曾 致，雷 剛

（西安市勘察測(cè)繪院，陜西 西安 710054）

0 引言

隨著社會(huì)技術(shù)的進(jìn)步和中國(guó)現(xiàn)代化進(jìn)程的不斷加快，城市各類(lèi)高層、超高層建筑越來(lái)越普及化和密度化[1]。城市建筑物高度以及承載度的增加，使得地基基礎(chǔ)及周邊的地層發(fā)生形變，建筑物發(fā)生不可預(yù)估的沉降，如果沉降形變值超過(guò)某一限值時(shí)，將會(huì)嚴(yán)重影響建筑物安全和人民生命安全[2-3]。因此，城市高層建筑物在建設(shè)過(guò)程中必須對(duì)其進(jìn)行不定周期的沉降監(jiān)測(cè)，以便對(duì)建筑物以及周邊地質(zhì)的沉降量及沉降速率進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)，這也是保障建筑物安全和順利完工的關(guān)鍵[4-5]。

目前，很多學(xué)者針對(duì)建筑物的沉降觀測(cè)展開(kāi)了多層次的研究。熊俊楠等[6]利用平差模型與基點(diǎn)穩(wěn)定性的聯(lián)系對(duì)高程建筑物沉降進(jìn)行了分析；牟洪洲[7]針對(duì)GM（1，1）模型、多元回歸分析模型及時(shí)間序列分析模型，得出組合模型比單一模型在擬合和預(yù)測(cè)上更具有優(yōu)勢(shì)；閆宏亮和馬得花[8]對(duì)無(wú)偏灰色模型、時(shí)間序列線性移動(dòng)平均法及馬爾科夫模型進(jìn)行研究，并在此基礎(chǔ)上建立時(shí)間序列—馬爾科夫組合模型對(duì)建筑物沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)；王海城和徐進(jìn)軍[9]針對(duì)構(gòu)造方法的不嚴(yán)密性，給出了灰導(dǎo)數(shù)法背景值構(gòu)造模型和參數(shù)最優(yōu)估值的計(jì)算方法，對(duì)南水北調(diào)工程沉降監(jiān)測(cè)實(shí)例進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，收到了良好效果；孫策等[10]提出了一種基于小波分解的SVM-AR組合預(yù)測(cè)模型，得出在小樣本、低信噪比條件下具有更好的預(yù)測(cè)性能，能夠?qū)Ω邔咏ㄖ锍两颠M(jìn)行準(zhǔn)確模擬與預(yù)報(bào)；徐飛[11]針對(duì)高層建筑物沉降預(yù)測(cè)模型精度低、與實(shí)測(cè)值不符等問(wèn)題，提出了基于時(shí)序SAR技術(shù)的高層建筑物沉降變形預(yù)測(cè)方法。通過(guò)計(jì)算，結(jié)合BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高層建筑物沉降變形模型，實(shí)現(xiàn)沉降變形預(yù)測(cè)，王洪德和李騫[12]為了對(duì)地鐵車(chē)站深基坑施工過(guò)程引起的周邊建筑物沉降進(jìn)行預(yù)警，利用改進(jìn)的灰色Markov模型，預(yù)測(cè)地鐵車(chē)站施工過(guò)程中周邊建筑物的沉降量。研究結(jié)果表明：與改進(jìn)的灰色模型相比，改進(jìn)的灰色Markov模型預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差從4.2%降到2.1%，程朋歡和盧德基[13]提出一種使用辛普森公式優(yōu)化背景值的灰色模型，以新的積分方式優(yōu)化背景值以提高模型預(yù)測(cè)精度。通過(guò)基坑沉降與地表沉降兩組實(shí)例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，使用辛普森公式優(yōu)化背景值后，模型的預(yù)測(cè)精度更高。但是對(duì)高層建筑沉降普遍性研究較少。

基于此，文章利用MATLAB對(duì)最小二乘配置法、時(shí)間序列進(jìn)行建模，對(duì)高層建筑物實(shí)測(cè)沉降數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)模型，對(duì)幾期沉降形變進(jìn)行預(yù)測(cè)，將預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)分析，從而探究最小二乘配置法在高層建筑物形變監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用的可行性及適用性，為高層建筑施工提供參考依據(jù)。

1 研究方法

1.1 最小二乘配置法

最小二乘配置模型和隨機(jī)模型為[14-17]：

式中：L為觀測(cè)向量；Y為非隨機(jī)參數(shù)向量；X為信號(hào)；Δ 為觀測(cè)噪聲；X=（X1，X2）T，X1為觀測(cè)點(diǎn)信號(hào)，X2為未測(cè)點(diǎn)信號(hào)，R（B）=m；R（G）=t，分別為系數(shù)矩陣的秩。

誤差方程為：

按照最小二乘配置原理估計(jì)的準(zhǔn)則有：

該公式為最小二乘配置原理，式中P為對(duì)稱正定方陣，是觀測(cè)值L的權(quán)；R為一個(gè)適當(dāng)給定的正定矩陣，稱為正規(guī)化矩陣；利用拉格朗日乘數(shù)法，構(gòu)造如下函數(shù)：

式中：KT=[K1，K2，...，Kn]，分別令

由此得到法方程為：

由于G，B 列滿秩，故可證明法方程系數(shù)陣可逆，未知量X?和Y?有唯一解。由法方程可以得到：

式中：M=B（BTPB+R）-1BTP，I為單位矩陣，當(dāng)R矩陣正定時(shí)，就可以得到X?和Y?的唯一解。

通過(guò)上述計(jì)算可得觀測(cè)值的估值為：

令

則L?=J(α)L

在這里稱J(α)為帽子矩陣。

其中，

Y?的方差陣為

V 的方差為：DV=J(α)DΔJ(α)T

最小二乘配置法的特點(diǎn)：

（1）函數(shù)模型中引入了隨機(jī)參數(shù)Y，并且已知了先驗(yàn)期望和方差，這是最小二乘配置最大的特點(diǎn)，因此這種方法的應(yīng)用前提是必須要求比較準(zhǔn)確的已知先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)特性。

（2）求參數(shù)的估值可稱為擬合，求已測(cè)點(diǎn)信號(hào)S為濾波。估計(jì)與S 之間存在協(xié)方差關(guān)系，而與觀測(cè)無(wú)直接關(guān)系的未測(cè)點(diǎn)信號(hào)稱為推估。

（3）由于模型中導(dǎo)入了信號(hào)，隨機(jī)量方差不再等于其誤差方差，而是誤差方差和信號(hào)方差合成的一種方差，但其衡量觀測(cè)精度的指標(biāo)仍是其誤差方差。

1.2 時(shí)間序列

按時(shí)間順序排列的一組隨機(jī)數(shù)據(jù)稱為隨機(jī)時(shí)間序列。在工程建設(shè)中，時(shí)間序列也得到了廣泛應(yīng)用，時(shí)間序列可以預(yù)測(cè)邊坡的位移、建筑地基的沉降量、隧道變形、基坑支撐軸力等。

設(shè)有連續(xù)觀測(cè)樣本序列{x1，x2，…，xn}，對(duì)應(yīng)的白噪聲序列{a1，a2，…，an}，白噪聲的序列均值為0，且相互獨(dú)立。其具有以下優(yōu)勢(shì)：

（1）時(shí)間序列模型是動(dòng)態(tài)模型，它對(duì)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)具有外延特性。

（2）時(shí)間序列模型能描述隨機(jī)變量與其他變量之間的相關(guān)關(guān)系，以及時(shí)間序列內(nèi)部的相關(guān)關(guān)系。

（3）由于時(shí)間序列分析是建立在輸出等價(jià)的基礎(chǔ)之上，可將所觀測(cè)到的時(shí)序作為系統(tǒng)的一維或多維的輸出。變形體位移構(gòu)成時(shí)序，從統(tǒng)計(jì)角度來(lái)揭示各時(shí)序內(nèi)部與各時(shí)序之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系。

2 高層建筑物沉降量預(yù)測(cè)

2.1 沉降觀測(cè)點(diǎn)分布情況

本工程以某29層高的建筑物為研究對(duì)象，現(xiàn)場(chǎng)沉降觀測(cè)點(diǎn)分布情況如圖1所示。監(jiān)測(cè)網(wǎng)由逆時(shí)針?lè)较虿荚O(shè)在墻體上的15個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)組成，點(diǎn)間距分布均勻，形變監(jiān)測(cè)點(diǎn)埋于室內(nèi)地面上方20～40 cm處。

圖1 沉降觀測(cè)點(diǎn)分布圖

為確保觀測(cè)成果可靠性和正確性，監(jiān)測(cè)網(wǎng)數(shù)據(jù)處理分析采用采用已知的控制點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)測(cè)，利用幾何水準(zhǔn)測(cè)量的方法進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)，觀測(cè)精度符合二等水準(zhǔn)測(cè)量規(guī)范要求。通過(guò)檢核，在觀測(cè)中最大沉降量為7.2 mm，最小沉降量為0.8 mm，累計(jì)沉降量為42.8 mm，平均沉降量4.12 mm＜200 mm，未出現(xiàn)沉降異常變化，所有觀測(cè)結(jié)果均符合《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》《建筑形變測(cè)量規(guī)范》《建筑物沉降觀測(cè)方法》等[18]國(guó)家規(guī)范中高層建筑物沉降的要求。

2.2 沉降數(shù)據(jù)獲取與處理

文章以S1為模型計(jì)算點(diǎn)，沉降觀測(cè)時(shí)間選取為2022 年3 月15 日—2022 年9 月28 日，共獲得30 期沉降數(shù)據(jù)，其中1～21 期為實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，22～30 期為預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)。對(duì)所獲的1～21 期實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)利用MATLAB軟件，用最小二乘配置法對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行建模以及平差解算，獲得22～30期的預(yù)測(cè)沉降高程及精度，為后文的沉降分析及變形異常提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。實(shí)測(cè)高程與預(yù)測(cè)高程相關(guān)數(shù)據(jù)詳見(jiàn)表1、表2。

表1 S1點(diǎn)觀測(cè)次數(shù)與實(shí)測(cè)高程值

表2 實(shí)測(cè)高程與預(yù)測(cè)高程

由表2分析可知，殘差絕對(duì)值介于0～0.112 mm，相對(duì)誤差最小為0，最大為20%，平均相對(duì)誤差為3.81%。其中，隨著預(yù)測(cè)期數(shù)增加，實(shí)測(cè)沉降量與預(yù)測(cè)沉降量差值越來(lái)越大，從28期開(kāi)始?xì)埐罱^對(duì)值和相對(duì)誤差呈倍數(shù)增加，說(shuō)明了最小二乘配置在高層建筑物沉降量適合短期預(yù)測(cè)，而長(zhǎng)期預(yù)測(cè)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)還是存在一定的差距，并且隨著時(shí)間的增加而增加。同時(shí)，從圖2可看出，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)相對(duì)沉降趨勢(shì)呈一致性變化，表明了該建筑物地基的穩(wěn)定性。

圖2 實(shí)測(cè)高程和預(yù)測(cè)高程變化趨勢(shì)

從表3 和圖3 分析可得出，預(yù)測(cè)沉降變化趨勢(shì)與實(shí)測(cè)沉降變化趨勢(shì)基本保持一致，但由于未能考慮沉降監(jiān)測(cè)存在的外部誤差，導(dǎo)致部分點(diǎn)位變化異常，這對(duì)整體預(yù)測(cè)趨勢(shì)精度有所降低。

表3 實(shí)測(cè)高程與預(yù)測(cè)高程沉降量

圖3 實(shí)測(cè)高程與預(yù)測(cè)高程沉降趨勢(shì)變化

綜上所述，最小二乘配置法適合對(duì)短期沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)，而對(duì)于高精度、觀測(cè)時(shí)間長(zhǎng)的建筑物，不適合定量預(yù)測(cè)，只能從沉降量趨勢(shì)變化分析建筑物沉降。同時(shí)，下一步將最小二乘配置法與小波變換、灰色預(yù)測(cè)模型結(jié)合，處理觀測(cè)數(shù)據(jù)噪聲后預(yù)測(cè)沉降變化。

3 結(jié)論

基于MATLAB 對(duì)最小二乘配置法及時(shí)間序列對(duì)高層建筑物實(shí)測(cè)沉降數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)模型，對(duì)幾期沉降形變進(jìn)行預(yù)測(cè)，將預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)分析，從而探究最小二乘配置法在高層建筑物形變監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用的可行性及適用性。

（1）從預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比分析可知，最小二乘配置法方法簡(jiǎn)單、預(yù)測(cè)精度高，在高層建筑物沉降中適合進(jìn)行短期預(yù)測(cè)，但長(zhǎng)期預(yù)測(cè)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)還存在一定的差距，殘差絕對(duì)值和相對(duì)誤差呈倍數(shù)增加。

（2）從沉降趨勢(shì)變化可知，最小二乘配置法在沉降趨勢(shì)變化中具有優(yōu)勢(shì)性，并對(duì)部分點(diǎn)位異常變化能夠及時(shí)反應(yīng)，這為判斷沉降量是否出現(xiàn)異常提供了參考。

（3）該方法未能對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)噪聲進(jìn)行去除，使預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)精度有所降低。下一步將最小二乘配置法與小波變換、灰色預(yù)測(cè)模型結(jié)合，對(duì)高層建筑物進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。

（4）將最小二乘配置法與時(shí)間序列組合，同時(shí)利用MATLAB 優(yōu)勢(shì)，對(duì)最小二乘配置法進(jìn)行了改進(jìn)和程序化，提高了對(duì)大型建筑物變形數(shù)據(jù)的處理能力，縮短了變形監(jiān)測(cè)的周期，便于對(duì)某一建筑進(jìn)行動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)。