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        一類2+1維群體平衡方程的尺度變換群分析及自相似解

        2024-01-26 06:31:26林府標(biāo)張千宏
        關(guān)鍵詞:李群生成元約化

        林府標(biāo),王 騫,張千宏

        (1.貴州財經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,貴州 貴陽 550025;2.貴州師范大學(xué)附屬中學(xué),貴州 貴陽 550001)

        0 引言

        群體平衡方程[1-4]廣泛用于固體物的破損過程、細(xì)胞種群的生長過程、聚合過程、 結(jié)晶和沉淀過程、基因調(diào)控過程、分散相系統(tǒng)、環(huán)境和工程學(xué)、農(nóng)業(yè)工程學(xué)、生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)、血液學(xué)、制藥工程學(xué)、生物化學(xué)、分子生物學(xué)、形態(tài)結(jié)晶學(xué)、細(xì)胞生物學(xué)等.

        群體平衡模型在實(shí)體應(yīng)用領(lǐng)域,關(guān)鍵是缺乏精確求解的技術(shù)和理論,而偏微分方程目前已提出多種解析研究途徑[5-6],因此,研究方法常采用數(shù)值離散方案,如矩方法、蒙特卡羅方法等[1-4].既有聚合又有破損過程的群體平衡方程[1-2]可寫成

        (1)

        式中:x為微粒的尺寸坐標(biāo);t為時間;f(x,t)刻畫t時刻種群密度分布;v(x,t)描述尺寸為x的微粒在t時刻破損的平均數(shù)量;b(x,t)刻畫微粒在t時刻破損的頻率,代表單位時間內(nèi)正在破損的部分;p(x|y)刻畫尺寸為y、破損尺寸為x的微粒的粒度分布,滿足

        其值由實(shí)驗(yàn)觀測或破損過程的實(shí)體模型決定.聚合核K(x,y)刻畫尺寸為x和y的微粒對聚合的頻率,滿足

        K(x,y)=K(y,x)≥0.

        γ次齊次核[1-2]

        K(λx,λy)=λγK(x,y),

        (2)

        廣泛應(yīng)用于實(shí)體科學(xué)工程領(lǐng)域,其中,γ,λ均為常數(shù),γ是齊次的度.如數(shù)學(xué)上易處理的齊次核[1-4]為

        (3)

        式中,ki(i=0,…,4)為正常數(shù).選取v(x,t)、p(x|y)和b(x,t)分別為

        (4)

        式中,ν,κ,p均為常數(shù),κ>0,p≥0.若令y=xs,用式(2)可得

        (5)

        因此,用式(4)和式(5),方程(1)可寫成

        (6)

        方程(6)的解析解法和精確解既重要又缺乏,經(jīng)典李群方法[7-9]不能用于研究方程(6),需用改進(jìn)的李群理論[10-11],但此方法最大困難和障礙是求解決定方程[12-14].受前人的工作[10-11]和文獻(xiàn)[12-14]的啟發(fā),該文用尺度變換群方法研究方程(6)的群不變量、自相似解、精確解、約化方程.

        1 尺度變換群

        假設(shè)方程(6)接受的尺度變換群為

        (7)

        其中,a,λ1,λ2,μ均為常數(shù),式(7)對應(yīng)的無窮小李對稱算子為

        (8)

        依據(jù)式(7)的假設(shè),變換群式(7)將方程(6)的任一解f=f(x,t)變成同一方程

        (9)

        的解.因此,將式(7)代入方程(9),由式(2),得到

        (10)

        注意f=f(x,t)是方程(6)的任一解,由方程(10)推出

        λ2=-λ1p,μ=(p-γ-1)λ1.

        (11)

        類似于式(7),可以驗(yàn)證方程(6)接受平移變換群

        (12)

        定理1方程(6)的不變?nèi)旱牟糠稚稍?,?gòu)成一個2維的子李代數(shù)L2=span{X1,X2},并有下列一組基

        (13)

        定理2設(shè)用改進(jìn)的李群分析法,獲得方程(6)的不變?nèi)旱娜w生成元,構(gòu)成的李代數(shù)為L,則有L2?L.

        2 自相似解

        2.1 情形K(x,y)=k0

        針對K(x,y)=k0,用式(2),得到γ=0.算子X1,p≥0對應(yīng)的群不變量為J1=x,J2=f.因此,方程(6)的解可以寫成

        f(x,t)=φ(x),

        其中,φ(x)滿足約化方程

        其中,φ(z)滿足約化方程

        可以驗(yàn)證

        是方程(14)的解.因此,方程(6)的精確解為

        f(x,t)=exp(-α(t+τ0))φ(z),z=xexp(-α(t+τ0)),

        其中,φ(z)滿足約化方程

        (15)

        可以驗(yàn)證

        是方程(15)的解.因此,方程(6)的精確解為

        2.2 情形K(x,y)=k1(x+y)

        針對K(x,y)=k1(x+y),用式(2),得γ=1.算子X1,p≥0對應(yīng)的群不變量為J1=x,J2=f.因此,方程(6)的解可以寫成

        f(x,t)=φ(x),

        其中,φ(x)滿足約化方程

        其中φ(z)滿足約化方程

        f(x,t)=exp(-2α(t+τ0))φ(z),z=xexp(-α(t+τ0)),

        其中φ(z)滿足約化方程

        2.3 情形K(x,y)=k2xy

        針對K(x,y)=k2xy,由式(2),可知γ=2.算子X1,p≥0對應(yīng)的群不變量為J1=x,J2=f.因此,方程(6)的解可以寫成

        f(x,t)=φ(x),

        其中,φ(x)滿足約化方程

        其中,φ(z)滿足約化方程

        (16)

        可以驗(yàn)證

        是方程(16)的解.因此,方程(6)的精確解為

        f(x,t)=exp(-3α(t+τ0))φ(z),z=xexp(-α(t+τ0)),

        其中,φ(z)滿足約化方程

        f(x,t)=φ(x),

        其中,φ(x)滿足約化方程

        其中,φ(z)滿足約化方程

        f(x,t)=φ(z),z=xexp(-α(t+τ0)),

        其中,φ(z)滿足約化方程

        f(x,t)=φ(x),

        其中,φ(x)滿足約化方程

        其中,φ(z)滿足約化方程

        f(x,t)=exp(α(t+τ0))φ(z),z=xexp(-α(t+τ0)),

        其中,φ(z)滿足約化方程

        3 結(jié)論

        尺度變換群方法不但可以用于方程(6),而且獲得了自相似解、精確解及約化方程.用此方法研究一個新的群體平衡方程,不需要很棘手地求解決定方程.若L=L2成立,則本文所有結(jié)果均為完全的,否則僅為非完全的.能否直接用改進(jìn)的李群技術(shù)[11-14]研究方程(6)的全體生成元,判斷L=L2正確與否,值得在今后的研究中思考.

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