吳 昊,姜運祥,湯赫男,趙憶文

(1.沈陽工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院,沈陽 110870;2.中國科學(xué)院沈陽自動化研究所,沈陽 110016)

0 引言

并聯(lián)機構(gòu)是指具有一個或多個閉環(huán)運動鏈的機構(gòu)[1]。該類機構(gòu)因其具有承載能力強、剛度大、無累積誤差、運動精度高、動態(tài)性能好等[2-4]優(yōu)點,在工業(yè)應(yīng)用上與串聯(lián)機構(gòu)形成了互補[5],因此近些年來在工業(yè)界和學(xué)術(shù)界都引起普遍關(guān)注。尤其是少自由度并聯(lián)機構(gòu)因其具有結(jié)構(gòu)簡單、機構(gòu)緊湊、設(shè)計制作和控制成本較低、運動耦合性低等[6-8]特點,在當(dāng)前研究階段逐漸成為了一個研究熱點。

少自由度并聯(lián)機構(gòu)[9-10]是指機構(gòu)自由度少于6的并聯(lián)機構(gòu)。針對少自由度的并聯(lián)機構(gòu),目前國內(nèi)外許多專家學(xué)者已經(jīng)進(jìn)行了深入的研究,如TSAI[11]首次提出了驅(qū)動雅可比和約束雅可比的相關(guān)概念,并建立了一類3自由度并聯(lián)機構(gòu)的廣義雅可比矩陣。方躍法等[12]針對3-RPS并聯(lián)機構(gòu)提出了該機構(gòu)的顯式數(shù)學(xué)模型。HUANG等[13]利用螺旋理論對 2T1R 型并聯(lián)機構(gòu)進(jìn)行了型綜合。吳存存等[14]提出了一種可實現(xiàn)3T1R運動的四自由度并聯(lián)機構(gòu)并給出了該機構(gòu)位置解的封閉形式。陳修龍等[15]推導(dǎo)了4-UPS-RPU冗余驅(qū)動4自由度并聯(lián)機構(gòu)的動能、勢能表達(dá)式和作用與并聯(lián)機構(gòu)非保守力的等效廣義力,并應(yīng)用拉格朗日法建立了機構(gòu)的動力學(xué)模型。張偉中等[16]借助空間模型法對2-PUR-PSR并聯(lián)機構(gòu)進(jìn)行尺度綜合,獲得了機構(gòu)的性能分布圖譜,確定了最優(yōu)尺寸區(qū)域。曲海波等[17]通過互易積運算求解了4-RRS并聯(lián)機構(gòu)動平臺的反螺旋力系,對4-RRS冗余球面并聯(lián)機構(gòu)進(jìn)行了靜力學(xué)與剛度分析。

目前,針對少自由度并聯(lián)機構(gòu)的研究多為三、四、五自由度的并聯(lián)機構(gòu)[18]為主,關(guān)于兩自由度并聯(lián)機構(gòu)的研究還有所欠缺,該文章針對主從式醫(yī)療手術(shù)機器人的設(shè)計需求,提出了一種空間2-RRR型并聯(lián)機構(gòu),基于螺旋理論對機構(gòu)的自由度進(jìn)行分析、通過封閉矢量法對機構(gòu)的正逆運動學(xué)進(jìn)行了推導(dǎo),最后利用隨機函數(shù)法對機構(gòu)的工作空間進(jìn)行了仿真求解,為該型并聯(lián)機構(gòu)在主從式手術(shù)機器人中的應(yīng)用提供了理論依據(jù)。

1 機構(gòu)設(shè)計與自由度分析

1.1 機構(gòu)描述

本文提出的2-RRR型兩自由度并聯(lián)機構(gòu)虛擬樣機如圖1所示,該并聯(lián)機構(gòu)由基座、動平臺、支鏈Ⅰ、支鏈Ⅱ(兩支鏈的運動副布置相同,且兩支鏈的所有轉(zhuǎn)動副軸線相交于一點,兩支鏈與動平臺連接的轉(zhuǎn)動副轉(zhuǎn)動中心在相同位置,支鏈Ⅰ、Ⅱ的連桿長度對應(yīng)相等)組成?；蠈ΨQ設(shè)計了兩個支鏈安裝平臺,該安裝平臺與基座上表面分別有45°和135°夾角,兩支鏈第一段為L型連桿,L型連桿的短桿安裝在基座的安裝平臺上,長桿末端與支鏈第二段連桿鉸接在一起,兩支鏈第二段連桿與動平臺轉(zhuǎn)動連接,且轉(zhuǎn)動中心在同一位置。該機構(gòu)具有所有轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)軸線相交于一點;動平臺軸線同時垂直于第二段連桿軸線的特點。這種運動副布置方式對于求解該并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)正反解十分有利。

2-RRR型并聯(lián)機構(gòu)的機構(gòu)簡圖如圖2所示,其中基座與支鏈Ⅰ、Ⅱ鉸接的R副位于同一高度且沿基座軸線對稱分布,兩R副為A1、B1;支鏈中兩段連桿連接的R副為A2、B2;動平臺與兩支鏈鉸接的R副為同一點C。初始位型下,各轉(zhuǎn)動副位于同一平面。坐標(biāo)系O到轉(zhuǎn)動副A1之間沿X方向的距離為l,沿Y方向的距離為m,A1到C之間的距離為n,支鏈第二段短桿長度為a。

圖2 2-RRR并聯(lián)機構(gòu)簡圖

機構(gòu)處于初始位型時建立O-XYZ坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點O位于定平臺兩轉(zhuǎn)動副連線中點,Y軸垂直于定平臺平面,X軸與兩轉(zhuǎn)動副連線共線,Z軸與X、Y兩軸成右手系。初始位型下,兩支鏈的空間位置以Y軸為對稱軸分布。

1.2 自由度分析

基于螺旋理論對機構(gòu)進(jìn)行自由度分析。為使機構(gòu)的螺旋系中盡可能多的產(chǎn)生0元素,以便于進(jìn)行螺旋系的互易積運算,以如圖3所示建立機構(gòu)螺旋系的定坐標(biāo)系。

圖3 2-RRR并聯(lián)機構(gòu)運動螺旋圖

該機構(gòu)具有兩個結(jié)構(gòu)相同的RRR支鏈,在初始位型下兩支鏈的運動螺旋系在基座坐標(biāo)系O-XYZ中可表示為:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

根據(jù)SfΔSr=0,計算出機構(gòu)的運動旋量系Sf。

(6)

通過分析Sf的特點,可確定機構(gòu)具有2個自由度,分別為繞x軸轉(zhuǎn)動的自由度和繞y軸轉(zhuǎn)動的自由度。

采用修正的Grübler-Kutzbach準(zhǔn)則對2-RRR并聯(lián)機構(gòu)進(jìn)行自由度計算:

(7)

式中:K表示機構(gòu)的自由度,d為機構(gòu)的階數(shù),d=6-λ,λ為機構(gòu)的公共約束,n表示機構(gòu)中包括機架在內(nèi)的構(gòu)件數(shù),g表示機構(gòu)運動副數(shù)目,fi表示機構(gòu)關(guān)節(jié)i具有的自由度,fa為局部自由度,f0為消極自由度,v表示機構(gòu)的冗余約束。

由機構(gòu)分支的約束旋量系階數(shù)為3可知,機構(gòu)中包個相同的約束力或約束力偶,因此機構(gòu)的公共約束為3,即λ=3,因此機構(gòu)的階數(shù)d=6-λ=3,動平臺與兩支鏈鉸接的轉(zhuǎn)動副存在1個局部自由度,該機構(gòu)不存在冗余約束,故v=0。

故應(yīng)用修正的Grübler-Kutzbach準(zhǔn)則可求得該并聯(lián)機構(gòu)自由度數(shù)為:

K=3(6-6-1)+6-1-0-0=2

(8)

2 位置分析

該并聯(lián)機構(gòu)兩支鏈運動副完全相同,因此可按圖4所示建立一側(cè)支鏈關(guān)節(jié)坐標(biāo)系以及動、靜平臺坐標(biāo)系。靜平臺上基坐標(biāo)系原點O1位于靜平臺上表面,X1軸平行于靜平臺上兩轉(zhuǎn)動副連線方向向右,Y1軸垂直于靜平臺上表面,Z1軸與X1、Y1軸成右手系;原點O2位于支鏈Ⅰ第一關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動中心,Z2軸方向為關(guān)節(jié)軸線方向,X2軸方向為沿L型連桿短桿軸線方向,Y2軸與X2、Z2軸成右手系;坐標(biāo)系O3-X3Y3Z3的初始姿態(tài)與O2-X2Y2Z2各軸線平行,原點O3位于Z2軸與定平臺軸線交點處,也即各轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動中心,X3軸方向固定在支鏈第二段連桿軸線方向。另一側(cè)支鏈也以同樣的規(guī)則建立坐標(biāo)系,為使圖幅簡潔圖4只顯示支鏈Ⅰ的各坐標(biāo)系與有關(guān)向量。

圖4 機構(gòu)運動學(xué)模型

2.1 位置正解分析

該并聯(lián)機構(gòu)具有運動過程中動平臺軸線垂直于兩支鏈第二段連桿的特點,易得到兩支鏈第二段連桿軸向方向的向量P1、P2在基坐標(biāo)系下的坐標(biāo),通過P1×P2即可確定動平臺軸線方向向量Pd在空間中的位置坐標(biāo),該坐標(biāo)與基座標(biāo)軸線夾角的余弦值即是動平臺Z軸的姿態(tài)坐標(biāo)。

其中,P1為O3坐標(biāo)系下Z軸方向向量,坐標(biāo)為{a,0,0}。各坐標(biāo)系間的旋轉(zhuǎn)矩陣為:

(9)

(10)

將P1變換到基坐標(biāo)系下的向量1p1為:

(11)

(12)

同理,將P2變換到基坐標(biāo)系下的向量坐標(biāo)1p2為:

(13)

(14)

P1和P2在坐標(biāo)系O1下的實際向量為rP1=1P1-1P3和rP2=1p2-1p3。

(15)

(16)

式中:s為sin,c為cos。

所以可得到動平臺Z軸在基坐標(biāo)系下向量:

Pzd=rP1×rP2

(17)

為使動平臺X軸在空間中的位姿易于求取,設(shè)從向量Pzd起點到向量rP1與rP2末端連線的中點方向的向量為動平臺X軸方向向量。因此由基坐標(biāo)系原點到rP1與rP2中點方向的向量坐標(biāo)在基坐標(biāo)系下可表示為:

(18)

則動平臺上的X軸方向的向量在基坐標(biāo)系下的實際向量為:

Pxd=1Pxd-1P3

(19)

因此動平臺Y軸方向向量為:

Pyd=Pxd×Pzd

(20)

式中:Pxd、Pyd和Pzd與基坐標(biāo)系坐標(biāo)軸的夾角的余弦值所組成的矩陣即是動平臺在空間中的姿態(tài)矩陣。

2.2 位置逆解分析

求機構(gòu)的位置逆解即是當(dāng)已知動平臺在空間姿態(tài)求解驅(qū)動關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角,對于該2-RRR型并聯(lián)機構(gòu)來說其支鏈兩段連桿所圍成的圖形為矩形,轉(zhuǎn)動軸線恰好為空間矩形的一條長邊,要求其驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角也就是求L型連桿短桿部分繞轉(zhuǎn)動軸線的轉(zhuǎn)角,而L型連桿短桿繞轉(zhuǎn)動軸線的轉(zhuǎn)角與支鏈第二段連桿繞軸線的轉(zhuǎn)角相同,因此只需求得第二段連桿方向向量P1在坐標(biāo)系O2下的投影與其X軸的夾角,該角度即等于驅(qū)動關(guān)節(jié)角。當(dāng)運動平臺在基坐標(biāo)系下的位姿已知,就知道了動平臺Z軸在基坐標(biāo)系下的向量1Pzd=[xz,yz,zz],由機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點可知向量P1在機構(gòu)運動過程中始終垂直于動平臺軸線Pzd和O2坐標(biāo)系的Z軸也即驅(qū)動關(guān)節(jié)軸線Z2,設(shè)Z2軸向向量為Pz2,因此可通過在O2坐標(biāo)系下2Pzd×Pz2得出O2坐標(biāo)系下向量P1,由P1在O2坐標(biāo)系X軸和Y軸方向坐標(biāo)的余弦值得出驅(qū)動關(guān)節(jié)角。設(shè)向量已知動平臺軸線上一點在動平臺座標(biāo)系下的坐標(biāo)Pzd=[0,0,z2],動平臺與基座標(biāo)系之間的變換矩陣為:

(21)

基座標(biāo)系到O2坐標(biāo)系之間的變換矩陣為:

(22)

2Pzd=2T1·1Td·Pzd

(23)

所以在基坐標(biāo)系下:

1P1=2Pzd×Pz2

(24)

將1P1轉(zhuǎn)換至O2坐標(biāo)系下:

(25)

向量2P1與O2坐標(biāo)系X軸的夾角即為驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θd1,采用同樣的方法可以求出另一驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θd2,該逆運動學(xué)模型即可在已知機構(gòu)的末端位姿的情況下可求解出機構(gòu)的驅(qū)動關(guān)節(jié)角度。

3 運動學(xué)仿真

3.1 機構(gòu)正解分析與驗證

為驗證第2節(jié)推導(dǎo)出的運動學(xué)理論的正確性,接下來分別通過在MATLAB對推導(dǎo)出的公式帶入驅(qū)動函數(shù)以及對Adams中的虛擬樣機施加相同驅(qū)動函數(shù),來分析運動學(xué)模型的正確性。首先在Adams仿真軟件中對虛擬樣機進(jìn)行仿真分析,對驅(qū)動關(guān)節(jié)施加如下驅(qū)動函數(shù):

(26)

仿真后測量動平臺軸線與基坐標(biāo)系X、Y和Z軸的夾角θzx、θzy和θzz的仿真曲線,如圖5所示。

根據(jù)第2節(jié)推導(dǎo)的理論在MATLAB中建立并聯(lián)機構(gòu)正運動學(xué)模型,計算出在相同驅(qū)動函數(shù)下機構(gòu)正運動學(xué)的理論曲線,如圖6所示。

3.2 機構(gòu)逆解分析與驗證

對機構(gòu)進(jìn)行逆運動學(xué)仿真與驗證,在Adams中對虛擬樣機的動平臺繞基坐標(biāo)系X軸和Y軸轉(zhuǎn)動添加一般點驅(qū)動,驅(qū)動函數(shù)為:

(27)

仿真后得出兩驅(qū)動關(guān)節(jié)角度θd1、θd2仿真曲線,如圖7所示。在MATLAB中對該并聯(lián)機構(gòu)逆解模型添加相同驅(qū)動函數(shù)并繪制出兩驅(qū)動關(guān)節(jié)角度θd的理論曲線,如圖8所示。

圖7 Adams逆運動學(xué)仿真曲線 圖8 MATLAB逆運動學(xué)理論曲線

通過對比可以看出,該并聯(lián)機構(gòu)在相同的角度變化函數(shù)下,依據(jù)上文推導(dǎo)的運動學(xué)模型計算出的理論曲線和通過虛擬樣機仿真得出的仿真曲線在數(shù)值與變化趨勢上基本吻合,因此可以證明該并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)模型得正確性,并且該模型在Adams仿真過程中各構(gòu)件也并未發(fā)生干涉和變形穿透現(xiàn)象,說明機構(gòu)具有較好得運動性能。

4 工作空間分析

工作空間是衡量機構(gòu)性能的一個重要指標(biāo),它代表著所設(shè)計的機構(gòu)在自由度允許的范圍能所能達(dá)到的工作空間的大小。本文采用隨機函數(shù)法對2-RRR型并聯(lián)機構(gòu)進(jìn)行工作空間仿真分析,以動平臺軸線的一個端點為參考點,該點與并聯(lián)機構(gòu)定心點的距離為r=30 mm,根據(jù)機構(gòu)運動時不發(fā)生干涉的條件設(shè)定兩個驅(qū)動關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θd1和θd2合理范圍,機構(gòu)的其余尺寸參數(shù)與上文運動學(xué)仿真時相同。

設(shè)定隨機抽樣次數(shù)N=100 000,利用隨機函數(shù)rand在關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)隨即生成關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θd1、θd2的角度值。將隨機生成的驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θd1、θd2帶入上面推導(dǎo)的運動學(xué)正解模型,得到動平臺末端點在空間中的位置,并記錄。設(shè)定機構(gòu)的運動參數(shù)如表1所示。

表1 驅(qū)動關(guān)節(jié)運動參數(shù)

以上述參數(shù)為依據(jù),在MATLAB軟件中進(jìn)行工作空間仿真,繪制出該機構(gòu)的工作空間,如圖9所示。

(a) 工作空間三維圖 (b) α-γ平面圖9 2-RRR并聯(lián)機構(gòu)的工作空間

由圖9可知,當(dāng)參考點取在該位置時機構(gòu)的工作空間呈一個球形弧面,該工作空間的特點可以滿足圍繞某一點進(jìn)行微調(diào)作業(yè)的工作場景,而這種工作空間十分適合目前醫(yī)療手術(shù)機器人主手的設(shè)計需要。

5 結(jié)論

(1)設(shè)計了一種空間2-RRR型并聯(lián)機構(gòu),并利用螺旋理論和修正的Grübler-Kutzbach準(zhǔn)則對機構(gòu)自由度進(jìn)行了分析,證明了機構(gòu)設(shè)計的合理性。

(2)根據(jù)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點,利用空間矢量法建立了機構(gòu)的正運動學(xué)模型,并對模型進(jìn)行了仿真驗證,證明了運動學(xué)模型的正確性。

(3)采用隨機函數(shù)法對機構(gòu)工作空間進(jìn)行仿真,得出該機構(gòu)的工作空間為一圓弧形半球,這與大多數(shù)主從式醫(yī)療機器人的需求的工作空間相符,可以應(yīng)用于需要做定心運動的醫(yī)療手術(shù)機器人中。