池宇希 楊昊天 潘 兵

(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，強(qiáng)度與結(jié)構(gòu)完整性全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191)

數(shù)字圖像相關(guān)方法（digital image correlation,DIC）通過(guò)跟蹤變形前后被測(cè)物體表面數(shù)字圖像中的信息載體（如人工散斑、自然紋理等）的位置變化來(lái)獲得其表面的全場(chǎng)變形[1-2]。由于具有硬件設(shè)備和測(cè)量過(guò)程簡(jiǎn)單、測(cè)量精度高、適用測(cè)量范圍廣等優(yōu)點(diǎn)，這種基于數(shù)字圖像的非接觸式、全場(chǎng)光測(cè)力學(xué)方法已成為實(shí)驗(yàn)力學(xué)領(lǐng)域中最受歡迎的主流變形測(cè)試技術(shù)。然而在實(shí)際工程應(yīng)用中，當(dāng)被測(cè)物體發(fā)生大變形[3]，或應(yīng)用于高溫環(huán)境時(shí)，劇烈的光照及散斑變化[4-7]導(dǎo)致被測(cè)物表面信息變化較大，變形后圖像會(huì)出現(xiàn)所謂的“退相關(guān)效應(yīng)（decorrelation effect）”。此時(shí)，采用固定參考圖像的傳統(tǒng)DIC（即序列DIC，下同）計(jì)算策略往往會(huì)失效。為了解決DIC 在上述場(chǎng)景中的應(yīng)用問(wèn)題，研究人員發(fā)展了增量計(jì)算策略[3,5,8-9]，即增量DIC 方法。通過(guò)更新參考圖像，增量DIC方法提高了當(dāng)前參考圖像與變形圖像之間的相關(guān)性，使DIC 計(jì)算能夠順利進(jìn)行。在更新參考圖像后，通過(guò)將各個(gè)階段的位移場(chǎng)累加以得到相對(duì)于初始參考圖像的位移場(chǎng)，避免了固定初始參考圖像時(shí)因“退相關(guān)效應(yīng)”導(dǎo)致的計(jì)算失效的問(wèn)題。

除了在上述易發(fā)生圖像退相關(guān)的應(yīng)用場(chǎng)景外，增量計(jì)算策略在其他DIC 領(lǐng)域還有廣泛應(yīng)用。例如，在3D–DIC 中，左右相機(jī)分別采集了一組序列圖像，為了將左右相機(jī)的計(jì)算點(diǎn)關(guān)聯(lián)起來(lái)，需要在當(dāng)前幀中進(jìn)行左右匹配[9]，并通過(guò)左相機(jī)進(jìn)行時(shí)序匹配；或通過(guò)初始參考幀進(jìn)行左右匹配，并以左右視圖各自的初始幀為參考圖像進(jìn)行時(shí)序匹配[10]，這些過(guò)程均會(huì)發(fā)生參考圖的更新。再如，在多相機(jī)DIC 中，相鄰相機(jī)之間兩兩匹配時(shí)，其參考圖像也各不相同，為了在多個(gè)視角中確定同一個(gè)計(jì)算點(diǎn)，也需要對(duì)參考圖像進(jìn)行更新。除此之外，在使用數(shù)字體圖像相關(guān)（digital volume correlation, DVC）測(cè)量?jī)?nèi)部大變形[11-13]時(shí)，增量算法也被用來(lái)匹配多個(gè)加載階段的體圖像。在這些需要更新參考圖像的場(chǎng)景中，每次更新參考圖像時(shí)，新的圖像子區(qū)中心的坐標(biāo)往往位于亞像素位置，因此需要對(duì)參考圖像子區(qū)進(jìn)行插值，會(huì)帶來(lái)一定的插值誤差。由于標(biāo)準(zhǔn)的反向組合高斯–牛頓算法中[14]，圖像梯度和Hessian 矩陣均在參考圖像中計(jì)算，這些微分操作會(huì)進(jìn)一步放大插值誤差，在更新參考圖像后，計(jì)算結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)出混疊現(xiàn)象[15-16]，故從測(cè)量精準(zhǔn)度考慮，插值操作應(yīng)當(dāng)盡量避免。

為了減小增量算法中由于對(duì)參考圖像插值帶來(lái)的插值誤差，Zhou 等[17]提出了自適應(yīng)參考圖像子區(qū)平移計(jì)算策略。在這一策略中，在更新參考圖像時(shí)，其使用距離亞像素位置計(jì)算點(diǎn)最近的整像素點(diǎn)作為新的圖像子區(qū)中心，避免了對(duì)更新參考圖像子區(qū)的灰度值的插值計(jì)算，這一增量策略也被用于DVC 中[13]。由于平移量較小，且由平移帶來(lái)的位移差可以通過(guò)形函數(shù)進(jìn)行補(bǔ)償。這一策略不僅消除了更新參考圖像時(shí)由于參考圖像插值導(dǎo)致的系統(tǒng)誤差（通過(guò)自適應(yīng)平移將其轉(zhuǎn)換成了隨機(jī)誤差），同時(shí)也減少了更新過(guò)程中由于插值帶來(lái)的額外計(jì)算量。這一策略雖然減輕了由于參考圖像插值導(dǎo)致的系統(tǒng)誤差，但由變形圖插值帶來(lái)的插值誤差仍不可避免。另外，現(xiàn)有參考圖更新的策略有：連續(xù)更新、固定步長(zhǎng)更新和條件更新（即發(fā)生圖像退相關(guān)再進(jìn)行更新）等策略。其中，連續(xù)更新由于頻繁更新參考圖會(huì)帶來(lái)額外的計(jì)算量，也會(huì)帶來(lái)額外的誤差累積，而固定步長(zhǎng)更新的步長(zhǎng)又往往難以選取。所以，在應(yīng)用增量DIC 計(jì)算時(shí)使用者會(huì)面臨兩個(gè)令人困惑的問(wèn)題：（1）更新參考圖像會(huì)不會(huì)引入額外的測(cè)量誤差，以及這一誤差的分布范圍及分布規(guī)律是怎樣的？（2）為盡量減少這一誤差和計(jì)算量，應(yīng)該采用何種策略更新參考圖像？顯然，這兩個(gè)問(wèn)題是增量DIC/DVC 算法實(shí)際使用時(shí)必需研究和討論的問(wèn)題。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文通過(guò)一組亞像素平移模擬實(shí)驗(yàn)，分析并證明了圖像子區(qū)平移策略用于亞像素平移測(cè)量時(shí)由于亞像素插值導(dǎo)致的系統(tǒng)誤差的累積效應(yīng)。并通過(guò)控制圖像子區(qū)平移的步長(zhǎng)，總結(jié)了增量算法在不同步長(zhǎng)條件下對(duì)亞像素插值誤差的累積規(guī)律。另外，通過(guò)實(shí)際實(shí)驗(yàn)，研究了DIC 在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中亞像素插值誤差的分布規(guī)律，進(jìn)一步證明了自適應(yīng)圖像子區(qū)平移增量算法在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中將系統(tǒng)誤差轉(zhuǎn)化為隨機(jī)誤差的性質(zhì)。最后，結(jié)合亞像素子區(qū)平移和經(jīng)典的高斯低通預(yù)濾波方法，極大地降低了增量算法中的累積誤差，并給出了應(yīng)用增量DIC 方法時(shí)的一些建議。

1 增量數(shù)字圖像相關(guān)方法

1.1 增量數(shù)字圖像相關(guān)計(jì)算

序列DIC 算法[14]可實(shí)現(xiàn)高效、精準(zhǔn)而魯棒的位移場(chǎng)測(cè)量，但在一些容易出現(xiàn)退相關(guān)的場(chǎng)景，序列DIC 算法容易失效，需引入增量計(jì)算策略。在條件更新策略中，增量算法在當(dāng)前圖像出現(xiàn)圖像退相關(guān)時(shí)會(huì)將當(dāng)前圖像的前一幀圖像更新為當(dāng)前參考圖像，由于DIC 匹配后，計(jì)算點(diǎn)往往處在亞像素位置，直接的做法是對(duì)當(dāng)前亞像素位置的圖像子區(qū)像素重新采樣，以獲得新的參考圖像子區(qū)的灰度信息。

為避免參考像素在亞像素位置插值，文獻(xiàn)[17]提出將圖像子區(qū)中心平移到最鄰近的整像素位置。由于計(jì)算量小、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，且可避免插值誤差，這一自適應(yīng)圖像子區(qū)平移策略在增量DIC 方法普遍采用。圖1 為自適應(yīng)圖像子區(qū)平移策略示意圖。以計(jì)算點(diǎn) (x,y) 為例，在更新參考圖像時(shí)，其在當(dāng)前參考圖中的匹配點(diǎn)位于 (xref,yref) ，如圖1 中綠色箭頭所示。在進(jìn)行圖像子區(qū)平移時(shí)，將其平移到最接近的整像素點(diǎn)，即 (round(xref), round(yref)) ，其中 round(x) 函數(shù)將x取整到最接近的整數(shù)。則當(dāng)前計(jì)算點(diǎn)在平移后圖像子區(qū)的局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo) (δx,δy) 可以表示為

圖1 自適應(yīng)圖像子區(qū)平移策略示意圖Fig.1 Schematic diagram of the adaptive subset offset strategy

若當(dāng)前參考圖像的匹配點(diǎn) (xref,yref) 相對(duì)初始參考子區(qū)的累積位移為 (uref,vref) 。更新參考圖像后，當(dāng)前幀的計(jì)算結(jié)果為相對(duì)當(dāng)前參考圖像的結(jié)果，其匹配點(diǎn)位于 (xcurr,ycurr) ，如圖1 中紅色箭頭所示。其相對(duì)當(dāng)前參考子區(qū)的位移參數(shù)為{ucurr,vcurr,ux,vx,uy,vy}。另外，還需要結(jié)合形函數(shù)，得到平移子區(qū)的位移補(bǔ)償量，如圖1 中藍(lán)色箭頭部分所示。故在自適應(yīng)圖像子區(qū)平移策略中，當(dāng)前幀的計(jì)算點(diǎn)相對(duì)初始參考圖像的位移將由3 個(gè)部分構(gòu)成。即當(dāng)前參考圖像的累積位移，當(dāng)前幀相對(duì)當(dāng)前參考圖像的位移，以及圖像子區(qū)平移的補(bǔ)償位移。當(dāng)前計(jì)算點(diǎn)相對(duì)初始參考圖像的位移可由下式給出

1.2 增量DIC 計(jì)算中的參考圖像更新策略

增量DIC 計(jì)算中更新參考圖像的策略可以歸納為兩類(lèi)，即定步長(zhǎng)更新策略和條件增量策略。其中，經(jīng)典的連續(xù)更新策略可以視作步長(zhǎng)為1 的定步長(zhǎng)更新策略。如圖2 所示，定步長(zhǎng)增量策略在經(jīng)過(guò)給定次數(shù)的計(jì)算后，即將當(dāng)前變形圖作為下一次相關(guān)計(jì)算的參考圖像。而條件增量策略一直使用當(dāng)前參考圖進(jìn)行計(jì)算，僅在后續(xù)計(jì)算中出現(xiàn)“退相關(guān)效應(yīng)”時(shí)，將參考圖像更新為上一幀圖像。如果相鄰的參考圖之間相關(guān)系數(shù)較高，這些增量更新策略都能保證DIC 計(jì)算的順利進(jìn)行。

圖2 增量DIC 方法中的定步長(zhǎng)增量與條件增量策略示意圖Fig.2 Schematic diagram of the fixed-step and the conditional strategies in incremental DIC

在增量DIC 的實(shí)際使用中，當(dāng)圖像變化較為平緩時(shí)，各圖之間的相關(guān)系數(shù)較高，應(yīng)該選取較大的增量步長(zhǎng)。而當(dāng)圖像變化較快時(shí)，相關(guān)系數(shù)下降較快，則應(yīng)選取較小的增量步長(zhǎng)。故定步長(zhǎng)的增量方法難以適應(yīng)復(fù)雜多變的實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景。而對(duì)于條件增量策略，為了確定更新參考圖的時(shí)機(jī)，需要使用一定的判據(jù)。為此，Pan 等[3]選擇使用計(jì)算區(qū)域中某個(gè)種子點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)作為判據(jù)，當(dāng)種子點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)小于給定的閾值時(shí)，即可視為圖像發(fā)生“退相關(guān)效應(yīng)”，需使用上一幀圖像作為新的參考圖像進(jìn)行后續(xù)計(jì)算。這一條件增量策略可以自適應(yīng)圖像的變化，并盡可能地減少更新次數(shù)，僅在需要的時(shí)候進(jìn)行更新。由于更新參考圖后需要對(duì)新的參考圖的各個(gè)計(jì)算點(diǎn)重新預(yù)計(jì)算灰度梯度、Hessian 矩陣等，會(huì)帶來(lái)額外的計(jì)算量，而各階段的匹配誤差在更新中也會(huì)不斷累積，故在實(shí)際應(yīng)用中，為了更好地使用增量DIC 方法，本文將通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證來(lái)回答前文提出的兩個(gè)問(wèn)題，即：（1）更新參考圖會(huì)不會(huì)帶來(lái)額外的誤差，以及這一誤差的分布范圍和分布規(guī)律是怎樣的；（2）為了減少這一誤差和計(jì)算量，應(yīng)該采用何種策略更新參考圖像。

2 實(shí)驗(yàn)與分析

2.1 模擬平移實(shí)驗(yàn)

在模擬平移實(shí)驗(yàn)中，本文選取了DIC challenge[18]中Sample 5 的參考圖像作為基準(zhǔn)，并使用快速傅里葉變換方法以0.1 像素為步長(zhǎng)平移了20 步，共平移了2 個(gè)像素。通過(guò)一組模擬平移實(shí)驗(yàn)來(lái)評(píng)估增量算法在不同亞像素處進(jìn)行更新參考圖像帶來(lái)的誤差的累積規(guī)律與分布特性。

對(duì)于定步長(zhǎng)增量策略，本文設(shè)計(jì)了如下的對(duì)比實(shí)驗(yàn)。其中使用傳統(tǒng)序列DIC 的對(duì)照組，始終以初始參考圖像為參考進(jìn)行DIC 匹配。而使用增量DIC 的測(cè)試組，則以特定的步長(zhǎng)進(jìn)行更新參考圖像。同時(shí)，選取了不同的計(jì)算步長(zhǎng)（1～9 像素）以研究更新步長(zhǎng)的影響。其中，在每組實(shí)驗(yàn)中均采用相同的計(jì)算點(diǎn)和計(jì)算參數(shù)。參考圖像大小為512×512 像素，計(jì)算區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)460 像素的正方形區(qū)域，區(qū)域左上角像素坐標(biāo)為 (30, 30)。以10像素為步長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算點(diǎn)采樣，共有2209 個(gè)計(jì)算點(diǎn)。由于不同的插值方法會(huì)導(dǎo)致不同水平的插值誤差，實(shí)驗(yàn)統(tǒng)一采用雙三次B 樣條插值作為圖像灰度插值方式。

使用不同的計(jì)算方案完成計(jì)算后，統(tǒng)計(jì)了圖像中各計(jì)算點(diǎn)的平均位移，并與真實(shí)位移做差，得到了各組實(shí)驗(yàn)的平均誤差。將各組平移實(shí)驗(yàn)的平均誤差繪制如圖3 所示，其中橫軸為亞像素平移量，縱軸為各組實(shí)驗(yàn)的平均誤差。Seq 表示使用序列DIC 方法，當(dāng)前圖像相對(duì)初始參考圖像的亞像素位移分布，而Inc 表示使用增量DIC 方法時(shí)，當(dāng)前圖像相對(duì)上一張參考圖像的亞像素位移分布。圖中黑色粗線(xiàn)為標(biāo)準(zhǔn)序列DIC 方法的誤差計(jì)算結(jié)果，可以看到，序列DIC 方法的平均誤差呈現(xiàn)出類(lèi)似正弦函數(shù)的波動(dòng)，這與已有DIC 插值誤差的認(rèn)識(shí)一致。而其余各組使用不同增量步長(zhǎng)計(jì)算方案的結(jié)果均表現(xiàn)出對(duì)這一插值誤差的累積現(xiàn)象，即每次更新參考圖后，該參考圖的插值誤差會(huì)被累積到后續(xù)計(jì)算中，而最后的總誤差即為各階段的誤差之和。這一結(jié)論是符合直覺(jué)的，增量算法不僅累積了位移，也同時(shí)累積了各個(gè)階段的插值誤差。這進(jìn)一步說(shuō)明了在使用增量DIC 算法時(shí)，應(yīng)盡可能減少更新參考圖的數(shù)量，僅在必要時(shí)更新參考圖，以避免插值誤差的累積。值得注意的是，從式（2）可知，增量DIC 的誤差還包括使用形函數(shù)傳遞的補(bǔ)償位移導(dǎo)致的誤差，但這一誤差相對(duì)亞像素插值誤差的量級(jí)而言可以忽略不計(jì)，故不再贅述。

圖3 采用不同增量步長(zhǎng)的增量DIC 方法與傳統(tǒng)序列DIC 方法的平均誤差對(duì)比Fig.3 Comparison of average error between incremental DIC method with different step sizes and traditional sequential DIC method

2.2 真實(shí)平移實(shí)驗(yàn)

在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，各計(jì)算點(diǎn)的亞像素位移并非如模擬平移實(shí)驗(yàn)一樣集中分布在給定位移附近，而是會(huì)存在一定的分布，故插值誤差也會(huì)呈現(xiàn)出與模擬平移實(shí)驗(yàn)不同的分布。由前述分析可知，插值誤差存在累積效應(yīng)，且可以根據(jù)計(jì)算點(diǎn)的亞像素位移來(lái)估計(jì)其對(duì)應(yīng)的插值誤差。為研究真實(shí)平移實(shí)驗(yàn)的誤差分布特性，對(duì)一固定在平移臺(tái)上的平板進(jìn)行平移實(shí)驗(yàn)。相機(jī)型號(hào)為FLIR-GS3-PGE-91QS6M，分辨率為3376×2704 像素，正對(duì)試樣進(jìn)行拍攝。實(shí)驗(yàn)中，試件沿著水平方向以0.2 mm 的步長(zhǎng)進(jìn)行了5 次平移。對(duì)于各組圖像，分別采用序列DIC 方法和連續(xù)增量DIC 方法進(jìn)行計(jì)算，并統(tǒng)計(jì)各計(jì)算點(diǎn)的位移分布（計(jì)算區(qū)域共有74×71 個(gè)計(jì)算點(diǎn)，計(jì)算步長(zhǎng)為15 像素，圖像子區(qū)為51×51 像素）。

在計(jì)算完成后，統(tǒng)計(jì)了兩種方法得到的亞像素位移的分布，如圖4 所示?？梢钥吹叫蛄蠨IC方法的亞像素位移隨著平移量的增大，逐漸趨于均勻分布U(0,1)。這是因?yàn)樵谡鎸?shí)實(shí)驗(yàn)中，相機(jī)光軸與試樣平面往往不是完全垂直，且存在鏡頭的放大率、畸變等多種因素的影響，經(jīng)過(guò)一定的位移后，圖像的亞像素位移將趨于隨機(jī)的均勻分布。然而，在增量DIC 方法中，由于每次均更新參考圖像，每一幀相對(duì)上一幀的位移較小，其增量位移的亞像素位移分布相對(duì)集中。圖中可以看出，各次增量的位移主要分布在大于0.5 像素的區(qū)間，經(jīng)過(guò)多次累積后會(huì)導(dǎo)致所得位移偏小。接下來(lái)，將通過(guò)前述的分析來(lái)估計(jì)其累積誤差的分布。

圖4 使用傳統(tǒng)序列及增量DIC 方法在各個(gè)平移階段的亞像素位移分布Fig.4 Subpixel displacement distributions obtained by traditional sequential and incremental DIC methods in real translation experiment

根據(jù)前述的模擬平移實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，亞像素位移的插值誤差與亞像素位移之間的關(guān)系可用正弦函數(shù)來(lái)近似，而插值誤差的量級(jí)與圖像的噪聲水平和所使用的插值函數(shù)有關(guān)。根據(jù)前述的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，插值誤差可以近似表示為

其中 du為亞像素位移部分，e為估計(jì)的插值誤差。

對(duì)于序列DIC 方法，其插值誤差可以直接通過(guò)式（3）進(jìn)行估計(jì)。而對(duì)于增量DIC 方法，則需要將各增量步的插值誤差進(jìn)行累加，使用式（3）估計(jì)的插值誤差的分布如圖5 所示。由于正弦函數(shù)的非線(xiàn)性效應(yīng)，序列DIC 方法中均勻分布的亞像素位移的插值誤差呈現(xiàn)出兩邊高中間低的特性。而對(duì)于增量DIC 方法，由于每次更新參考圖像均會(huì)帶來(lái)一定的增量誤差，故在累加后會(huì)得到一個(gè)范圍更廣的累積誤差分布。另外，由圖4 的結(jié)果可知，增量DIC 方法的亞像素位移分布較為集中且偏向于大于0.5 像素的區(qū)間。由式（3）計(jì)算得出其對(duì)應(yīng)的插值誤差會(huì)有明顯的偏移，這導(dǎo)致累積后的插值誤差相對(duì)序列DIC 方法呈現(xiàn)出較為明顯的偏離。在經(jīng)過(guò)4 次參考圖像更新后，累積插值誤差的最大值已經(jīng)達(dá)到 0.02 像素，且有50%以上的計(jì)算點(diǎn)的插值誤差大于0.01 像素。這一累積誤差的量級(jí)已經(jīng)足夠體現(xiàn)出明顯的差異，會(huì)進(jìn)一步影響后續(xù)DIC 應(yīng)變計(jì)算的精度。所以，在實(shí)際使用增量DIC 時(shí)，應(yīng)盡可能地減少增量次數(shù)，以減少連續(xù)幀之間亞像素位移分布集中導(dǎo)致的累積誤差。

圖5 使用傳統(tǒng)序列和增量DIC 方法的累積插值誤差分布Fig.5 Cumulative error distributions obtained by traditional sequential and incremental DIC methods

為了降低這一累計(jì)誤差的影響，Pan[19]提出使用高斯低通預(yù)濾波對(duì)圖像進(jìn)行預(yù)處理。這一預(yù)處理手段可以將插值的系統(tǒng)誤差轉(zhuǎn)換為隨機(jī)誤差，體現(xiàn)為位移結(jié)果的平均偏差降低，但標(biāo)準(zhǔn)差變大。文中指出，通過(guò)選取合適的高斯核大小，可以在不顯著增加標(biāo)準(zhǔn)差的同時(shí)大幅降低偏差。為此，本研究對(duì)前述實(shí)驗(yàn)圖片使用5×5 像素高斯核函數(shù)進(jìn)行了高斯低通預(yù)濾波處理，并統(tǒng)計(jì)了增量DIC與序列DIC 方法之間的相對(duì)誤差。為了直觀(guān)展示二者之間的誤差分布，圖6 展示了誤差的累積概率分布曲線(xiàn)，其中橫軸為相對(duì)誤差的分布范圍，縱軸為對(duì)應(yīng)的累積概率。其中實(shí)線(xiàn)為圖像未經(jīng)高斯濾波的結(jié)果，其相對(duì)誤差較大且分散。另外，隨著增量次數(shù)的增加，增量算法的最大相對(duì)誤差也逐漸增大，經(jīng)過(guò)4 次增量計(jì)算后最大相對(duì)誤差約為0.04 像素。虛線(xiàn)為圖像經(jīng)過(guò)高斯預(yù)濾波之后的結(jié)果，經(jīng)過(guò)高斯預(yù)濾波后，絕大多數(shù)點(diǎn)的相對(duì)誤差均落在±0.01 像素之間，且增量算法并未導(dǎo)致明顯的相對(duì)誤差增加。結(jié)果證明，在使用增量DIC 算法時(shí)配合高斯低通預(yù)濾波算法，除了顯著降低由于亞像素插值帶來(lái)的誤差之外，還可以降低由于增量算法帶來(lái)的累積誤差。

圖6 使用傳統(tǒng)序列和增量DIC 方法的相對(duì)誤差的累積概率分布Fig.6 Cumulative probability distributions of the relative displacement error between traditional sequential and incremental DIC methods

2.3 橡膠拉伸大變形的增量DIC 測(cè)量

在材料測(cè)試實(shí)驗(yàn)中，增量DIC 常用于存在大變形的實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景。為了展示增量DIC 算法在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中的適用性，使用增量DIC 方法計(jì)算了一組橡膠材料的大變形拉伸實(shí)驗(yàn)圖像。橡膠試樣按ISO 37:2005 標(biāo)準(zhǔn)切割為標(biāo)準(zhǔn)啞鈴型拉伸試件，其尺寸和外形如圖7(a)所示，厚度為2 mm，并在表面使用噴漆制作了隨機(jī)的散斑。如圖7(b)所示，實(shí)驗(yàn)中使用一臺(tái)SUNS-UTM5 萬(wàn)能實(shí)驗(yàn)機(jī)以2.5 mm/min 的速度勻速拉伸試件，最大拉伸位移為68 mm。實(shí)驗(yàn)中采用的相機(jī)型號(hào)為FLIRGS3-PGE-91QS6M（分辨率為3376×2704 像素，裝有Schneider 23mm F/1.4 鏡頭），其固定在試件前方約1.2 m 處，正對(duì)試件表面進(jìn)行采集，按每分鐘15 幀的采集速率進(jìn)行采集，實(shí)驗(yàn)全過(guò)程一共采集了407 幀圖像。

圖7 (a) 橡膠試件的尺寸與實(shí)際圖像和(b) 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)裝置Fig.7 (a) The dimensions and physical image of the rubber specimen and (b) the experimental setup

在匹配計(jì)算中，圖像子區(qū)大小為41×41 像素，步長(zhǎng)為5 像素，所有圖像均經(jīng)過(guò)了3×3 像素的高斯低通預(yù)濾波處理。由于橡膠試件變形過(guò)大，常規(guī)DIC 方法在初值估計(jì)階段即會(huì)失效。即使采用時(shí)序傳遞策略（使用上一幀的結(jié)果作為初值），在變形過(guò)大時(shí)仍會(huì)由于形函數(shù)欠匹配、采樣失真等原因?qū)е孪嚓P(guān)系數(shù)下降，從而發(fā)生“退相關(guān)”。而采用增量算法，則可以順利完成全部計(jì)算。在實(shí)驗(yàn)中采用了條件增量策略，即當(dāng)計(jì)算區(qū)域中相關(guān)系數(shù)最低的計(jì)算點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)低于0.95 時(shí)，則采用上一幀的圖像作為參考圖。這一條件判據(jù)相對(duì)使用特定種子點(diǎn)的判據(jù)[3]，更能體現(xiàn)全場(chǎng)的匹配質(zhì)量，避免由于部分計(jì)算區(qū)域已“退相關(guān)”而種子點(diǎn)仍保持較高相關(guān)系數(shù)而帶來(lái)的誤判。所得部分計(jì)算結(jié)果如圖8 所示，可見(jiàn)增量DIC 算法在經(jīng)過(guò)多次增量后能得到實(shí)驗(yàn)全過(guò)程的變形，克服了傳統(tǒng)DIC 方法在大變形時(shí)難以繼續(xù)計(jì)算的問(wèn)題。

圖8 實(shí)驗(yàn)過(guò)程中橡膠試件沿拉伸方向的位移(單位：mm)Fig.8 The displacement of the rubber specimen in the stretching direction during the tensile test (unit: mm)

除此之外，我們還選取了不同的增量步長(zhǎng)來(lái)計(jì)算同一組數(shù)據(jù)，以展示不同的增量步長(zhǎng)在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中的累積效應(yīng)。在這里，我們?cè)O(shè)計(jì)了7 組定步長(zhǎng)的測(cè)試組，其步長(zhǎng)分別為1, 2, 4, 8, 16, 32,64 幀。圖9(a) 展示了對(duì)實(shí)驗(yàn)的最后一幀，計(jì)算區(qū)域橫向中心線(xiàn)上的數(shù)據(jù)點(diǎn)（如圖8 中第0 幀所示），使用不同增量策略得到的位移結(jié)果。其中，中間的黑色線(xiàn)條為采用條件增量策略的增量方法，各計(jì)算點(diǎn)位移沿著拉伸方向表現(xiàn)出非常好的線(xiàn)性關(guān)系。在這一均勻拉伸實(shí)驗(yàn)中，各點(diǎn)位移應(yīng)與其坐標(biāo)成正比，故這一結(jié)果符合預(yù)期。而對(duì)于其他步長(zhǎng)的結(jié)果，則表現(xiàn)出不同水平的累積誤差，并沿著拉伸方向有周期性的變化。其中，在序號(hào)為50 的計(jì)算點(diǎn)處，各種步長(zhǎng)的計(jì)算結(jié)果均相同。將這一點(diǎn)使用不同固定增量步長(zhǎng)及使用條件增量步長(zhǎng)得到的相關(guān)系數(shù)繪制如圖9(b)所示，這里采用了零均值歸一化互相關(guān)（zero-mean normalized cross correlation, ZNCC）相關(guān)系數(shù)。可見(jiàn)，在不更新參考圖時(shí)，隨著變形逐漸增大，相關(guān)系數(shù)會(huì)不斷下降，而更新參考圖后，相關(guān)系數(shù)又會(huì)回到1 附近。使用條件增量策略時(shí)，僅更新了4 次參考圖，相比使用不同增量步長(zhǎng)的其他實(shí)驗(yàn)組，條件增量策略可以盡可能少地進(jìn)行增量計(jì)算，同時(shí)也能獲得盡可能少的累積誤差。除此之外，還統(tǒng)計(jì)了使用不同增量步長(zhǎng)計(jì)算全部406 幀圖像的計(jì)算時(shí)間，列于表1 中?？梢?jiàn)，使用條件增量策略由于減少了增量的次數(shù)，可以盡可能地減少計(jì)算量，提高計(jì)算效率。

表1 使用不同固定增量步長(zhǎng)及條件增量策略的計(jì)算耗時(shí)Table 1 Computation time of fixed-step strategy of different steps and conditional strategy

圖9 (a) 不同位置的計(jì)算點(diǎn)使用不同更新策略下的位移和(b) 70 號(hào)計(jì)算點(diǎn)使用不同更新策略下全過(guò)程的ZNCC 相關(guān)系數(shù)Fig.9 (a) Displacements of different calculation points with different updating strategy and (b) ZNCC of #70 calculation point with different updating strategy during the experiment

值得注意的是，圖9(a)中不同步長(zhǎng)的累積誤差在空間上呈現(xiàn)出周期性的波動(dòng)，且其周期與增量步長(zhǎng)成反比例關(guān)系。這是由于在這一實(shí)驗(yàn)中采用了穩(wěn)定的加載速度和固定的采集幀率，各計(jì)算點(diǎn)的增量位移保持相對(duì)穩(wěn)定。圖10(a)和圖10(b)分別展示了使用條件增量和連續(xù)增量策略時(shí)不同位置全過(guò)程的增量位移，即每一幀圖像位移與上一幀圖像的位移差。從圖10(a)可以觀(guān)察到，增量位移的大小也與其橫向坐標(biāo)成正比，這一結(jié)果符合均勻拉伸的假設(shè)。且序號(hào)為20 和序號(hào)為80的計(jì)算點(diǎn)的增量位移分別保持在0.5 像素和1.5像素附近，這表示間距為60 個(gè)計(jì)算點(diǎn)的兩點(diǎn)的平均增量位移差約為1 像素，故這兩點(diǎn)應(yīng)具有相同的誤差分布。這一現(xiàn)象與圖9(a)中不同步長(zhǎng)的增量結(jié)果出現(xiàn)周期性變化相符。由于勻速加載和拉伸試驗(yàn)的加持方式，增量位移與加載時(shí)間和空間坐標(biāo)均呈線(xiàn)性關(guān)系，導(dǎo)致不同步長(zhǎng)的累積誤差呈現(xiàn)出周期性變化。其中采用連續(xù)增量策略的結(jié)果變化周期約為60 個(gè)計(jì)算點(diǎn)，而對(duì)于其他步長(zhǎng)的增量算法，由于其間隔時(shí)間變長(zhǎng)，兩點(diǎn)的增量位移差會(huì)同比增長(zhǎng)，而變化周期會(huì)同比縮短。

圖10 沿拉伸方向不同位置計(jì)算點(diǎn)各幀的增量位移：(a) 使用條件增量策略, (b) 使用連續(xù)增量策略Fig.10 Incremental displacement of different calculation points along stretch direction with (a) conditional strategy and (b)sequential strategy

另外，對(duì)于序號(hào)為50 的計(jì)算點(diǎn)而言，其各幀的增量位移恰好為1 個(gè)像素。按前述的理論估計(jì)，該點(diǎn)的累積誤差應(yīng)該接近于0，這也與圖9(a)的結(jié)果相符。另外，在圖10(b)中也可看出，該點(diǎn)在連續(xù)增量中也保持穩(wěn)定，但對(duì)于其他位置的計(jì)算點(diǎn)而言，均存在一定的計(jì)算誤差。圖中可以看出對(duì)于各位移均有向最近的整像素偏移的系統(tǒng)誤差，而經(jīng)過(guò)約400 次連續(xù)增量后，累積誤差最大將近80 像素，如圖9(a)中所示。這一結(jié)論再次證明了增量算法中插值誤差的累積效應(yīng)，也證明了條件更新策略的優(yōu)越性。

3 結(jié)論

增量DIC 計(jì)算是解決大變形、環(huán)境光變化劇烈、散斑退相關(guān)等非常規(guī)場(chǎng)景中變形測(cè)量的有效手段。本文通過(guò)一系列的模擬及真實(shí)實(shí)驗(yàn)，分析了增量DIC 計(jì)算誤差的理論累積規(guī)律，并通過(guò)真實(shí)實(shí)驗(yàn)展示了增量DIC 方法在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中由亞像素位移分布所引起的累積誤差的分布和形式，證明了高斯低通預(yù)濾波對(duì)這一累積誤差的抑制效果。另外，還展示了增量DIC 算法在真實(shí)大變形實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用，并通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)證明了條件更新策略相比固定步長(zhǎng)更新策略的優(yōu)勢(shì)。

根據(jù)上述研究，本文給出使用增量DIC 的如下建議。

（1）增量DIC 方法由于包含亞像素位移插值過(guò)程，存在穩(wěn)定的系統(tǒng)誤差，并會(huì)隨著增量的過(guò)程不斷累積。

（2）更新參考圖像會(huì)不可避免地增加測(cè)量誤差和計(jì)算量，應(yīng)盡可能少地更新參考圖像。在實(shí)際使用增量DIC 時(shí)，建議采用條件更新策略，如使用種子點(diǎn)或計(jì)算區(qū)域中相關(guān)系數(shù)最小的計(jì)算點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)作為更新判據(jù)。

（3）更新參考圖時(shí)，應(yīng)采用隨機(jī)圖像子區(qū)平移策略將系統(tǒng)誤差轉(zhuǎn)化為隨機(jī)誤差，結(jié)合圖像高斯低通預(yù)濾波處理，能顯著降低由于插值帶來(lái)的系統(tǒng)誤差，以獲得更好的誤差抑制效果。

另外，增量DIC 算法不僅可用在容易發(fā)生退相關(guān)的測(cè)試環(huán)境，在3D–DIC、多相機(jī)DIC 等需要統(tǒng)一不同參考圖中的同一計(jì)算點(diǎn)坐標(biāo)系的場(chǎng)景也適用。在這些場(chǎng)景中，由于存在多個(gè)視角，故需要選定一主相機(jī)，其他相機(jī)的參考圖均與主相機(jī)之間進(jìn)行一次增量更新，再各自進(jìn)行時(shí)序匹配。由于各相機(jī)時(shí)序匹配與2D 匹配過(guò)程相同，在多個(gè)相機(jī)之間的增量更新及后續(xù)的時(shí)序更新中，本文給出的建議仍然適用。