周程勝,熊瑞平,胡英達(dá),李 靜,巫啟源

(四川大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,成都 610065)

0 引言

在產(chǎn)品制造過程中,涂裝是一個重要的處理過程,具有為產(chǎn)品提供涂層保護(hù),以及提高產(chǎn)品的美觀性等優(yōu)點(diǎn)[1]。由于噴涂過程中會產(chǎn)生大量醛、苯等有毒氣體,長期在該環(huán)境下工作會對操作人員的身心健康產(chǎn)生危害,所以隨著機(jī)器人等先進(jìn)制造技術(shù)的發(fā)展,機(jī)器人噴涂逐漸取代人工噴涂的方式[2]。噴涂質(zhì)量和工作效率是衡量機(jī)械臂噴涂路徑優(yōu)劣的關(guān)鍵指標(biāo),因此,需要對噴涂機(jī)械臂進(jìn)行工作軌跡優(yōu)化,以提高噴涂作業(yè)效率、降低運(yùn)行過程中產(chǎn)生的沖擊振動從而提高噴涂質(zhì)量。

多項式插值因為其計算簡單的特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于機(jī)械臂軌跡規(guī)劃,但是三次多項式曲線會產(chǎn)生加速度突變[3],插值次數(shù)太高往往會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象,并且多項式插值不具有局部可控性[4],一兩個路徑點(diǎn)的變動就會引起整條曲線軌跡的改變,無法滿足機(jī)械臂在動態(tài)環(huán)境中工作的適應(yīng)性。因此具有局部修改性的B樣條插值曲線引起了國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注,李小霞等[5]基于5次B樣條構(gòu)造了加加速度連續(xù)光滑的關(guān)節(jié)空間軌跡,解決了關(guān)節(jié)平滑驅(qū)動的問題,但未涉及智能優(yōu)化算法。GASPARETTO等[6]在5次B樣條插值軌跡的基礎(chǔ)上運(yùn)用權(quán)重法將時間-沖擊最優(yōu)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題利用SQP方法(序列二次規(guī)劃)獲得最優(yōu)軌跡。權(quán)重法有效降低了算法求解難度,同時該方法弱化了優(yōu)化目標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)性,因此犧牲了部分性能指標(biāo)。

本文在關(guān)節(jié)空間中利用五次非均勻B樣條函數(shù)構(gòu)建插值軌跡,以機(jī)械臂運(yùn)行時間和沖擊為目標(biāo)建立多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,結(jié)合改進(jìn)的多目標(biāo)灰狼算法進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。以曲面工件噴涂作業(yè)仿真為例進(jìn)行算法求解并獲得Pareto最優(yōu)解集并將優(yōu)化結(jié)果與NSGA-Ⅱ算法[7]優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行性能比較。最后構(gòu)造歸一化權(quán)重目標(biāo)函數(shù)以獲得最優(yōu)解并規(guī)劃出時間-沖擊最優(yōu)的關(guān)節(jié)噴涂軌跡。

1 最優(yōu)噴涂軌跡規(guī)劃問題描述

關(guān)節(jié)空間噴涂軌跡規(guī)劃的首要任務(wù)就是將笛卡爾空間中的噴涂軌跡離散化,通過機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)轉(zhuǎn)換為關(guān)節(jié)空間的關(guān)鍵路徑點(diǎn)的關(guān)節(jié)序列來構(gòu)造過關(guān)鍵噴涂路徑點(diǎn)且連續(xù)光滑的基本軌跡曲線。

噴涂工作效率和噴涂質(zhì)量是最優(yōu)噴涂軌跡規(guī)劃中需要優(yōu)化的目標(biāo),因此機(jī)械臂最優(yōu)噴涂路徑規(guī)劃問題可以定義為多目標(biāo)優(yōu)化問題,其數(shù)學(xué)模型可表示為:

(1)

式中:目標(biāo)函數(shù)Si(x)(i=1,2,…,f)及約束函數(shù)gi(x)≤0和hk(x)=0都是決策變量x=(x1,x2,…,xn)的函數(shù)。

為了提高機(jī)械臂噴涂效率,同時通過減小沖擊所帶來的關(guān)節(jié)振動以改善噴涂質(zhì)量,可將優(yōu)化目標(biāo)定義為:

(2)

(3)

(4)

2 基于B樣條插值的軌跡構(gòu)造

2.1 B樣條曲線描述

K次B樣條曲線的定義為:

(5)

式中:Qi(i=0,1,…,n)為控制頂點(diǎn),Ni,k(u)(i=0,1,…,n)是k次規(guī)范B樣條基函數(shù),其節(jié)點(diǎn)矢量U=[u0,u1,…,un+k+1]。Ni,k(u)(i=0,1,…,n)可由德布爾-考克斯遞推公式定義:

(6)

式中:k表示B樣條函數(shù)的次數(shù),i表示B樣條曲線的序號。由遞推式可知:

(1)Ni,k(u)只在節(jié)點(diǎn)區(qū)間[ui,ui+k+1]中不等于0,在其它節(jié)點(diǎn)區(qū)間均為0,即B樣條曲線具有局部支撐性;

(2)在任一確定的區(qū)間[ui,ui+1]之間,存在不超過k+1個非0的Nj,k。

因此B樣條曲線可簡化為:

(7)

2.2 5次非均勻B樣條插值軌跡

為獲得加加速度連續(xù)且光滑的軌跡,利用5次B樣條函數(shù)構(gòu)造插值曲線。為使每個關(guān)節(jié)機(jī)械臂軌跡經(jīng)過給定的n+1個位置點(diǎn),需反求B樣條插值軌跡方程的n+k個控制點(diǎn)Qi(i=0,1,…,n+k-1)。

B樣條曲線由控制點(diǎn)Qi和節(jié)點(diǎn)矢量U=[u0,u1,…,un+2k]定義。為保證B樣條曲線始末端點(diǎn)和始末位置點(diǎn)重合,取節(jié)點(diǎn)矢量兩邊的重合度為k+1即:u0=u1=…uk=0,un+k=un+k+1=…un+2k=1。內(nèi)節(jié)點(diǎn)值可采用累計弦長參數(shù)化法[8]對時間節(jié)點(diǎn)Δti歸一化得到:

(8)

將時間-位置序列M={(pi,Δti)|i=0,1,…,n}代入式(7)可得到滿足插值條件的n+1個方程。因此還需要增加k-1個條件,本文取k=5,通過設(shè)定關(guān)節(jié)始末速度和加速度可獲得剩余4個邊界條件:

(9)

(10)

通過解n+k個線性方程組,可以求解出的控制頂點(diǎn)向量Qj,由控制頂點(diǎn)Qj,時間節(jié)點(diǎn)矢量U可得到關(guān)節(jié)j在t∈[t0,tn]上的軌跡曲線方程,再通過式(11)就能推導(dǎo)出其各階導(dǎo)數(shù)曲線,即:

(11)

3 運(yùn)動約束問題處理

因為B樣條曲線具有強(qiáng)凸包性質(zhì)[9],整條曲線包含在控制多邊形的凸包內(nèi)。因此可以將運(yùn)動約束條件轉(zhuǎn)化為每個關(guān)節(jié)的各階B樣條插值曲線控制頂點(diǎn)的約束,簡化約束條件。

(12)

對于一個解x,若其滿足約束條件,則稱該解為可行解,若不滿足,則稱為不可行解。對于不可行解,一般使用約束違反值[10]來描述其違反約束的程度:

(13)

式中:gi(x)表示不等式約束,hk(x)表示等式約束。其中〈α〉表示若α≤0,則〈α〉=0,否則〈α〉=|α|,顯然,對于一個解,其CV值越小,說明該解越優(yōu)。

對于任意兩個解xa約束支配xb的條件滿足以下條件的任一項即可:①xa是可行解,而xb是不可行解;②xa和xb都是不可行解,但是CV(xa)

4 改進(jìn)的多目標(biāo)灰狼算法(IMOGWO)

灰狼優(yōu)化算法(grey wolf optimizer,GWO)[11]是受灰狼群的捕食行為啟發(fā)的一種生物智能算法,其具有參數(shù)少、易實現(xiàn)、穩(wěn)定性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),在處理路徑規(guī)劃優(yōu)化問題時表現(xiàn)出了良好的性能。GWO算法模擬灰狼的等級制度和群體狩獵行為,每個狼群都有嚴(yán)格的等級制度,狼群中適應(yīng)度最好3個個體為α、β和δ狼,其余個體ω狼。在GWO算法,α、β和δ狼領(lǐng)導(dǎo)狩獵行為,ω狼負(fù)責(zé)跟隨這3頭狼搜索最優(yōu)解。

除等級制度外,為模擬灰狼的狩獵行為,通過以下公式更新灰狼位置。首先確定灰狼與獵物之間的距離:

D=|C·Xp(t)-X(t)|,C=2r1

(14)

式中:Xp(t)為獵物位置,X(t)為灰狼位置,C為擺動因子,r1為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。

之后灰狼根據(jù)自己與獵物之間的距離更新自身的位置:

(15)

式中:A為收斂系數(shù),r2為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù),a為從2線性遞減至0的常數(shù)。

為了捕捉到獵物,由α、β和δ狼的領(lǐng)導(dǎo)來實現(xiàn)對獵物的鎖定和圍捕,其數(shù)學(xué)模型可描述為:

(16)

X(t+1)=(X1+X2+X3)/3

(17)

為了使灰狼算法能夠用于多目標(biāo)優(yōu)化問題中,MIRJALILI等[12]提出了多目標(biāo)灰狼算法(MOGWO),即在GWO基礎(chǔ)上增加兩個組件。

(1)利用外部存檔維護(hù)迄今為止搜索到的Pareto最優(yōu)解,若存檔已滿,則利用網(wǎng)格機(jī)制刪除最擁擠分段中的解,以改善帕累托最優(yōu)前沿的多樣性。

(2)引入領(lǐng)導(dǎo)選擇策略從存檔最不擁擠分段中選擇α、β和δ解來領(lǐng)導(dǎo)個體的位置更新。

MOGWO算法隨機(jī)生成初始種群的方式遍歷性低,初始解在解空間分布不均勻,從而導(dǎo)致算法在解空間中尋優(yōu)不徹底,影響算法的搜索效率和全局尋優(yōu)性能?；煦缬成渚哂须S機(jī)性、均勻性和多樣性等特點(diǎn),有利于生成遍布整個解空間的初始種群。本文引用Cubic混沌映射[13]實現(xiàn)狼群位置分布的初始化操作,其映射函數(shù)如式(18)所示。

y(i+1)=4y(i)3-3y(i)
-1

(18)

式中:y(i)為立方序列,按式(19)映射到灰狼個體上:

X(i)=lb+(ub-lb)×(y(i)+1)/2

(19)

式中:ub、lb為搜索空間的上界和下界。

MOGWO算法在進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化時存在易陷入局部最優(yōu)和后期收斂速度慢的問題。由式(15)可知,當(dāng)|A|<1時,狼群遠(yuǎn)離頭狼進(jìn)行全局搜索;當(dāng)|A|>1時,頭狼領(lǐng)導(dǎo)狼群進(jìn)行局部尋優(yōu)。而線性遞減的收斂因子a無法平衡算法全局和局部搜索能力,因此提出了一種非線性收斂因子如式(20)所示。

a=1+sin(π/2+pi×(t/T)1.5)

(20)

如圖1所示,式(20)改進(jìn)后的收斂因子在迭代前期和后期衰減緩慢,中期搜索效率提高,可以更好地協(xié)調(diào)算法的全局搜索能力與局部尋優(yōu)能力。

圖1 改進(jìn)收斂因子和原收斂因子曲線圖

改進(jìn)的多目標(biāo)灰狼優(yōu)化(IMOGWO)算法流程為:

步驟1:利用混沌映射初始化灰狼種群Xi(i=1,2,…,n),利用式(20)初始a、A、C;

步驟2:計算每個個體的適應(yīng)度值,選擇Pareto解并存入archive檔案中;

步驟3:在archive檔案中,采用領(lǐng)導(dǎo)選擇策略選擇α、β和δ狼t=1;

步驟4:進(jìn)入迭代過程,t

步驟5:根據(jù)式(16)、式(17)更新ω狼位置,更新a、A、C;

步驟6:計算每個個體的適應(yīng)度值,找到Pareto解并存入archive檔案中,若存檔已滿則采用網(wǎng)格機(jī)制刪除最擁擠解;

步驟7:在archive檔案中,重新選擇α、β和δ狼;

步驟8:t=t+1,跳轉(zhuǎn)到步驟4;

步驟9:算法結(jié)束,輸出Pareto解集。

5 仿真驗證

本文以KUKA KR_16型工業(yè)機(jī)器人為仿真對象,進(jìn)行噴涂作業(yè)仿真,其改進(jìn)D-H參數(shù)如表1所示,噴涂工件及選取噴涂路徑點(diǎn)如圖2所示。

表1 改進(jìn)D-H參數(shù)表

圖2 噴涂工件及選取路徑點(diǎn)

噴涂路徑點(diǎn)的關(guān)節(jié)序列如表2所示。各個關(guān)節(jié)運(yùn)動學(xué)約束如表3所示。

表2 路徑點(diǎn)關(guān)節(jié)序列

表3 運(yùn)動約束

利用非均勻5次B樣條插值曲線規(guī)劃噴涂軌跡,設(shè)定所有關(guān)節(jié)的啟停速度、加速度均為0。根據(jù)式(2)、式(3),以S1和S2為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),在MATLAB環(huán)境中對建立的多目標(biāo)模型按IMOGWO算法流程進(jìn)行求解。設(shè)置最大迭代次數(shù)為100,種群大小為100,archive檔案大小為100,設(shè)置目標(biāo)函數(shù)空間的每一維度的網(wǎng)格數(shù)為nGrid=10。為形成對比,同時采用NSGA-Ⅱ算法優(yōu)化求解。得到運(yùn)動時間和沖擊綜合優(yōu)化的Pareto前沿面如圖3所示。

圖3 Pareto前沿面對比圖

由圖3中IWOGWO的Pareto前沿可知,Pareto前沿為決策者提供了許多優(yōu)化解決方案,每一個Pareto解都不能在一個目標(biāo)上進(jìn)一步改進(jìn),而不會導(dǎo)致另一個目標(biāo)的退化;時間性能指標(biāo)和沖擊性能指標(biāo)呈負(fù)相關(guān),越靠近A點(diǎn),機(jī)械臂噴涂效率越高,越靠近B點(diǎn)機(jī)械臂運(yùn)動更加平穩(wěn),噴涂質(zhì)量越好;對比NSGA-Ⅱ的Pareto前沿可知,由于采用了非線性收斂因子,IMOGWO算法得到的Pareto前沿分布跨度更大,為決策者提供了更豐富的最優(yōu)解方案;頭狼領(lǐng)導(dǎo)的狩獵策略可以局部搜索到更加精確的最優(yōu)解,使其更接近于真實Pareto前沿。

為了能在Pareto前沿面選擇實際工況下的一個解,定義如下歸一權(quán)重函數(shù):

fc=α1S1/N1+α2S2/N2

(21)

式中:N1和N2可以使各目標(biāo)函數(shù)處于同一數(shù)值范圍,α1和α2是各個目標(biāo)函數(shù)根據(jù)實際工況需求所占權(quán)重比例。對式(21)最小化求解,即可從Pareto前沿面中選擇最優(yōu)解。

本文取α1=0.7,α2=0.3,N1=1,N2=1.5,求解獲得IMOGWO算法的Pareto最優(yōu)解在圖3中表示為C點(diǎn),最優(yōu)時間序列為Δt=[3.40,1.74,1.87,1.56,1.74,1.70,3.29],最優(yōu)運(yùn)行時間為15.30 s,最優(yōu)絕對平均沖擊值為22.37 °/s3。對比NSGA-Ⅱ算法的Pareto前沿面可知:機(jī)械臂按最優(yōu)運(yùn)行時間序列進(jìn)行噴涂作業(yè),其沖擊減小了17.6%,其噴涂效率提升了3.0%。

利用正運(yùn)動學(xué),將關(guān)節(jié)空間的最優(yōu)軌跡映射到笛卡爾空間,得到如圖4所示的優(yōu)化軌跡?？梢钥闯?利用本文方法對采樣點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化后軌跡,與根據(jù)實際噴涂作業(yè)的需求所期望的噴涂路徑具有良好的擬合性。驗證了該軌跡規(guī)劃方法的在笛卡爾空間進(jìn)行噴涂作業(yè)的可行性。

圖4 笛卡爾空間噴涂軌跡

各個關(guān)節(jié)的位置、速度、加速度和沖擊曲線如圖5所示。

(a) 各關(guān)節(jié)位置曲線 (b) 各關(guān)節(jié)速度曲線

由圖5可見,采用5次B樣條插值方法在關(guān)節(jié)空間中構(gòu)造的軌跡,可以指定初末速度和加速度并保證沖擊的連續(xù)性。通過IMOGWO對關(guān)節(jié)運(yùn)動時間和沖擊優(yōu)化后,所有關(guān)節(jié)均滿足運(yùn)動約束條件的同時,各性能指標(biāo)都達(dá)到了綜合最優(yōu)的狀態(tài),在提高噴涂效率的同時,保證了噴涂質(zhì)量。

6 結(jié)論

利用非均勻5次B樣條插值曲線在關(guān)節(jié)空間規(guī)劃的噴涂軌跡光滑連續(xù)且無沖擊突變;該軌跡可指定初末速度和加速度,避免了機(jī)械臂啟停時產(chǎn)生剛性振動與沖擊;采用約束違反值將運(yùn)動約束條件轉(zhuǎn)換為Pareto支配關(guān)系;提出了改進(jìn)的多目標(biāo)灰狼算法,采用該算法獲得的Pareto解集分布跨度能大且更接近真實的Pareto前沿。仿真實驗的結(jié)果表明,該方法在提高機(jī)械臂噴涂效率的同時,減小了關(guān)節(jié)運(yùn)動過程中沖擊的累積,提高了噴涂質(zhì)量。驗證了基于改進(jìn)多目標(biāo)灰狼算法的機(jī)械臂最優(yōu)時間-沖擊噴涂軌跡規(guī)劃的有效性。