■華中科技大學(xué)附屬中學(xué) 許 文

帶電粒子在勻強(qiáng)電場中受到恒定的靜電力作用，在不同的初速度的情況下，粒子可能做直線運(yùn)動，也可能做類拋體曲線運(yùn)動。在一定區(qū)域內(nèi)，若粒子運(yùn)動到某處時的動能最大(最小)，根據(jù)動能定理可知，粒子從開始運(yùn)動到此處合力做的功最大(最小)。下面通過典型實(shí)例分析帶電粒子在勻強(qiáng)電場中圓周上的動能最值問題，供同學(xué)們參考。

一、問題推論

如圖1 所示，勻強(qiáng)電場中有一個圓周，電場方向平行于圓周平面。從圓周上某點(diǎn)A在圓周平面內(nèi)沿各個方向發(fā)射初動能相同的帶電粒子，其中過圓周上B點(diǎn)時粒子的動能最大。可以得出以下推論:

圖1

推論1:過B點(diǎn)作圓周的切線，過A點(diǎn)作此切線的垂線，則粒子受到恒定合力F的方向與此垂線平行。

推論2:過B點(diǎn)作圓的直徑與圓交于C點(diǎn)，則粒子經(jīng)過圓周上C點(diǎn)時的動能最小。

推論3:若粒子受到的合力等于靜電力，則過B、C點(diǎn)圓的切線即為勻強(qiáng)電場的等勢線。粒子在圓周上B點(diǎn)時的電勢能最小，在圓周上C點(diǎn)時的電勢能最大。

二、實(shí)例分析

根據(jù)粒子經(jīng)過圓周上動能最值點(diǎn)的圓的切線方向可判斷粒子受到的合力方向。若粒子受到的合力等于靜電力，則根據(jù)靜電力的方向與粒子的電性可判斷勻強(qiáng)電場的方向;根據(jù)電場方向可判斷圓周上各點(diǎn)電勢的分布情況。

1.粒子受到的合力等于靜電力。

例1如圖2所示，在光滑絕緣水平面上有一半徑為R的圓，AB是它的一條直徑，空間存在勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E，方向與水平面平行。在圓周上A點(diǎn)有一發(fā)射器，以相同的初動能平行于水平面沿不同方向不斷發(fā)射很多帶電荷量均為+q的小球，不考慮小球間的相互作用，這些帶電小球會經(jīng)過圓周上不同的點(diǎn)，在這些點(diǎn)中，經(jīng)過C點(diǎn)的小球動能最大，且∠α=30°，下列說法中正確的是( )。

圖2

A.電場的方向垂直于直徑AB斜向上

B.電場的方向垂直于直徑AB斜向下

C.小球在A點(diǎn)垂直于電場方向發(fā)射，若能經(jīng)過C點(diǎn)，則其初動能為

D.小球在A點(diǎn)垂直于電場方向發(fā)射，若能經(jīng)過C點(diǎn)，則其初動能為

解析:帶電小球在光滑絕緣的水平面上運(yùn)動，受到的合力等于靜電力。小球以相同的初動能從A點(diǎn)開始運(yùn)動，經(jīng)過C點(diǎn)時動能最大，說明小球在圓周上C點(diǎn)時的電勢能最小;因?yàn)樾∏驇д姡詧A周上C點(diǎn)為電勢最低處，電場線方向沿過C點(diǎn)的直徑方向且指向C點(diǎn)，選項(xiàng)A、B錯誤。如果小球在A點(diǎn)垂直于電場方向發(fā)射，則小球做類平拋運(yùn)動，經(jīng)過時間t到達(dá)C點(diǎn)時有，解得，選項(xiàng)C 正確，D錯誤。

答案:C

點(diǎn)評：本題中帶電小球在與電場方向平行的光滑絕緣水平面上運(yùn)動，小球受到的合力等于靜電力。只有靜電力做功時，小球的動能與電勢能之和為一定值。當(dāng)小球的動能Ek最大（最小）時，電勢能Ep最小（最大）。

例2如圖3所示，勻強(qiáng)電場與圓心為O、半徑為R的圓面平行，∠aOb=60°。在圓周上a點(diǎn)有一粒子源，能以相同的速率向圓面內(nèi)各個方向發(fā)射質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的粒子，粒子的初動能為Ek。有些粒子會經(jīng)過圓周上不同的點(diǎn)。已知粒子經(jīng)過圓周上b點(diǎn)時的動能為3Ek，粒子經(jīng)過圓周時的最大動能為4Ek。不計粒子重力及粒子間的相互作用，下列說法中可能正確的是( )。

圖3

C.電場方向從a點(diǎn)指向b點(diǎn)

D.粒子在圓周上a點(diǎn)時的動能最小

解析:設(shè)勻強(qiáng)電場方向與ab連線成θ角，過O點(diǎn)作一條與電場方向平行的直線與圓交于c、d兩點(diǎn)，如圖4所示，則粒子經(jīng)過圓周上d點(diǎn)時的動能最大。粒子從a點(diǎn)運(yùn)動到b點(diǎn)的過程中，根據(jù)動能定理得qERcosθ=3Ek-Ek;粒子從a點(diǎn)運(yùn)動到d點(diǎn)的過程中，根據(jù)動能定理得。聯(lián)立以上二式解得sinθ=0 或。當(dāng)sinθ=0，即θ=0°時，電場方向從a點(diǎn)指向b點(diǎn)，電場強(qiáng)度大小，選項(xiàng)A、C正確;當(dāng)時，電場強(qiáng)度大小，選項(xiàng)B 正確;無論sinθ=0 或，a點(diǎn)均不是圓周上電勢最高的點(diǎn)，粒子在圓周上a點(diǎn)時的動能不是最小值，選項(xiàng)D 錯誤。

圖4

答案:ABC

點(diǎn)評：本題給出粒子的初動能及粒子到達(dá)圓周上另兩點(diǎn)的動能，根據(jù)動能定理可求出粒子從初始位置分別運(yùn)動到圓周上這兩點(diǎn)過程中靜電力做的功；結(jié)合幾何知識可判斷靜電力的方向，根據(jù)粒子的電性可判斷電場的方向，根據(jù)電場方向可判斷圓周上電勢的最值點(diǎn)，進(jìn)而可判斷粒子在圓周上電勢能與動能的最值點(diǎn)。

2.粒子受到的合力等于靜電力與重力的矢量和。

例3如圖5所示，AB、CD分別為豎直平面內(nèi)圓的水平與豎直直徑，范圍足夠大的勻強(qiáng)電場與該圓面平行，電場強(qiáng)度，將質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))從D點(diǎn)分別以相同的速率沿圓面向各個方向拋出，已知小球經(jīng)過圓周上B點(diǎn)時的動能最大。不計空氣阻力，重力加速度為g，則下列說法中正確的是( )。

圖5

A.電場的方向從A點(diǎn)指向B點(diǎn)

B.小球運(yùn)動過程中的加速度大小為g

C.圓周上B點(diǎn)的電勢最低

D.小球經(jīng)過C點(diǎn)時的速度與其初速度大小相等

解析:小球受到的靜電力大小F=qE=2mg。小球從D點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)的過程中合力做功最大，可知小球受到的合力F合的方向與過B點(diǎn)圓的切線垂直，即F合的方向水平向右。如圖6 所示，根據(jù)矢量的合成法則可知，小球受到的靜電力F的方向與水平方向間的夾角θ滿足，即θ=30°;小球帶正電，可知電場方向與直徑AB成30°角斜向右上方，選項(xiàng)A 錯誤。小球受到的合力大小，小球的加速度大小，選項(xiàng)B 錯誤。作過圓心的電場線交B、C兩點(diǎn)間的圓周于P點(diǎn)，P點(diǎn)是圓周上電勢最低的點(diǎn)，選項(xiàng)C 錯誤。小球從D點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)合力做功為零，動能不變，則小球經(jīng)過C點(diǎn)時的速度大小與其初速度大小相等，選項(xiàng)D 正確。

圖6

答案:D

點(diǎn)評：本題中帶電小球在與電場方向平行的豎直平面內(nèi)運(yùn)動，小球受到的合力等于重力與靜電力的矢量和（恒定）。小球經(jīng)過圓周上B點(diǎn)時的動能最大，說明合力做的功最大，從而可判斷出合力的方向，根據(jù)矢量合成法則可判斷出靜電力的方向，結(jié)合帶電小球的電性可判斷出電場的方向，根據(jù)電場方向可判斷圓周上各點(diǎn)電勢的高低情況。

例4如圖7所示，在與勻強(qiáng)電場方向平行的豎直平面內(nèi)有一半徑為R的圓，圓心為O，AD、CF分別為圓的水平與豎直直徑。在圓周上B點(diǎn)有一粒子源，能沿圓面向各個方向射出初速率均為v0，質(zhì)量為m的同種帶電微粒，已知從D點(diǎn)離開圓周的微粒具有最大的機(jī)械能，從E點(diǎn)離開圓周的微粒具有最大的動能?！螦OB=∠EOF=30°，重力加速度為g，取過F點(diǎn)的水平面為重力勢能的零勢能面，不計空氣阻力及微粒間的相互作用，下列說法中正確的是( )。

圖7

A.電場的方向一定沿OD方向

B.通過E點(diǎn)的微粒的動能為

C.微粒在圓周上動能最小的點(diǎn)在B、C兩點(diǎn)之間

D.微粒通過圓周上A點(diǎn)時的動能一定小于

解析:微粒通過圓周上D點(diǎn)時的機(jī)械能最大，說明微粒從B點(diǎn)運(yùn)動到D點(diǎn)的過程中靜電力做功最多，因此過D點(diǎn)圓的切線為等勢線，微粒在D點(diǎn)受到的靜電力沿OD方向，但不知微粒的電性，故不能確定電場的方向，選項(xiàng)A 錯誤。微粒通過圓周上E點(diǎn)時的動能最大，說明微粒從B點(diǎn)運(yùn)動到E點(diǎn)的過程中合力做功最多，因此微粒受到的重力與靜電力的合力沿OE方向，根據(jù)矢量合成法則得，根據(jù)能量守恒定律得，解得，選項(xiàng)B 正確。延長EO與圓交于B、C兩點(diǎn)間某點(diǎn)，微粒通過此點(diǎn)時合力做的負(fù)功最多，微粒的動能最小，選項(xiàng)C正確。微粒從B點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)的過程中合力做正功，故微粒通過A點(diǎn)時的動能一定大于，選項(xiàng)D 錯誤。

答案:BC

點(diǎn)評：機(jī)械能的增量等于除重力之外其他力做的功，本題中除重力之外的其他力就是靜電力。根據(jù)微粒經(jīng)過圓周上D點(diǎn)時的機(jī)械能最大可知，微粒從B點(diǎn)運(yùn)動到D點(diǎn)的過程中靜電力做功最多，過D點(diǎn)圓的切線為勻強(qiáng)電場中的一條等勢線，進(jìn)而判斷出微粒受到的靜電力方向；根據(jù)微粒經(jīng)過圓周上E點(diǎn)時的動能最大可知，微粒受到的合力方向與過E點(diǎn)圓的切線垂直。

總之，帶電粒子在勻強(qiáng)電場中做直線運(yùn)動或類拋體曲線運(yùn)動，根據(jù)粒子經(jīng)過圓周上某點(diǎn)的動能或機(jī)械能或電勢能取最值，可判斷靜電力或合力與圓周上該點(diǎn)的切線垂直，再充分利用圓周的幾何性質(zhì)，并結(jié)合功能關(guān)系、力與運(yùn)動的關(guān)系、矢量的合成法則、電場線與電勢的關(guān)系、勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)與電勢差的關(guān)系等，即可順利完成對相關(guān)問題的分析與判斷。

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖8所示，圓心為O，半徑為R的圓形光滑絕緣水平軌道處在與軌道平面平行的勻強(qiáng)電場中，已知A、O兩點(diǎn)間的電勢差U＞0。一帶正電的小球套在軌道上沿軌道運(yùn)動，小球經(jīng)過A、B兩點(diǎn)時的速率均為v0，∠AOB= 120°。下列說法中正確的是( )。

圖8

A.小球從A點(diǎn)到B點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動

B.小球從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)的過程中，動能先增大后減小

D.圓周上電勢最高的點(diǎn)與O點(diǎn)的電勢差為2U

2.如圖9所示，在豎直平面內(nèi)存在水平向右的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度E=1×104N/C。在勻強(qiáng)電場中有一根長l=2 m 的絕緣細(xì)線，一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量m=0.08 kg的帶電小球，小球靜止時懸線與豎直方向成α=37°角。若小球獲得一定初速度后恰能繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，取小球靜止時的位置為零電勢能點(diǎn)和零重力勢能點(diǎn)，重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6。下列說法中正確的是( )。

圖9

A.小球的電荷量q=6×10-5C

B.小球經(jīng)過c點(diǎn)時的動能最小，且為1 J

C.小球經(jīng)過b點(diǎn)時的機(jī)械能最小

D.小球在運(yùn)動過程中的電勢能和機(jī)械能之和保持不變，且為5 J

參考答案:1.CD 2.AD