高中，是學(xué)生人生中至關(guān)重要的時(shí)期，也是學(xué)生為高考做準(zhǔn)備的關(guān)鍵三年。在這個(gè)階段，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅要掌握知識(shí)點(diǎn)，更要培養(yǎng)思維習(xí)慣和解決問(wèn)題的能力。我們一直在探索如何更有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。以下是我在多年工作中總結(jié)的一些經(jīng)驗(yàn)，在此與同行分享。

一、數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的核心要點(diǎn)

數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，不同于單純的知識(shí)傳授，更注重對(duì)學(xué)生思考能力、邏輯推理能力的培養(yǎng)。其核心要點(diǎn)包括以下幾個(gè)方面。

深度理解而非機(jī)械記憶：數(shù)學(xué)不是簡(jiǎn)單地記住公式和定理，而是深入理解其背后的邏輯。每一公式、每一定理都有其歷史背景和發(fā)展過(guò)程，理解這些背景和過(guò)程可以幫助學(xué)生更好地掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)。

邏輯推理：數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于邏輯，學(xué)生應(yīng)該學(xué)會(huì)如何從已知條件出發(fā)，通過(guò)一系列邏輯推理得出結(jié)論。這不僅是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵，更是一種訓(xùn)練學(xué)生邏輯思考和批判性思維的方法。

發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與解決問(wèn)題：數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練不僅是解決給定問(wèn)題，更重要的是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)探索，自己提出問(wèn)題并嘗試解決，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和獨(dú)立思考能力。

數(shù)形結(jié)合：視覺(jué)是人類(lèi)最主要的感知方式。數(shù)學(xué)中的許多概念都可以通過(guò)圖形、圖像來(lái)直觀地表達(dá)和理解。教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中嘗試將抽象的數(shù)學(xué)概念與具體的圖形結(jié)合，增強(qiáng)其直觀性。

實(shí)際應(yīng)用：數(shù)學(xué)不是脫離實(shí)際的純理論學(xué)科，其在各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。學(xué)生應(yīng)該了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用，這樣可以加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，也可以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

練習(xí)與反饋：數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)需要大量的實(shí)踐。學(xué)生應(yīng)該進(jìn)行大量練習(xí)，不斷鞏固和應(yīng)用所學(xué)知識(shí)。同時(shí)，及時(shí)反饋是提升學(xué)習(xí)效果的關(guān)鍵，教師應(yīng)該及時(shí)指導(dǎo)學(xué)生，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并改正錯(cuò)誤。

數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的核心在于培養(yǎng)學(xué)生的深度理解、邏輯推理、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，并在實(shí)踐中不斷鞏固和提高。

二、高考答題技巧

（一）選擇題答題技巧

高考選擇題部分對(duì)答題速度和答題技巧都有較高要求。以下答題技巧旨在提高學(xué)生的答題效率和準(zhǔn)確率。

代入法：這是最直觀的方法。當(dāng)面對(duì)具有多個(gè)選擇的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可以將每個(gè)選項(xiàng)代入題目中的公式或條件，看哪個(gè)選項(xiàng)能使條件成立，從而迅速找出正確答案。

特值法：這種方法對(duì)于需要求解方程、不等式或數(shù)列的選擇題尤為有效。學(xué)生可以取某個(gè)特定值，如簡(jiǎn)單的數(shù)字或已知條件，然后將其代入問(wèn)題，迅速驗(yàn)證或排除某些選項(xiàng)。

排除法：有時(shí)，一些選項(xiàng)明顯是錯(cuò)誤的，或與題目條件不符。學(xué)生可以首先排除這些選項(xiàng)，然后在剩余的選項(xiàng)中選擇正確答案，這樣能夠節(jié)省答題時(shí)間。

（二）填空題答題技巧

填空題，作為高考數(shù)學(xué)試卷中的一部分，具有其獨(dú)特的考查特點(diǎn)。這部分試題注重學(xué)生對(duì)基本概念和事實(shí)的掌握，同時(shí)也測(cè)試其應(yīng)用能力和準(zhǔn)確性。以下是幾種針對(duì)填空題的答題技巧。

按順序填寫(xiě)：有些填空題中存在多個(gè)空，學(xué)生應(yīng)按照題目給定的順序進(jìn)行填寫(xiě)。通常，前面的空所需填寫(xiě)的內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，而且可能為后續(xù)的空提供線(xiàn)索或答案。

利用特殊情況：“以偏概全”是一種答題方法，即在某些特殊情況下得出結(jié)論，然后推廣到一般情況。由于填空題只需提供答案，而不需要展示詳細(xì)的解題過(guò)程，所以這種方法在某些場(chǎng)合下特別有效。

（三）解答題答題技巧

解答題，作為高考數(shù)學(xué)試卷中的重要部分，旨在測(cè)試學(xué)生深入理解、分析和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。它所占的分?jǐn)?shù)比重較大，因此答題時(shí)的技巧顯得尤為關(guān)鍵。以下是幾種針對(duì)解答題的答題方法。

審題至關(guān)重要：首先，深入讀題，確保充分理解題目所給的條件和要求。這有助于正確選擇解題策略，避免走彎路。

解答過(guò)程的條理性：學(xué)生需要確保解題過(guò)程的邏輯性、連貫性和完整性。每一步驟都應(yīng)清晰展示，關(guān)鍵的推導(dǎo)和結(jié)論都必須明確標(biāo)出。特別是在涉及分類(lèi)討論或證明的題目中，結(jié)論的歸納和實(shí)際問(wèn)題的“翻譯”都尤為關(guān)鍵。

三、高中數(shù)學(xué)思維在高考答題技巧中的運(yùn)用

（一）將邏輯思維應(yīng)用于答題技巧中

教師以“2021年濰坊三模1”和“2021年濱州二模1”中的試題為學(xué)生講解答題技巧。

首先，教師指出，在處理集合類(lèi)問(wèn)題時(shí)，邏輯思維和清晰的推導(dǎo)過(guò)程是答題的關(guān)鍵。

以“2021年濰坊三模1”為例，全集U包括1，2，3，4，5，而集合A和B分別是1，2和3，4。教師提醒學(xué)生，對(duì)于集合的問(wèn)題，一定要明確每個(gè)集合的元素，并理解集合間的基本運(yùn)算。在這個(gè)題目中（如圖1），要求找到集合5的表達(dá)方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)首先確認(rèn)A和B的并集A∪B=1，2，3，4。隨后，根據(jù)并集的結(jié)果，可以得出補(bǔ)集ｃu（A∪B）為5，因此，正確答案為A選項(xiàng)。

其次，教師再次拿出“2021年濱州二模1”的試題。在這一題中，學(xué)生需要根據(jù)圖中的陰影部分確定集合的元素（如圖2）。通過(guò)分析B集合的定義，學(xué)生可以確認(rèn)B=2，3。接著，學(xué)生要結(jié)合圖形來(lái)判斷哪些元素包含在A或B中，但并不在A和B的交集里。通過(guò)這樣的邏輯分析，學(xué)生可以得出，陰影部分所表示的集合為-2，0，從而明確D選項(xiàng)為正確答案。

最后，教師總結(jié)，不論是哪種類(lèi)型的集合題，都需要運(yùn)用邏輯思維進(jìn)行推導(dǎo)和分析。清晰的思路和正確的答題技巧，可以幫助學(xué)生更好地理解和解答這類(lèi)問(wèn)題。

（二）數(shù)形結(jié)合思想在答題中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)學(xué)與幾何形狀相結(jié)合，通過(guò)形象直觀的方式來(lái)理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。這種思維方式特別適用于解決幾何題目，因?yàn)樗軒椭鷮W(xué)生從圖形中發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從而更加快速和準(zhǔn)確地求解。

教師以“2023年哈爾濱市名校高三學(xué)年模擬試卷”中的試題為例，向?qū)W生展示如何利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決三棱柱的相關(guān)問(wèn)題。首先，教師指出，要解決這類(lèi)題目，學(xué)生首先需要對(duì)圖形有深入的了解。通過(guò)對(duì)圖形的分析可以發(fā)現(xiàn)，三棱柱的三個(gè)側(cè)面中，BCC1B1為菱形（如圖3），這為后續(xù)的證明和求解提供了很大的便利。

對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，學(xué)生需要證明平面ABC1垂直于平面AB1C。教師提醒學(xué)生，要完成這個(gè)證明，可以從菱形BCC1B1的性質(zhì)入手，由于菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等，結(jié)合已知條件AA1⊥A1B1和AB⊥BC，學(xué)生可以得出平面ABC1⊥平面AB1C的結(jié)論。

接下來(lái)，針對(duì)第二個(gè)問(wèn)題，教師指出，這是一個(gè)涉及三棱柱內(nèi)部角的計(jì)算問(wèn)題。學(xué)生首先需要利用已知條件BC=2AB=2，結(jié)合菱形BCC1B1的性質(zhì)，可以計(jì)算出AC1的長(zhǎng)度。隨后，利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，結(jié)合已知∠B1BC=60°，學(xué)生可以計(jì)算出二面角B1-AC1-B的正弦值。

最后，教師總結(jié)，要解決這類(lèi)三棱柱的問(wèn)題，學(xué)生需要深入理解圖形的性質(zhì)，并巧妙地將數(shù)學(xué)知識(shí)與幾何形狀結(jié)合起來(lái)。通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思維方式，學(xué)生可以更加輕松地找到解題的切入點(diǎn)和方法。

（三）利用分類(lèi)討論思維解決問(wèn)題

分類(lèi)討論思維是在面對(duì)問(wèn)題的多種可能性時(shí)，將其分為幾個(gè)類(lèi)別或情況來(lái)分別進(jìn)行討論的方法。這種思維方式可以幫助學(xué)生系統(tǒng)地、有條理地解決問(wèn)題，避免遺漏重要的情況或條件，從而達(dá)到準(zhǔn)確求解的目的。

教師以二次函數(shù)試題為例，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)如何運(yùn)用分類(lèi)討論的思維方法來(lái)解題。題目描述：已知二次函數(shù)f（x）的解為兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，但具體的解析式未知，試求函數(shù)f（x）的取值范圍。

教師提醒學(xué)生，需要考慮二次函數(shù)的判別式D的情況，以下提取三種可能的情況來(lái)進(jìn)行討論。

在判別式D>0的情況下，教師要讓學(xué)生明白這意味著函數(shù)有兩個(gè)不同的實(shí)根，函數(shù)的圖像會(huì)與x軸相交于兩點(diǎn)，因此函數(shù)值會(huì)涵蓋一整個(gè)區(qū)間。

然后轉(zhuǎn)到判別式D=0的情況，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)相同的實(shí)根，函數(shù)的圖像與x軸僅在一個(gè)點(diǎn)相交，這意味著函數(shù)的最大值或最小值在這一點(diǎn)取得。

教師再引導(dǎo)學(xué)生討論判別式D<0的情況，明確這意味著函數(shù)沒(méi)有實(shí)根，函數(shù)的圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，從而確定函數(shù)的取值范圍。

通過(guò)這樣的分類(lèi)討論，學(xué)生可以清晰地理解在不同的情況下，函數(shù)的取值范圍如何變化。

（四）轉(zhuǎn)化與化歸思維的答題應(yīng)用

轉(zhuǎn)化與化歸思維是指將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題或不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)已知的或相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題進(jìn)行求解，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。

教師以復(fù)數(shù)試題為例，展示了如何運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的思維來(lái)解答問(wèn)題。題目是：已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z-1|=|z+1|，求z的取值范圍。

教師詢(xún)問(wèn)：“面對(duì)這樣的復(fù)數(shù)問(wèn)題，我們首選的策略是什么？”學(xué)生回答：“我們通常希望將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式或公式?！?/p>

教師點(diǎn)頭表示贊同：“沒(méi)錯(cuò)，這樣的轉(zhuǎn)化可以使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。你們是否注意到這個(gè)問(wèn)題與平面上的哪個(gè)幾何知識(shí)點(diǎn)有關(guān)？”學(xué)生思考片刻后回答：“這個(gè)等式好像描述了平面上的點(diǎn)與兩個(gè)固定點(diǎn)之間的距離相等?！?/p>

教師笑了笑：“非常好！這實(shí)際上是描述了一個(gè)什么幾何圖形？”學(xué)生答：“這是一個(gè)平分線(xiàn)！”

教師繼續(xù)：“對(duì)，所以我們可以把這個(gè)復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題?，F(xiàn)在，假設(shè)z在復(fù)平面上代表點(diǎn)P，那么|z-1|和|z+1|分別表示P點(diǎn)到哪兩個(gè)點(diǎn)的距離相等呢？”學(xué)生答：“這表示P點(diǎn)到點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-1，0）的距離相等?！?/p>

教師總結(jié)：“對(duì)，所以P點(diǎn)必定在AB的平分線(xiàn)上。這樣，我們就成功地將一個(gè)關(guān)于復(fù)數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題，并迅速找到了答案。”

這一教學(xué)實(shí)例清晰地展示了如何將轉(zhuǎn)化與化歸思維應(yīng)用于答題中，使得看似復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易解。

編輯：曾彥慧

作者簡(jiǎn)介：吳冬霞（1983—），女，漢族，山東聊城人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。