王淑旺,楊 光,王 強(qiáng)

(合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,合肥 230009)

0 引言

永磁同步電機(jī)(permanent magnet synchronous motor,PMSM)具有小體積、高功率密度和高效率等優(yōu)點,現(xiàn)已被廣泛用作高動態(tài)、高精度應(yīng)用中的伺服電機(jī)。PMSM在應(yīng)用中需要準(zhǔn)確了解轉(zhuǎn)子的實時位置和速度,機(jī)械傳感器通常被用于傳統(tǒng)PMSM中測量各種電機(jī)參數(shù),例如在轉(zhuǎn)軸上安裝光電編碼器測量轉(zhuǎn)子位置,以及旋轉(zhuǎn)變壓器監(jiān)控轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速等。但值得注意的是,電機(jī)整體的尺寸、轉(zhuǎn)動慣量會在傳感器的安裝中增加,同時還會帶來更高的成本,機(jī)械傳感器在特殊環(huán)境中如高濕度、高溫度和低溫等惡劣環(huán)境中可能會發(fā)生失真和失效,從而影響PMSM的正常使用。因此,無傳感器控制策略已成為PMSM控制系統(tǒng)發(fā)展的趨勢[1]。

目前,在PMSM的控制系統(tǒng)中加以應(yīng)用的無位置傳感器控制策略主要有兩種,一種是高頻信號注入法[2],這種方法能夠?qū)崿F(xiàn)PMSM零速和低速的無傳感器控制,但當(dāng)其被運用于高速條件下時,效果可能會不盡如人意。另一種是基于電機(jī)模型觀測器法,通過算法實現(xiàn)對PMSM狀態(tài)的觀測,現(xiàn)已被提出的控制算法包括擴(kuò)張狀態(tài)控制法[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[4]、模型參考自適應(yīng)控制[5]、擴(kuò)展卡爾曼濾波器[6]和滑模控制(sliding mode control,SMC)[7]等。與其他方法相比,滑模控制方法具有對于參數(shù)變化和擾動不敏感和魯棒性較強(qiáng)的優(yōu)點[8],因此基于滑模控制的無傳感器控制策略現(xiàn)已廣泛運用于電機(jī)控制。

1 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

根據(jù)永磁體轉(zhuǎn)子的安裝位置,三相永磁同步電機(jī)(PMSM)包含表貼式和內(nèi)置式兩種轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)。前者d、q軸上的電感相等,即Ld=Lq=Ls。后者d、q軸上的電感不相等,具有凸極效應(yīng)。

本文采用表貼式PMSM,在兩相靜止的坐標(biāo)系α、β軸下,PMSM可建立如下數(shù)學(xué)模型:

(1)

反電動勢方程為:

(2)

式中:iα、iβ、uα、uβ分別表示的是PMSM在α、β軸上的定子電流和電壓,Rs、Ls分別代表的是PMSM定子電阻和電感,eα、eβ分別為PMSM在α、β軸上的反電動勢,ψf為轉(zhuǎn)子永磁體磁鏈,ωe是轉(zhuǎn)子的電角速度,θe為轉(zhuǎn)子的電角速度。

2 滑模觀測器的設(shè)計

傳統(tǒng)滑模觀測器(slide mode observer,SMO)采用符號函數(shù)使系統(tǒng)切換至滑動模態(tài)。該過程對PMSM數(shù)學(xué)模型進(jìn)行重新建模,表達(dá)式為:

(3)

(4)

(5)

2.1 切換函數(shù)的改進(jìn)

傳統(tǒng)滑模觀測的切換函數(shù)在零點附近存在的不光滑且不連續(xù)現(xiàn)象,會導(dǎo)致系統(tǒng)觀測值產(chǎn)生幅值跳動現(xiàn)象從而發(fā)生抖振。文獻(xiàn)[9]采用飽和saturation函數(shù),從一定程度上減少了反電動勢中的抖振。本文在此基礎(chǔ)上做出了進(jìn)一步改進(jìn),采用sigmoid函數(shù)作為切換函數(shù)。sigmoid函數(shù)在實數(shù)域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo),且在零點附近的函數(shù)圖像為光滑曲線,而saturation函數(shù)在零點附近為一條直線,在邊界層兩側(cè)存在斜率的突變,因此能有效抑制狀態(tài)切換過程中的抖振問題。sigmoid函數(shù)表達(dá)式為:

(6)

式中:Δ為邊界層厚度,a為控制系數(shù),是一個恒為正的常數(shù)。

如圖1所示,a的值越大,函數(shù)收斂于±1的速度越快,即系統(tǒng)響應(yīng)速度更快,但抖振更大;a的值越小,函數(shù)收斂于±1的速度越慢,即系統(tǒng)響應(yīng)速度更慢,但抖振更小。因此要選取合適的a、Δ值才能滿足系統(tǒng)的控制精度和響應(yīng)速度的要求。權(quán)衡收斂速度以及避免抖振,本文選取a=5;由圖1可見sigmoid函數(shù)基本在s=±2左右使得F(s)收斂于±1,故取Δ=2。

圖1 取不同a值的sigmoid函數(shù)示意圖

2.2 自適應(yīng)滑模觀測器的設(shè)計

定義滑模面函數(shù)為:

(7)

設(shè)計自適應(yīng)SMO為:

(8)

式(1)與式(9)做差可得電流偏差方程:

(9)

對式(2)進(jìn)行微分計算結(jié)果為:

(10)

根據(jù)式(10)可設(shè)計滑模觀測器的自適應(yīng)律為:

(11)

將式(11)與式(10)做差可得觀測電動勢的偏差方程為:

(12)

穩(wěn)定性是SMO設(shè)計過程中的重要指標(biāo),定義自適應(yīng)SMO的李雅普諾夫函數(shù)為:

(13)

由機(jī)械時間常數(shù)遠(yuǎn)大于電氣時間常數(shù),所以轉(zhuǎn)子在一個估算周期內(nèi)可近似認(rèn)為是定速轉(zhuǎn)動的,則式(12)帶入式(13)并在一個估算周期內(nèi)微分得:

(14)

因此,式(14)滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性定理,說明該算法是穩(wěn)定的。

在工程實踐中,PMSM在低速范圍內(nèi)觀測到的反電動勢幅值與中高速范圍內(nèi)觀測到的值相比非常的小,無法準(zhǔn)確測量。此外反電動勢的大小將跟隨轉(zhuǎn)子電角速度ωe變化,在低速時觀測值可能會有噪聲的存在[10]。

因此,為了克服上述問題并充分利用sigmiod函數(shù)的優(yōu)點,在改進(jìn)的自適應(yīng)SMO中改進(jìn)了自適應(yīng)反饋增益:

η=|ωe|+ζ

(15)

式中:ζ是一個相對較小的常量,其作用是避免在零速時增益η為零。改進(jìn)后系統(tǒng)示意圖如圖2所示。

圖2 改進(jìn)系統(tǒng)控制圖

式(8)可改寫為:

(16)

反電動勢的觀測值為:

(17)

在此引入一個新的中間變量:

(18)

系統(tǒng)進(jìn)入滑動模態(tài)后,反電動勢觀測值與實際值相等,則聯(lián)立式(2)、式(17)可得:

(19)

由此可見Eα,Eβ的引入可弱化轉(zhuǎn)速對于觀測值的影響。

3 鎖相環(huán)的設(shè)計

根據(jù)滑?？刂评碚?由于傳統(tǒng)SMO采用符號函數(shù)作為系統(tǒng)估測反電動勢的切換函數(shù),符號函數(shù)中第一類間斷點的存在將導(dǎo)致高頻抖振現(xiàn)象。這種抖振現(xiàn)象會使反正切函數(shù)運算出的結(jié)果中出現(xiàn)較大的角度估計誤差。針對此種現(xiàn)象,本文在傳統(tǒng)SMO基礎(chǔ)上做出改進(jìn),采用鎖相環(huán)(phase-locked loop,PLL)取代反正切函數(shù),來估算電機(jī)的位置和速度信息?；阪i相環(huán)的SMO控制實現(xiàn)框圖如圖3所示。

圖3 鎖相環(huán)示意圖 圖4 鎖相環(huán)閉環(huán)控制圖

(20)

由圖3可進(jìn)一步作出系統(tǒng)閉環(huán)控制圖,如圖4所示。

則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

(21)

4 仿真分析

4.1 仿真模型搭建

Simulink仿真所用永磁同步電機(jī)參數(shù)如表1所示。

表1 永磁同步電機(jī)參數(shù)

系統(tǒng)采用ode23變步長算法,以式(3)為例,對系統(tǒng)采用后向歐拉法進(jìn)行離散化處理可得:

(22)

式中:

(23)

對exp(ATs)取麥克勞林公式可得:

(24)

則將式(21)帶入式(20)可得:

(25)

其余各式均采用后向歐拉法進(jìn)行離散化處理,原理相同,并按圖5所示框圖搭建系統(tǒng)。

圖5 永磁同步電機(jī)改進(jìn)型自適應(yīng)SMO系統(tǒng)框圖

4.2 改進(jìn)SMO與傳統(tǒng)SMO的對比

首先,讓系統(tǒng)以空載啟動,給定轉(zhuǎn)速為1000 r/min,仿真時間設(shè)為t=0.16 s。觀測這段時間內(nèi),傳統(tǒng)SMO與改進(jìn)型自適應(yīng)SMO在α軸上的估測反電動勢,其結(jié)果如圖6所示,改進(jìn)型滑模觀測器與傳統(tǒng)滑模觀測器相比,用反電動勢的自適應(yīng)律替代了濾波器的使用,從而避免了相位延遲以及幅值減小。

圖6 兩種SMO的觀測反電動勢Ealpha 圖7 觀測反電動勢Ealpha放大圖

圖7是傳統(tǒng)SMO與改進(jìn)型自適應(yīng)SMO在一個變化周期內(nèi)的觀測反電動勢放大圖,可見改進(jìn)型自適應(yīng)SMO的曲線更為平滑,因此系統(tǒng)的抖振更小。

圖8和圖9分別是系統(tǒng)在空載狀態(tài)下,給定轉(zhuǎn)速為1000 r/min的傳統(tǒng)SMO與改進(jìn)型自適應(yīng)SMO轉(zhuǎn)子位置估測以及位置估計誤差圖。由圖8a和圖9a中的轉(zhuǎn)子位置圖可知改進(jìn)型自適應(yīng)SMO轉(zhuǎn)子位置估測延遲相對于傳統(tǒng)SMO較低,其反應(yīng)在兩個估測誤差圖圖8b和圖9b中的信息是當(dāng)轉(zhuǎn)子由初始位置轉(zhuǎn)過2π后,改進(jìn)型自適應(yīng)SMO能迅速識別,并即刻進(jìn)入下一個估測周期,而傳統(tǒng)SMO由于濾波器延遲和反正切函數(shù)的存在,會在周期末端產(chǎn)生抖振,且傳統(tǒng)SMO最大位置觀測誤差約為0.25 rad,而改進(jìn)型自適應(yīng)SMO最大位置觀測誤差為0.18 rad,觀測效果由于傳統(tǒng)SMO。

(a) 位置觀測 (b) 位置觀測誤差圖8 傳統(tǒng)SMO位置觀測及誤差

圖10a和圖10b分別為傳統(tǒng)SMO和改進(jìn)型自適應(yīng)SMO在空載的狀態(tài)下,給定轉(zhuǎn)速為1000 r/min的轉(zhuǎn)速估測圖?？梢姼倪M(jìn)型自適應(yīng)SMO的轉(zhuǎn)速估測精度較高,轉(zhuǎn)子速度的跟隨效果也優(yōu)于傳統(tǒng)SMO。

5 實驗分析

為了進(jìn)一步驗證改進(jìn)型自適應(yīng)SMO的可行性,基于本文離散模型在TMS320F28377控制板中搭建的試驗平臺如圖11所示,分別針對傳統(tǒng)SMO和改進(jìn)型自適應(yīng)SMO。其中,為控制器與CAN總線供電的低壓電源為12 V,轉(zhuǎn)子信息由旋轉(zhuǎn)變壓器讀取,其余參數(shù)如表1所示。

圖11 物理實驗平臺

圖12為空載狀態(tài)下給定轉(zhuǎn)速600 r/min的電機(jī)轉(zhuǎn)速示意圖,可見改進(jìn)型自適應(yīng)SMO的動態(tài)性能較好,能迅速跟隨轉(zhuǎn)子變化,且擁有較強(qiáng)的魯棒性,曲線更加平滑。

圖12 空載轉(zhuǎn)速示意圖 圖13 加入負(fù)載轉(zhuǎn)速示意圖

圖13為給定轉(zhuǎn)速600 r/min,0.12 s時加入25 N負(fù)載的轉(zhuǎn)速示意圖,可見加入負(fù)載后,傳統(tǒng)SMO觀測值波動較大,且擁有較大的動態(tài)誤差,由此可見改進(jìn)型自適應(yīng)SMO擁有更強(qiáng)的魯棒性。

6 結(jié)論

本文提出了一種基于鎖相環(huán)的改進(jìn)型自適應(yīng)滑模觀測器的永磁同步電機(jī)無位置傳感器控制策略,該改進(jìn)型自適應(yīng)滑模觀測器使用sigmoid函數(shù)取代了傳統(tǒng)的符號函數(shù),同時加入了自適應(yīng)反饋增益,以增強(qiáng)系統(tǒng)在低速范圍內(nèi)測量的準(zhǔn)確性,最后通過鎖相環(huán)提取轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速信息以及位置信息。由仿真結(jié)果與實驗論證可以得出,所改進(jìn)的方法中反電動勢相位提前于傳統(tǒng)SMO,且幅值大于傳統(tǒng)SMO,因此能較好地解決傳統(tǒng)SMO中低通濾波器造成的延遲與抖振,避免了因角度估測延遲造成的抖振,從而提高了系統(tǒng)的位置估測精度以及轉(zhuǎn)速估測精度,同時加入負(fù)載的仿真與實驗驗證了改進(jìn)型自適應(yīng)SMO在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速突變點附近震蕩幅度較小且能較快的恢復(fù)穩(wěn)態(tài),具有較強(qiáng)的魯棒性。