? 吉林師范大學數(shù)學與計算機學院 張戰(zhàn)舉

我們先從幾何角度開始討論：圓冪定理是相交弦定理、割線定理、切割線定理三者的統(tǒng)稱.下面分別證明這三個小定理[1].

1 相交弦定理

如圖1所示,設(shè)平面內(nèi)有一圓Γ和一點P,點P位于Γ內(nèi),任意兩條直線分別交Γ于A,B和C,D兩點,則PA·PB=PC·PD.

圖1

圖2

證明：如圖2所示,連接AD,BC.

由同弧所對的圓周角相等,得∠BCD=∠DAB,且∠CBA=∠ADB.所以△CBP∽△ADP.根據(jù)相似三角形三邊成比例,得PA∶PC=PD∶PB.

因此PA·PB=PC·PD.

2 割線定理

圖3

如圖3所示,設(shè)平面內(nèi)有一圓Γ和一點P且點P在Γ外,過P的任意兩條直線分別交圓于A,B和C,D兩點,連接AD,BC,則有PA·PB=PC·PD.

因此PA·PB=PC·PB.

3 切割線定理

圖4

如圖4,設(shè)平面內(nèi)有一圓心為O的圓Γ和一點P.且點P在Γ外,設(shè)任意一條直線過點P且與圓相交于A,B兩點,過點P的另一條直線與圓切于點T.連接AT,OT,AO,則PT2=PA·PB.

因此PT2=PA·PB.

4 圓冪的代數(shù)意義

上述證明過程也是證明四點共圓很好的方法,這里不展開敘述.接下來從代數(shù)的角度討論,通過代數(shù)的計算去感受何為“圓的冪”,注重感受圓冪的代數(shù)意義.分別考慮點P在圓外、圓內(nèi)、圓上三種情況.

4.1 點P在圓外

圖5

如圖5所示,設(shè)在平面直角坐標系中有一圓Γ和一點P,圓心為O(a,b),半徑為r.點P(x0,y0)在圓外,過點P的任意兩條直線與Γ相交于點A,B和E,F.過P和圓心O的直線與Γ交于點C和D.設(shè)Γ的一條切線過點P切圓于點T,則PA·PB=PE·PF=PT2=PC·PD.

因為PC=OP-r,PD=OP+r,所以PA·PB=PE·PF=PT2=OP2-r2.由勾股定理,得PT2=OP2-r2.由于圓的標準方程為(x-a)2+(y+b)2-r2=0,由兩點間的距離公式,可得OP2=(x0-a)2+(y0-b)2,所以點P對圓的冪(x0-a)2+(y0-b)2-r2=OP2-r2.因為OP>r,所以O(shè)P2-r2>0[2].

4.2 點P在圓上

顯然對于圓Γ(O,r)上的任意點對該圓的冪為0.

4.3 點P在圓內(nèi)

如果點P在圓內(nèi),是否和點P在圓外的情況類似呢?我們接下來討論點P在圓內(nèi)的情況.

圖6

如圖6所示,設(shè)在平面直角坐標系中圓Γ的半徑為r,圓心為O(a,b),P(x0,y0).任意一條直線過點P(在圓內(nèi))交圓于E和F兩點,過點P和圓心O的直線交Γ于C和D兩點.設(shè)過點P且垂直于直徑CD的極小弦與Γ交于A和B兩點.

可以發(fā)現(xiàn)PC·PD=PE·PF=PA·PB.由PA=PB,得PA·PB=PB2=OB2-OP2=r2-OP2.而由兩點間的距離公式,可得到點P對圓的冪(x0-a)2+(y0-b)2-r2=OP2-r2.因為OP

這樣就得到了圓的冪的代數(shù)意義：對于所有過點P和圓心O的直線與圓交于A,B兩點,OP2-r2均為定值,此定值反映了點對圓的性質(zhì),我們把此定值稱為點P對圓的冪.當P在圓外時,P對圓的冪大于0;而P在圓內(nèi)時,P對圓的冪小于0,且PA·PB=|OP2-r2|;當點P在圓上時,點P對圓的冪等于0.

5 圓冪定理在競賽題中的應(yīng)用

以上是從幾何和代數(shù)的角度分別對圓冪定理的討論,下面我們通過一個奧林匹克競賽中的問題趁熱打鐵,感受圓冪定理在幾何證明與代數(shù)運算之間的聯(lián)系.

這是一道2011年國際奧林匹克數(shù)學競賽的預(yù)選題：

證明：設(shè)點M是對角線A1A3和A2A4的交點.設(shè)x,y,z和w分別是由點M到A1,A2,A3,A4的長度.設(shè)B1是A1A3與圓ω1的另一個交點,類似地定義B2,B3和B4.

證明完畢.

需要注意的是,當涉及很多圓冪的計算時,點的位置不同對應(yīng)的情況也不同,在處理符號問題時一定要細心[4].