? 哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院 李傳煜

最值問題是近幾年中考的熱點(diǎn),這類問題涉及到的知識很多,題型多樣,通常需要找到特殊情況,再結(jié)合特定的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解決.本文中以全國各地中考題為例,對如何構(gòu)建“將軍飲馬”模型求解最值問題進(jìn)行了探討.

1 “將軍飲馬”模型

基本模型：兩定點(diǎn)+一動(dòng)點(diǎn).

圖1

已知兩定點(diǎn)A,B在直線l同一側(cè),在直線l上找一點(diǎn)P,使得PA+PB最小.

解法：如圖1,作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′,連接AB′與定直線l的交點(diǎn)P即為所求的點(diǎn),且PA+PB的最小值就等于AB′的長,其基本原理是“兩點(diǎn)之間線段最短”.

2 模型應(yīng)用

2.1 求線段和的最值

圖2

例1(2022年山東德州)如圖2,正方形ABCD的邊長為6,點(diǎn)E在BC上,CE=2,M是對角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求EM+CM的最小值.

分析：由題可知C,E是定點(diǎn),BD為定直線,M是BD上一動(dòng)點(diǎn),且定點(diǎn)C,E在BD的同側(cè).根據(jù)以上分析,可以聯(lián)想到“兩定點(diǎn)+一動(dòng)點(diǎn)”的“將軍飲馬”模型.此類問題常通過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”來求出最小值.本題定點(diǎn)C比定點(diǎn)E更容易找到其對稱點(diǎn),進(jìn)而將同側(cè)兩定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩定點(diǎn),求出EM+CM的最小值.

圖3

解析：如圖3,由正方形的性質(zhì),可知點(diǎn)A,C關(guān)于直線BD對稱.

連接AM,根據(jù)對稱性可知AM=CM.所以(EM+CM)min=(AM+EM)min.

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,當(dāng)A,M,E三點(diǎn)共線時(shí),AM+EM取最小值,即為線段AE的長.

因?yàn)锽E=4,AB=6,所以

2.2 求幾何圖形周長的最值

圖4

(1)分別求反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線AB所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P,使△ABP的周長最小?若存在,求出最小值;若不存在,請說明理由.

分析：此處只分析第(2)問,要求△ABP周長的最小值,即求線段AP+BP+AB的最小值.由于A,B為定點(diǎn),P為x軸上一動(dòng)點(diǎn),且定點(diǎn)A,B在x軸的同側(cè),因此可聯(lián)想到“兩定點(diǎn)+一動(dòng)點(diǎn)”的“將軍飲馬”模型.由題意可知AB的長為定值,因此只需要求AP+BP的最小值即可.

圖5

如圖5,過點(diǎn)A和點(diǎn)B分別作x軸的垂線,交x軸于點(diǎn)D,E.

所以CE=AD.又OE=6,OC=3,所以CE=AD=3.

作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′,連接A′P.

所以(AP+BP)min=(A′P+BP)min.

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,當(dāng)A′,P,B三點(diǎn)共線時(shí),A′P+BP取最小值,即為線段A′B的長.

由題意得A′(2,-3),所以

2.3 求拋物線背景下的線段最值及點(diǎn)的坐標(biāo)

圖6

例3(2022年天津)如圖6,已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a>0)的頂點(diǎn)為P,與x軸相交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B.

(1)若b=-2,c=-3,①求點(diǎn)P的坐標(biāo);②直線x=m(m是常數(shù),1

(2)若3b=2c,直線x=2與拋物線相交于點(diǎn)N,E是x軸的正半軸上的動(dòng)點(diǎn),F是y軸的負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PF+FE+EN的最小值為5時(shí),求點(diǎn)E,F的坐標(biāo).

分析：此處只分析第(2)小問,由于P,N為拋物線上的定點(diǎn),E為x軸上的動(dòng)點(diǎn),F是y軸上的動(dòng)點(diǎn),EF為定長,根據(jù)以上分析可聯(lián)想到“兩定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)”的“將軍飲馬”模型.由題意可知EF為定值,因此只需要求PF+EN的最小值,再通過題意求出直線EF的方程,進(jìn)而求出點(diǎn)E,F的坐標(biāo).

解析：(2)由拋物線與x軸交于A(-1,0),可知a-b+c=0,又3b=2c,則b=-2a,c=-3a,所以拋物線的解析式為y=ax2-2ax-3a(a>0).

所以由拋物線y=a(x-1)2-4a,得P(1,-4a).

圖7

如圖7,作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P′,連接P′F.

根據(jù)對稱性,可知P′F=PF.

作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)N′,連接N′E.

根據(jù)對稱性,得N′E=NE.

所以(PF+FE+EN)min=(P′F+FE+N′E)min.

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,當(dāng)P′,F,E,N′四點(diǎn)共線時(shí),P′F+FE+N′E取最小值,即為線段P′N′的長.

將x=2代入拋物線解析式,可得yN=-3a,則點(diǎn)N坐標(biāo)為(2,-3a),所以N′(2,3a).

又點(diǎn)P′坐標(biāo)為(-1,-4a),所以

設(shè)直線P′N′的解析式為y=kx+b.

解決“將軍飲馬”問題,究其本質(zhì)就是利用“兩點(diǎn)之間線段最短”或“垂線段最短”的基本原理,用幾何變換將若干原本彼此分離的線段組合到一起,即“化折為直”[1],進(jìn)而解決問題.