? 江蘇省蘇州市教育科學(xué)研究院附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校 楊 敏

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂,是解決數(shù)學(xué)問題的萬能鑰匙.它包括轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模、從特殊與一般等思想.在軸對(duì)稱的問題中也蘊(yùn)含著以下數(shù)學(xué)思想.

1 轉(zhuǎn)化與化歸思想

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中,將生疏的化為熟悉的、將抽象的化為具體的、將復(fù)雜的化為簡單的、將一般的化為特珠的以及將未知的化為已知的等,都屬于轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn).

例1如圖1,已知直線l外有一點(diǎn)P,試在l上求兩點(diǎn)A,B,使AB=m(定長),且使PA+PB最短.

圖1

圖2

分析：當(dāng)把點(diǎn)P沿直線l的方向平行移動(dòng)到點(diǎn)C(如圖2)使PC=m時(shí),那么問題就轉(zhuǎn)化為在直線l上求作一點(diǎn)B,使PB+PC最短.

作法：如圖2,①過P作PC平行于l,使PC=m;②作點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P′,連接P′C交直線l于點(diǎn)B;③在直線l上截取AB=m,使點(diǎn)A,B在PP′的兩旁,則A,B就是所求作的點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：本題把已知一點(diǎn)求作兩點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為已知兩點(diǎn)求作一點(diǎn)的問題,再利用軸對(duì)稱知識(shí)實(shí)現(xiàn)問題的解答.

圖3

例2如圖3,已知∠BAD=100°,AB⊥BC,AD⊥DC,分別在BC,CD上找一點(diǎn)M,N,使△AMN周長最小,并求此時(shí)∠MAN的度數(shù).

分析：要使△AMN的周長最小,可使三角形的三邊轉(zhuǎn)化到同一直線上,也就是A,M,N在同一直線上.利用軸對(duì)稱,分別作點(diǎn)A關(guān)于BC,CD的對(duì)稱點(diǎn)A′,A″,讓這兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)替代點(diǎn)A,可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)A,M,N在同一直線上的目的,同時(shí)得∠AA′M+∠A″=80°,進(jìn)而得到∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A″),即可得解．

圖4

解：如圖4所示,分別作點(diǎn)A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′,A″,連接A′A″,交BC,CD于點(diǎn)M,N,此時(shí)線段A′A″的長就是△AMN周長的最小值．因?yàn)椤螪AB=100°,由三角形內(nèi)角和定理,得∠AA′M+∠A″=80°,由對(duì)稱軸的性質(zhì),可得∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,所以∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A″)=2×80°=160°,因此∠MAN=180°-160°=20°．

點(diǎn)評(píng)：本題通過軸對(duì)稱把一個(gè)三角形的三邊轉(zhuǎn)化到同一條直線上,從而實(shí)現(xiàn)了三角形周長最小的目的,最后利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求得相關(guān)角度.可以看出,在求線段、線段和最小值方面,軸對(duì)稱功不可沒.

2 分類討論思想

在解題時(shí),有時(shí)需要把問題分為若干個(gè)小問題來解決,通過小問題的解決從而達(dá)到解決大問題的目的,這種解決問題的思想就是分類討論思想.

圖5

例3如圖5所示,由四個(gè)小正方形構(gòu)成的“L”形圖中,請(qǐng)嘗試用三種方法添加一個(gè)小正方形使其成為一個(gè)軸對(duì)稱圖形.

分析：軸對(duì)稱圖形是沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形.當(dāng)沿著豎直的直線折疊時(shí)(如圖6),小正方形應(yīng)添在左下邊;當(dāng)沿著水平的直線折疊時(shí)(如圖7),小正方形應(yīng)添在右上邊;當(dāng)沿著傾斜的直線折疊時(shí)(如圖8),小正方形應(yīng)添右下邊.

圖6

圖7

圖8

解：如圖6、圖7、圖8所示.

圖9

點(diǎn)評(píng)：在解答本題時(shí),將對(duì)稱軸分為水平、豎直、傾斜三類,從而得到了三種方法.用分類討論思想可使我們考慮問題既不重復(fù)也不遺漏.

例4如圖9所示,在長方形紙片ABCD中,AB=1,E是AB的中點(diǎn),F是CD的中點(diǎn),H是BC上一點(diǎn),沿AH將△ABH折疊,點(diǎn)B恰好落在直線EF上的G點(diǎn)．當(dāng)△ADG為等腰三角形時(shí),求AD的長．

圖10

②當(dāng)AD=AG時(shí),AD=AG=AB=1.

點(diǎn)評(píng)：在矩形ABCD中,因?yàn)锳D的長不確定,所以△ADG為等腰三角形可能有三種情況.因?yàn)橐粋€(gè)三角形有三條邊,所以當(dāng)一個(gè)三角形是等腰三角形時(shí),可能有三種情況,分類討論起到了化整為零的效果.

3 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合,大致有兩種情況：一是借助數(shù)的精確性來說明形的屬性;二是借助形的直觀性來說明某種數(shù)量關(guān)系.因?yàn)閿?shù)的精確和形的直觀,所以數(shù)形結(jié)合能幫助我們更好地理解和解決問題.

例5如圖11,一些數(shù)字均勻錯(cuò)落分布在正方形中,王海運(yùn)用軸對(duì)稱的方法,迅速求出了這組數(shù)字的和,請(qǐng)問你可以嗎?

圖11

圖12

分析：正方形是軸對(duì)稱圖形,經(jīng)過對(duì)邊中點(diǎn)的直線和對(duì)角線所在的直線都是它的對(duì)稱軸(如圖12).從數(shù)字組可以看出,一條對(duì)角線上的數(shù)字都是5,以這條對(duì)角線為對(duì)稱軸折疊正方形后,對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字之和均為10,共產(chǎn)生10個(gè)10(如圖11),所以正方形中數(shù)字之和為5×5+10×10=125.

點(diǎn)評(píng)：本題將數(shù)的運(yùn)算與軸對(duì)稱圖形結(jié)合起來,找到解題的捷徑,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值.

圖13

圖14

點(diǎn)評(píng)：本題利用軸對(duì)稱變換,把分散的陰影部分集中起來,組成規(guī)則圖形,從而求得陰影部分的面積和.在解答過程中,觀察圖形發(fā)現(xiàn)兩個(gè)軸對(duì)稱圖形,即矩形與拋物線,因?yàn)樗鼈兊膶?duì)稱軸重合,所以它們組成的圖形仍是軸對(duì)稱圖形.求圖形面積時(shí),把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求得對(duì)應(yīng)線段的長,從而求得面積.通過圖形組合構(gòu)圖,通過代入計(jì)算求得線段的長,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

數(shù)學(xué)知識(shí)是無限的,但數(shù)學(xué)思想是有限的,把握住有限的數(shù)學(xué)思想,不僅能高效地解決問題,而且能更深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí).