孫加亮, 張曉亮, 金棟平

(南京航空航天大學(xué) 航空學(xué)院 航空航天結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)及控制全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 210016)

0 引 言

航天器在軌服務(wù)為組裝大型空間結(jié)構(gòu)以及航天器部署后的維修等任務(wù)提供了有效手段[1-2]．衛(wèi)星自主組裝是航天器在軌服務(wù)的有效手段之一,同時(shí)也是建造大型空間結(jié)構(gòu)的重要方法．建造如大型空間望遠(yuǎn)鏡、太陽(yáng)能電站等大型空間結(jié)構(gòu)時(shí)[3-4],常常需要組裝幾十顆甚至上百顆衛(wèi)星模塊．但是受目前火箭整流罩尺寸的影響,用于自主組裝的多顆衛(wèi)星只能以堆疊狀態(tài)排列,以高效利用整流罩空間．堆疊衛(wèi)星系統(tǒng)入軌后先分離再組裝,需要設(shè)計(jì)合適的衛(wèi)星堆疊方案,充分利用整流罩的空間,在衛(wèi)星以堆疊狀態(tài)入軌后分離[5-6],最終再設(shè)計(jì)合適的組裝策略,使衛(wèi)星能根據(jù)既定的方案組裝成目標(biāo)構(gòu)型．

目前,對(duì)堆疊衛(wèi)星分離過(guò)程的動(dòng)力學(xué)已經(jīng)有了比較詳細(xì)的研究[7-8],但是部分研究?jī)H針對(duì)衛(wèi)星分離過(guò)程,缺少入軌后的衛(wèi)星組裝過(guò)程．對(duì)于衛(wèi)星組裝過(guò)程研究更為廣泛,如Lu等[9]使用偽譜法進(jìn)行衛(wèi)星之間的避障,Morgan等[10-11]、Foust等[12]研究了使用模型預(yù)測(cè)控制結(jié)合序列凸優(yōu)化方法進(jìn)行衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)和路徑規(guī)劃．但是,以上研究關(guān)注點(diǎn)均在于衛(wèi)星組裝時(shí)的路徑規(guī)劃和運(yùn)動(dòng)控制方面,并且只考慮了衛(wèi)星入軌后的運(yùn)動(dòng)組裝過(guò)程,沒(méi)有對(duì)衛(wèi)星從堆疊構(gòu)型分離、組裝全過(guò)程的動(dòng)力學(xué)方面進(jìn)行研究,也沒(méi)有考慮衛(wèi)星組裝后相互之間的鎖定約束對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響．因此,有必要研究衛(wèi)星從堆疊狀態(tài)入軌后分離,再到組裝成目標(biāo)構(gòu)型的全部過(guò)程．

另外,目前通常采用Euler法、四元數(shù)等方法建立衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)模型[13-14],這些方法對(duì)于各個(gè)衛(wèi)星之間多個(gè)坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換計(jì)算較為繁瑣．而且當(dāng)衛(wèi)星組裝成目標(biāo)構(gòu)型時(shí),無(wú)法直觀地處理衛(wèi)星在組裝對(duì)接過(guò)程中的變拓?fù)浼s束關(guān)系．相比之下,采用自然坐標(biāo)方法建模[15-17]不僅能避免衛(wèi)星之間繁瑣的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,同時(shí)也能直觀地處理堆疊衛(wèi)星在分離和組裝過(guò)程中的時(shí)變約束．

本文采用自然坐標(biāo)法建立堆疊衛(wèi)星系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程,設(shè)計(jì)了合適的衛(wèi)星堆疊分離方案以及衛(wèi)星分離后的組裝策略,在考慮衛(wèi)星組裝過(guò)程中鎖定約束情況下,研究了衛(wèi)星從堆疊狀態(tài)入軌后的分離,再到按照既定的策略組裝成目標(biāo)構(gòu)型的全部動(dòng)力學(xué)過(guò)程．

1 堆疊衛(wèi)星系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

圖1 堆疊衛(wèi)星系統(tǒng)的描述坐標(biāo)系

慣性坐標(biāo)系OXYZ中的OZ軸指向地球的自轉(zhuǎn)方向,OX和OY軸位于地球的赤道平面上．軌道坐標(biāo)系OOXOYOZO中的OOZO軸與OZ軸平行,OOXO軸沿著衛(wèi)星初始構(gòu)型邊長(zhǎng)的方向,并且始終繞著OZ軸以恒定的角速度ωe=0.001 144 rad/s轉(zhuǎn)動(dòng)．本文研究的堆疊衛(wèi)星系統(tǒng)由64顆衛(wèi)星組成,每顆衛(wèi)星的質(zhì)量M=62.5 kg,衛(wèi)星均是邊長(zhǎng)a為0.5 m的立方體．

1．1 單顆衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)建模

(1)

(2)

圖2 衛(wèi)星k的自然坐標(biāo)

(3)

(4)

其中,矩陣Ck為常數(shù)矩陣．因此可以推導(dǎo)點(diǎn)P的速度和加速度分別為

(5)

衛(wèi)星k的質(zhì)量矩陣根據(jù)虛功原理[18]可以得到

(6)

衛(wèi)星k中的固有約束有6個(gè),分別是

(7)

當(dāng)兩顆衛(wèi)星分離前和對(duì)接后,衛(wèi)星之間為固接約束,每?jī)深w衛(wèi)星通過(guò)對(duì)接機(jī)構(gòu)鎖緊后將會(huì)存在6個(gè)約束方程,以m,n兩顆衛(wèi)星為例,他們之間的約束方程為

(8)

1．2 堆疊衛(wèi)星系統(tǒng)軌道系動(dòng)力學(xué)建模

在慣性坐標(biāo)系OXYZ中,堆疊衛(wèi)星系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可表示為如下的微分代數(shù)方程組：

(9)

為更好地在軌道坐標(biāo)系OOXOYOZO中觀察堆疊衛(wèi)星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng),通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,得到堆疊衛(wèi)星系統(tǒng)在軌道坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)方程為[8]

(10)

qa=Aqo+R．

(11)

(12)

本文采用廣義α算法[16]求解式(10)所表示的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程．

2 堆疊衛(wèi)星系統(tǒng)重構(gòu)組裝控制算法

2．1 控制力

為了使衛(wèi)星始終向目標(biāo)位置移動(dòng),對(duì)衛(wèi)星施加控制力．假設(shè)衛(wèi)星k的初始和最終時(shí)刻的廣義坐標(biāo)分別為

(13)

考慮到衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)時(shí)速度的變化,設(shè)置衛(wèi)星k運(yùn)動(dòng)的吸引力為[19]

(14)

2．2 避障力

為了避免衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)之間的碰撞,設(shè)置避障函數(shù)．以m,n兩顆衛(wèi)星為例,m,n兩顆衛(wèi)星之間的排斥勢(shì)為

(15)

其中,rm,rn分別表示m,n兩顆衛(wèi)星質(zhì)心的位置,d和δ分別代表危險(xiǎn)和避撞區(qū)域的半徑,

紙瓦楞是瓦楞夾芯結(jié)構(gòu)被推廣應(yīng)用于包裝科技領(lǐng)域而出現(xiàn)的一類非金屬多孔夾層結(jié)構(gòu)和材料，具有質(zhì)量輕、比剛度/強(qiáng)度大、抗沖擊性能高、成本低、工藝簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，在軍工/民用產(chǎn)品防護(hù)與包裝工程領(lǐng)域都有很重要的應(yīng)用價(jià)值，還可代替?zhèn)鹘y(tǒng)的木質(zhì)材料及其包裝[1- 3]。在產(chǎn)品包裝防護(hù)系統(tǒng)中，紙瓦楞作為緩沖吸能結(jié)構(gòu)，被合理地放置于包裝箱和產(chǎn)品之間，通過(guò)自身的壓縮變形與緩沖吸能作用來(lái)實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品保護(hù)與安全運(yùn)輸[2，4]。

避障力為排斥勢(shì)的梯度,可以寫(xiě)為

(16)

其中,rmin表示兩顆衛(wèi)星之間的最小距離．

為了能使用優(yōu)化方程尋找兩顆衛(wèi)星之間的最小距離,可以把衛(wèi)星外形描述為一個(gè)連續(xù)可微函數(shù)[8]．以第m顆衛(wèi)星為例,衛(wèi)星外形可以表示為

(17)

判斷兩顆衛(wèi)星之間的最小距離問(wèn)題可以等價(jià)于求解以下凸優(yōu)化問(wèn)題：

(18)

圖3 衛(wèi)星之間的最小距離與衛(wèi)星中心的距離

2．3 控制力矩

為了消除自旋分離導(dǎo)致衛(wèi)星姿態(tài)的變化,使衛(wèi)星能夠達(dá)到期望的姿態(tài),方便衛(wèi)星組裝,對(duì)衛(wèi)星施加控制力矩．結(jié)合PD控制,設(shè)置控制力矩為

(19)

其中,kpt,kdt分別表示姿態(tài)控制系數(shù)和角速度控制系數(shù)．產(chǎn)生的力矩對(duì)應(yīng)的廣義力為[20]

(20)

其中

3 堆疊衛(wèi)星系統(tǒng)分離與組裝策略

3．1 初始構(gòu)型和目標(biāo)構(gòu)型

堆疊衛(wèi)星系統(tǒng)由64顆衛(wèi)星組成．考慮到火箭運(yùn)載能力以及整流罩體積限制,需要設(shè)計(jì)合適的衛(wèi)星堆疊初始形狀,使衛(wèi)星能夠占據(jù)較小體積．因此設(shè)計(jì)如圖4(a)所示的堆疊衛(wèi)星構(gòu)型,64顆衛(wèi)星在初始時(shí)刻預(yù)先堆疊排列,形成一個(gè)結(jié)構(gòu)為每層16顆,共4層的立方組合體．本文所設(shè)計(jì)的衛(wèi)星目標(biāo)構(gòu)型為如圖4(b)所示的分形結(jié)構(gòu)．首先,衛(wèi)星由初始構(gòu)型分離之后,衛(wèi)星每8個(gè)一組,組成8個(gè)單元,最后8個(gè)單元組成整體構(gòu)型．

(a) 初始堆疊構(gòu)型 (b) 目標(biāo)組裝構(gòu)型(a) The initial configuration (b) The final configuration圖4 堆疊衛(wèi)星初始構(gòu)型與目標(biāo)組裝構(gòu)型

3．2 分離與組裝過(guò)程

堆疊衛(wèi)星系統(tǒng)分離與組裝過(guò)程如圖5所示．首先,衛(wèi)星由運(yùn)載器發(fā)射進(jìn)入指定軌道;然后,由初始堆疊構(gòu)型緩慢自旋,目的是通過(guò)離心力使衛(wèi)星相互無(wú)碰撞分離;最后,當(dāng)衛(wèi)星通過(guò)自旋展開(kāi)互相分離后,將進(jìn)入組裝階段,64顆衛(wèi)星首先組裝成8個(gè)相同的衛(wèi)星模塊,然后8個(gè)衛(wèi)星模塊再組裝成最終構(gòu)型．

圖5 衛(wèi)星分離組裝策略

4 動(dòng)力學(xué)仿真分析

4．1 自旋分離過(guò)程仿真

堆疊衛(wèi)星系統(tǒng)在軌分離有很多種方式,如在衛(wèi)星層間施加彈射力、通過(guò)衛(wèi)星整體自旋分離等．本文使用給衛(wèi)星施加一定方向的自旋角速度方式進(jìn)行一次性分離．施加的角速度可以表示為ω0=[ωXOωYOωZO]T．通過(guò)仿真計(jì)算,本文采用的堆疊衛(wèi)星系統(tǒng)的初始分離角速度為ω0=[-0.1 -0.35 -0.2]Trad/s,分離階段所用時(shí)間為40 s．從圖6可以看出,盡管堆疊衛(wèi)星系統(tǒng)在分離階段發(fā)生較大的旋轉(zhuǎn)和大范圍運(yùn)動(dòng),但是整個(gè)分離過(guò)程中并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)碰撞現(xiàn)象．

(a) t=0 s (b) t=5 s (c) t=10 s

(d) t=20 s (e) t=30 s (f) t=40 s圖6 分離階段衛(wèi)星構(gòu)型

以第二層的22號(hào)衛(wèi)星為例,與其相鄰的衛(wèi)星編號(hào)分別為6號(hào)、18號(hào)、21號(hào)、23號(hào)、26號(hào)和38號(hào)．圖7表示22號(hào)衛(wèi)星與其相鄰衛(wèi)星之間的最小距離曲線．可以看出,該衛(wèi)星與相鄰衛(wèi)星之間的距離呈現(xiàn)出不斷增大的趨勢(shì),衛(wèi)星在分離階段沒(méi)有發(fā)生碰撞,說(shuō)明采用的自旋角速度是合理可行的．

圖7 分離階段22號(hào)衛(wèi)星與其相鄰衛(wèi)星之間的距離

4．2 重構(gòu)組裝過(guò)程仿真

安全無(wú)碰撞分離之后,再對(duì)堆疊衛(wèi)星系統(tǒng)進(jìn)行重構(gòu)組裝,重構(gòu)組裝不同階段的控制參數(shù)如表1所示．

圖8表示組裝過(guò)程的動(dòng)態(tài)構(gòu)型圖,可以看出,堆疊衛(wèi)星系統(tǒng)在分離后,依次按照設(shè)計(jì)的組裝策略,實(shí)現(xiàn)階段2、3、4構(gòu)型．

由于8組衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)基本上是同步的,因此這里只分析第一組衛(wèi)星,即1～8號(hào)衛(wèi)星的位移與速度變化．圖9表示衛(wèi)星沿著OXb,OYb,OZb軸三個(gè)方向的位移變化曲線．在前40 s,衛(wèi)星處于分離階段,沿著各個(gè)方向的位移均逐漸變大．隨后,由于控制力作用,衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)逐漸平穩(wěn),并運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)位置且保持穩(wěn)定．

表1 控制參數(shù)的取值

(a) t=70 s (b) t=150 s (c) t=220 s

(d) t=250 s (e) t=283 s (f) t=360 s圖8 組裝階段衛(wèi)星構(gòu)型

為了更直觀地顯示姿態(tài)控制器的效果,同時(shí)更便于理解,簡(jiǎn)化計(jì)算,本文使用衛(wèi)星連體坐標(biāo)系ObXbYbZb與軌道坐標(biāo)系OOXOYOZO中三個(gè)軸之間對(duì)應(yīng)的夾角表示衛(wèi)星的姿態(tài),即使用ObXb與OOXO之間的夾角χ、ObYb與OOYO之間的夾角ξ以及ObZb與OOZO之間的夾角ψ表示．設(shè)軌道坐標(biāo)系三個(gè)軸對(duì)應(yīng)的單位向量分別為xo=(1,0,0)T,yo=(0,1,0)T,zo=(0,0,1)T,以第k顆衛(wèi)星為例,

(21)

姿態(tài)變化如圖10所示．姿態(tài)變化主要集中在前60 s．衛(wèi)星的自旋分離導(dǎo)致姿態(tài)不斷變化,經(jīng)過(guò)自旋分離階段之后,由于姿態(tài)控制器的作用,衛(wèi)星的姿態(tài)能夠很快穩(wěn)定下來(lái),并且在之后的階段中,始終處于較平穩(wěn)的位置．

(a) OXb方向的位移 (b) OYb方向的位移 (c) OZb方向的位移 (a) Displacements in the OXb direction (b) Displacements in the OYb direction (c) Displacements in the OZb direction圖9 1～8號(hào)衛(wèi)星的位移

(a) χ (b) ξ (c) ψ圖10 1～8號(hào)衛(wèi)星的姿態(tài)

圖11表示衛(wèi)星沿著OXb,OYb,OZb軸三個(gè)方向的速度變化曲線．值得注意的是,在260 s、310 s左右產(chǎn)生速度的突變,這是由于衛(wèi)星在這些時(shí)刻進(jìn)入對(duì)接距離并施加固定約束所致．在整個(gè)過(guò)程中,速度并沒(méi)有超過(guò)0.5 m/s,處在合理的范圍之內(nèi)．

(a) OXb方向的速度 (b) OYb方向的速度 (c) OZb方向的速度 (a) Velocities in the OXb direction (b) Velocities in the OYb direction (c) Velocities in the OZb direction圖11 1～8號(hào)衛(wèi)星的速度

圖12表示施加在衛(wèi)星上的控制力、控制力矩以及避障力曲線．根據(jù)仿真結(jié)果可以看到,整個(gè)過(guò)程中,控制力和控制力矩均不超過(guò)10 N,而避障力只在少數(shù)時(shí)間段存在,這也表明了設(shè)置的控制器是合理有效的．

(a) 控制力 (b) 控制力矩 (c) 避障力(a) Control forces (b) Control torques (c) Avoidance forces圖12 1～8號(hào)衛(wèi)星上的主動(dòng)力

5 結(jié) 論

本文針對(duì)由64顆衛(wèi)星組成的堆疊衛(wèi)星系統(tǒng)分離重構(gòu)問(wèn)題,研究了衛(wèi)星從堆疊狀態(tài)分離釋放、到分形重構(gòu)組裝的整個(gè)動(dòng)力學(xué)過(guò)程．衛(wèi)星由堆疊狀態(tài)入軌后,通過(guò)施加ω0=[-0.1 -0.35 -0.2]Trad/s的自旋角速度,實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星無(wú)碰撞分離．另外,本文還設(shè)計(jì)了衛(wèi)星組裝策略,將衛(wèi)星分離組裝全部過(guò)程分成4個(gè)階段,使衛(wèi)星能夠按照預(yù)定的步驟實(shí)現(xiàn)組裝．在衛(wèi)星組裝過(guò)程中,通過(guò)PD控制,并且結(jié)合勢(shì)函數(shù)設(shè)計(jì)控制器,既能避免衛(wèi)星之間的碰撞,又能使衛(wèi)星在320 s左右較為高效地運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)位置．為了處理衛(wèi)星組裝系統(tǒng)中的時(shí)變約束,本文采用自然坐標(biāo)方法建模．最終通過(guò)數(shù)值仿真對(duì)堆疊衛(wèi)星從分離到組裝的全過(guò)程進(jìn)行分析,結(jié)果證明衛(wèi)星整體分離組裝過(guò)程不超過(guò)360 s,控制力均在10 N以下,衛(wèi)星能夠按照既定的步驟完成分離重構(gòu)．以上結(jié)論表明,本文所設(shè)計(jì)的衛(wèi)星組裝策略是合理的．

致謝本文作者衷心感謝南京航空航天大學(xué)科研與實(shí)踐創(chuàng)新計(jì)劃(xcxjh20220107)對(duì)本文的資助．