǎn)頻率波動(dòng)甚至glitch現(xiàn)象的發(fā)生,這些誤差都對Crab脈沖星的自轉(zhuǎn)頻率引入了不確定性,尤其構(gòu)成了短期的頻率誤差。由于上述誤差為系統(tǒng)誤差,故可近似等效為服從均勻分布。仿真時(shí)令其相對誤差ρ服從,本文自轉(zhuǎn)頻率誤差參數(shù)的取值范圍為:ER= {0,10-8,10-7,5×10-7,10-6,5×10-6},是無量綱的系數(shù)。設(shè)某次仿真為含有自轉(zhuǎn)頻率誤差的仿真,則該次仿真的初始頻率υ0E可表示為

對獲得的光子按照不同的ρ進(jìn)行歷元折疊,可獲得含有Crab脈沖星自轉(zhuǎn)頻率誤差的積分脈沖輪廓。為控制變量,本文對存在不同大小的EU、ER與存在不同大小的EN、ER分別進(jìn)行仿真。對每個(gè)誤差參數(shù)組各進(jìn)行100次仿真觀測,得到共計(jì)13 200組仿真觀測數(shù)據(jù)。

2.3 計(jì)算脈沖TOA測量誤差

將得到的各組標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓和積分脈沖輪廓進(jìn)行互相關(guān)處理,獲得觀測脈沖TOA,對觀測脈沖TOA 作多項(xiàng)式擬合項(xiàng)修正,可部分提升脈沖TOA測量精度,提升程度約為0.01 bin[43]。由于本文采用的仿真起始時(shí)刻即為參考?xì)v元時(shí)刻,故觀測TOA直接減去參考?xì)v元時(shí)刻即為脈沖TOA 測量誤差。

由于RXTE 提供的標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓采用的bin數(shù)M=1 000,而獲得脈沖TOA 測量誤差時(shí)采取的標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓與積分脈沖輪廓所采用的bin數(shù)須相同[44],故需要利用M=1 000的標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓生成M1=256與M2=512的標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓。此時(shí),可以采用逆插值的方式直接生成,但逆插值的方式會(huì)導(dǎo)致輪廓損失較多的高頻信息。這里本文采取按照探測器a的仿真參數(shù),EU,ER與EN均為0,實(shí)驗(yàn)1 000 次獲得的仿真光子按照上述方式進(jìn)行歷元折疊所產(chǎn)生的輪廓作為互相關(guān)運(yùn)算采用的標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓,如圖2所示。

圖2 互相關(guān)運(yùn)算采用的標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓Fig.2 Standard pulse profile for cross-correlation

3 仿真結(jié)果與分析

3.1 仿真結(jié)果

將不同的誤差參數(shù)組組內(nèi)的100個(gè)積分脈沖輪廓取平均值,獲得該誤差參數(shù)組平均積分脈沖輪廓。圖3、圖4中,黑色曲線是EU,EN均為0μs的平均積分脈沖輪廓,紅色曲線是考慮光子TOA 的系統(tǒng)誤差,EU=1 000μs時(shí)的平均積分脈沖輪廓,藍(lán)色曲線是考慮光子TOA的偶然誤差,EN=1 000μs時(shí)的平均積分脈沖輪廓。橫軸代表bin,其中M2=512;縱軸代表落在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的光子個(gè)數(shù)。分圖(a),(b),(c),(d),(e),(f)分別對應(yīng)取圖示的光子TOA誤差參數(shù)時(shí),自轉(zhuǎn)頻率誤差參數(shù)ER取0,10-8,10-7,5×10-7,10-6,5×10-6。圖3、圖4分別代表探測器a與探測器b的結(jié)果。

圖3 探測器a平均積分脈沖輪廓Fig.3 Average integrated pulse profile of Detector a

圖4 探測器b平均積分脈沖輪廓Fig.4 Average integrated pulse profile of Detector b

通過將圖3、圖4分別對比標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓可見,隨著誤差參數(shù)的逐漸增大,輪廓的主峰峰值與次峰峰值逐漸變小,兩個(gè)峰的半高寬度明顯展寬,兩個(gè)峰的峰值差明顯減小,同時(shí)產(chǎn)生了一些標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓不具備的毛刺等細(xì)部特征。尤其當(dāng)ER取到5×10-6時(shí),平均積分輪廓已發(fā)生顯著失真。而考慮隨機(jī)誤差時(shí),上述特征更為明顯。而對比圖3、圖4可以發(fā)現(xiàn),探測器a與探測器b獲得的平均輪廓整體特征相同,但探測器a的平均輪廓更為平滑。這些都代表脈沖輪廓隨誤差參數(shù)的增大與光子探測效率的下降,輪廓畸變程度逐漸加深,體現(xiàn)了兩個(gè)探測器對不同誤差大小的響應(yīng)方式,是符合預(yù)期的。

更為準(zhǔn)確地描述誤差對脈沖TOA 測量精度帶來的影響,需要用到由積分脈沖輪廓計(jì)算的脈沖TOA測量誤差均方根(root mean square,RMS)。對探測器a和b每個(gè)誤差參數(shù)組內(nèi)的100次仿真觀測,計(jì)算每個(gè)觀測的脈沖TOA 測量誤差,再計(jì)算該誤差參數(shù)組的脈沖TOA測量誤差RMS,得到表2與表3。

表2 帶有光子TOA系統(tǒng)誤差與脈沖星自轉(zhuǎn)頻率誤差的仿真觀測脈沖TOA測量誤差RMSTab.2 Simulation observation pulse TOA measurement error RMS with photon TOA systematic error and pulsar rotation frequency errorμs

表3 帶有光子TOA偶然誤差與脈沖星自轉(zhuǎn)頻率誤差的仿真觀測脈沖TOA測量誤差RMSTab.3 Simulation observation pulse TOA measurement error RMS with photon TOA accidental error and pulsar rotation frequency errorμs

3.2 仿真結(jié)果分析

分別對比探測器a與探測器b的仿真結(jié)果,當(dāng)自轉(zhuǎn)頻率誤差參數(shù)ER取0或10-8時(shí),比較不同測量誤差參數(shù)EU和EN的仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn),探測器a的全部誤差參數(shù)組以及探測器b在M1=256,測量誤差參數(shù)較小時(shí),脈沖TOA 測量誤差RMS 小于10 ns量級(jí)。事實(shí)上,對于單次脈沖TOA 測量而言,脈沖TOA 測量誤差包括了時(shí)域相關(guān)項(xiàng)與多項(xiàng)式擬合項(xiàng)。時(shí)域相關(guān)項(xiàng)的測量精度為一個(gè)bin 代表的時(shí)長,多項(xiàng)式擬合項(xiàng)為時(shí)域相關(guān)項(xiàng)的一個(gè)修正項(xiàng)。故測量結(jié)果中脈沖TOA 測量誤差RMS 小于10 ns量級(jí)的結(jié)果,可認(rèn)為該組的各次測量時(shí)域相關(guān)項(xiàng)均為0。但對比平均積分脈沖輪廓可知,隨著測量誤差參數(shù)EU和EN的增大,輪廓的失真程度逐漸加深。說明在上述誤差參數(shù)組的仿真條件下,脈沖TOA 測量誤差沒有超過一個(gè)bin代表的時(shí)長。探測器b在M2=512時(shí)以及在M1=256,測量誤差參數(shù)較大時(shí),脈沖TOA 測量誤差隨著測量誤差參數(shù)的增大而逐漸增大,說明測量誤差參數(shù)的增大對探測器b 影響更為明顯,較少的光子數(shù)不足以平滑誤差。

當(dāng)自轉(zhuǎn)頻率誤差參數(shù)ER=10-7時(shí),若M1=256,探測器a的脈沖TOA測量誤差高于探測器b的脈沖TOA 測量誤差;若M2=512,結(jié)果相反。由于探測器a的積分脈沖輪廓要顯著平滑于探測器b的積分脈沖輪廓,較小的bin數(shù)誤差分辨率低,影響了探測器a的脈沖TOA測量誤差結(jié)果。ER=5×10-7,EU,EN＜100μs,探測器a的脈沖TOA 測量誤差整體小于探測器b的脈沖TOA 測量誤差;ER=5×10-7,EU,EN＞100μs或ER＞5×10-7時(shí),兩個(gè)探測器的脈沖TOA 測量誤差已無明顯區(qū)別。這可能是由于探測器a的信號(hào)光子豐富,獲得的積分脈沖輪廓較為平滑,一定的無偏光子TOA 的測量噪聲可以較好濾除,獲得更好的脈沖TOA 測量誤差。而探測器b的信號(hào)光子數(shù)量有限,不足以通過輪廓折疊的方式完全濾除光子TOA 的測量噪聲。但誤差持續(xù)增大時(shí),通過增大探測器面積對光子TOA噪聲濾除的作用不顯著。

分別對比表2和表3可發(fā)現(xiàn),光子TOA 的偶然誤差相比于光子TOA 的系統(tǒng)誤差對脈沖星X 射線波段的脈沖TOA 測量精度帶來的影響更大。但只要該誤差是無偏的,除非光子TOA 的測量誤差為500μs量級(jí)時(shí),光子TOA 的測量誤差對脈沖星的單次脈沖TOA 測量誤差的影響均小于時(shí)域相關(guān)項(xiàng)的測量精度。這可能是由于輪廓折疊過程可以等價(jià)于一個(gè)低通濾波器,不同的bin數(shù)取值相當(dāng)于不同的低頻閾值。較小的光子TOA 測量誤差可以視作高頻噪聲,故可以將較小的光子TOA 測量誤差直接濾除,不體現(xiàn)在脈沖TOA 測量誤差中;只有當(dāng)光子TOA 測量誤差較大,出現(xiàn)了低頻成分時(shí),才對脈沖TOA 測量誤差具有顯著影響。這體現(xiàn)了輪廓折疊計(jì)算脈沖TOA 與脈沖TOA 測量誤差的方法對于高頻噪聲具有較強(qiáng)的魯棒性。

比較不同脈沖星自轉(zhuǎn)頻率誤差的仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),脈沖星計(jì)算脈沖TOA 測量誤差時(shí)對脈沖星自轉(zhuǎn)頻率誤差較為敏感,在ER=10-8時(shí)即已對脈沖TOA 測量誤差RMS 產(chǎn)生實(shí)質(zhì)影響。對于Crab脈沖星,此時(shí)的頻率誤差約為3×10-7Hz。隨著ER的尺度繼續(xù)增大,其對脈沖TOA 測量誤差RMS的不利影響逐漸加深。本文認(rèn)為,由于脈沖星自轉(zhuǎn)頻率誤差對于光子TOA 的影響直接作用于頻率,導(dǎo)致難以濾除,故該誤差會(huì)對脈沖TOA 測量誤差RMS造成更為顯著的影響。由于實(shí)際應(yīng)用時(shí)除了Crab脈沖星的自轉(zhuǎn)頻率誤差外,尚存在太陽系行星歷表誤差(如:不同的DE歷表轉(zhuǎn)換帶來的誤差或DE歷表自身存在的誤差)、光子TOA 轉(zhuǎn)換模型誤差、脈沖星星歷其他項(xiàng)的誤差等其他誤差源,因此實(shí)際上在導(dǎo)航應(yīng)用中留給上述各誤差項(xiàng)的誤差分量要求指標(biāo)會(huì)更高。

對于脈沖星導(dǎo)航未來的深空自主導(dǎo)航應(yīng)用場景而言,一般認(rèn)為位置精度d為10 km 量級(jí)是可接受的。此時(shí)對探測器的脈沖TOA 測量精度要求大致為d/c,即30～300μs左右,其中c代表光速[29]。結(jié)合表2、表3可知,當(dāng)歸算到自轉(zhuǎn)頻率的總誤差控制在3×10-6Hz(即ER=10-7)時(shí),探測器a分別考慮光子TOA 系統(tǒng)誤差、偶然誤差的脈沖TOA 測量精度均約為65μs;探測器b的脈沖TOA 測量精度始終低于探測器a,但除了EN＞500μs的情況外也可控制在100μs內(nèi)。考慮到實(shí)際觀測時(shí)誤差項(xiàng)的合成,不宜接受更大的誤差參數(shù)。同時(shí)可發(fā)現(xiàn)探測器b不易達(dá)到對脈沖TOA 測量精度小于30μs的要求。因此若將Crab脈沖星作深空計(jì)時(shí)觀測應(yīng)用于其他對脈沖TOA 測量精度要求更高的場景時(shí),要適當(dāng)增大探測器的有效探測面積,就本文仿真采取的觀測條件而言,bin數(shù)取512 要整體優(yōu)于256的結(jié)果。但由于bin 數(shù)越大,需要的計(jì)算資源越多,因此在實(shí)際星載計(jì)算時(shí)需要做出平衡。同時(shí)需要說明的是,小型探測器是通過增長觀測時(shí)間實(shí)現(xiàn)獲得更多的信號(hào)光子的目的,而誤差項(xiàng)往往會(huì)伴隨觀測時(shí)間增長產(chǎn)生積分。因此對探測器b的條件要求會(huì)比探測器a的要求更為苛刻。

4 結(jié)論

本文通過研究,得到如下結(jié)論:

1)經(jīng)對比發(fā)現(xiàn),隨著仿真誤差的逐漸增大,積分脈沖輪廓產(chǎn)生了畸變,同時(shí)各仿真觀測組的脈沖TOA 測量誤差RMS逐漸升高,而系統(tǒng)誤差對脈沖TOA 測量誤差的影響小于偶然誤差。

2)對于觀測Crab脈沖星而言,在脈沖TOA 短期測量精度為30～300μs量級(jí)的要求下,有效面積為6 000 cm2,30 cm2的探測器歸算到自轉(zhuǎn)頻率的總誤差要同時(shí)控制在3×10-6Hz(即ER=10-7)以內(nèi),30 cm2的探測器同時(shí)需滿足光子TOA 的偶然誤差最低應(yīng)控制在500μs以內(nèi)。若對脈沖TOA 測量精度有更高要求,有效面積為30 cm2的探測器不易達(dá)到要求。

3)對于本文采取的觀測條件而言,觀測Crab脈沖星歷元折疊時(shí)采取的bin數(shù)M2=512整體優(yōu)于M1=256的結(jié)果。本文同時(shí)驗(yàn)證了歷元折疊的測量方式對于光子TOA 測量中的高頻噪聲具有較強(qiáng)的魯棒性。

以上主要對誤差Crab脈沖星X 射線波段的短期脈沖TOA 測量精度進(jìn)行了仿真分析。今后將對Crab脈沖星與其他脈沖星X 射線波段的中期、長期脈沖TOA 測量精度的誤差項(xiàng)作進(jìn)一步的分析,并對光子TOA 記錄誤差、光子TOA 轉(zhuǎn)換誤差、DE歷表誤差與脈沖星星歷誤差、脈沖TOA 測量方法誤差等誤差項(xiàng)結(jié)合實(shí)測與仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步細(xì)化分解,以便更好地為我國今后的脈沖星導(dǎo)航方案提供參考。